1-1-3解三角形的进一步讨论）

备课资料

一、正、余弦定理的边角互换功能

对于正、余弦定理,同学们已经开始熟悉,在解三角形的问题中常会用到它,其实,在涉及到三角形的其他问题中,也常会用到它们.两个定理的特殊功能是边角互换,即利用它们可以把边的关系转化为角的关系,也可以把角的关系转化为边的关系,从而使许多问题得以解决.

【例1】已知A、B为△ABC的边,A、B分别是A、B的对角,且求的值.

解：∵,

∴.

又 (这是角的关系)，

∴ (这是边的关系).于是,由合比定理得

.

【例2】已知△ABC中,三边A、B、C所对的角分别是A、B、C,且a、b、c成等差数列.

求证:sinA+sinC=2sinB.

证明:∵a、b、c成等差数列，

∴a+c=2B(这是边的关系).①

又,

∴,②

.③

将②③代入①,得=2B.

整理得sinA+sinC=2sinB(这是角的关系).

二、正、余弦定理的巧用

某些三角习题的化简和求解,若能巧用正、余弦定理,则可避免许多繁杂的运算,从而使问题较轻松地获得解决,现举例说明如下:

【例3】求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值.

解：原式=sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°,

∵20°+10°+150°=180°,

∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角.

设这三个内角所对的边依次是A、B、C,由余弦定理得a2+b2-2abcos150°=C2.(*)

而由正弦定理知A=2Rsin20°,B=2Rsin10°,C=2Rsin150°,

代入(*)式得sin220°+sin210°-2sin20°sin10°cos150°=sin2150°=.

∴原式=.

三、构造正三角

通常，我们使用标尺作正三角形．以标尺作正三角形，只需相异两点A、B，再配合工具即可．分别以A、B点为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于C点，△ABC就是正三角形了．因为，圆A中，AB=AC(半径)；而且圆B中，BA=BC(半径)，所以AB=BA=AC．(参见上图)

如果没了圆规，我们要如何作出正三角形呢？再者连标尺也没了，那么万能的双手又要如何作出正三角形呢？这时我们可以考虑折纸来协助完成．取适当大小的矩形纸张，先对折，取得一边的中垂线；再以A点为基点，将此边向内翻折，并使得顶点落在中垂线上B点；最后再将B点和A、C点连成三角形(参见右图)，就是正三角形了．因为，AC=AB，又B点在中垂线上，所以，BA=BC，因此，AB=BC=CA．