黑龙江省农垦建三江管理局第一高级中学2021届高三上学期期中考试数学（文）试题
展开2020—2021学年度 第一学期 期中考试
高三数学（文科）试卷
考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。
（1） 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（60分，每题5分）
1.设集合则=（ ）
A． B． C． D．
2.设是虚数单位，条件复数是纯虚数，条件，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4.在等比数列中，，，则（ ）
A．16 B． C．或 D．16或1
5.在中，，,,则（ ）
A． B． C． D．
6.已知,均为单位向量,它们的夹角为,那么 ( )
A． B． C． D．4
7.函数的图像大致是（ ）
A． B． C． D．
8.曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A． B． C．1 D．
9.已知，，并且，，成等差数列，则的最小值为
A．16 B．9 C．5 D．4
10.已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则三个数，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
11.若将函数y＝sin（2x）的图象向右平移个单位长度，平移后所得图象为曲线y＝f（x），下列四个结论：
①f（x）＝sin（2x） ②f（x）＝sin（2x）
③曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（，0），（k∈Z）
④曲线y＝f（x）的对称中心的坐标为（π，0）（k∈Z）
其中所有正确的结论为（ ）
A．①④ B．②③ C．②④ D．①③
12.若函数恰有两个零点，，且，则（ ）
A． B．2 C． D．1
第II卷（共90分）
二、填空题（20分，每题5分）
13.在某班举行的成人典礼上，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物.
甲说：“礼物不在我这”；
乙说：“礼物在我这”；
丙说：“礼物不在乙处”.
如果三人中只有一人说的是真的，请问__________(填“甲”、“乙”或“丙”)获得了礼物.
14.设满足约束条件，则的最小值是____________.
15.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
16.已知菱形的边长为，，点、分别在边，上，，，若，则的最小值__________．
三、解答题（70分，第17题10分，其余每道大题12分）
17.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是．
（Ⅰ）求直线和曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）求曲线上的点到直线距离的最小值．
18.设是等差数列，且.
（Ⅰ）求的通项公式； （Ⅱ）求.
19.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）正数满足，证明：.
20.已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）设的内角的对边分别为，且，，且，求的面积．
21.市某企业坚持以市场需求为导向，合理配置生产资源，不断改革、探索销售模式.下表是该企
业每月生产的一种核心产品的产量（吨与相应的生产总成本（万元）的五组对照数据.
产量（件 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
生产总成本（万元） | 3 | 7 | 8 | 10 | 12 |
（1）根据上达数据，若用最小二乘法进行线性模拟，试求关于的线性回归直线方程；
参考公式：，.
(2) 记第（1）问中所求与的线性回归直线方程为模型①，同时该企业科研人员利用计算机根据数据又建立了与的回归模型②：.其中模型②的残差图（残差实际值预报值）如图所示：请完成模型①的残差表与残差图，并根据残差图，判断哪一个模型更适宜作为关于的回归方程？并说明理由；
(3) 根据模型①中与的线性回归方程，预测产量为6吨时生产总成本为多少万元？
22.已知函数（）
（1）若为的极大值点，求的取值范围；
（2）当时，判断与轴交点个数，并给出证明.
一、选择题
1.C
2.A
3.D
4.D
5.B
6.C
7.C
8.A
9.A
10.C
11.D
12.D
二、填空题
13.甲 14.-6 15. 16. 3
三、解答题
17.解：（Ⅰ）代入，得：；
由，得，曲线的直角坐标方程是．
（Ⅱ）设曲线上任意一点到的距离，
，
当时，曲线上的点到的距离的最小值为．
18.（I）设等差数列的公差为，∵，∴，
又，∴.∴.
（II）由（I）知，∵，∴是以2为首项，2为公比的等比数列.∴.
∴
19.（1）当时，，解得，所以；
当时，，；
当时，，解得，所以.
综上，不等式的解集为.
（2）证明：因为为正数，则等价于恒成立.
又因为，且，所以只需证，
因为，当且仅当时等号成立.所以成立.
20.（1）
的最小正周期：
（2）由得：，即：
，，解得：，
由得：
即：
若，即时，
则：
若，则,由正弦定理可得：
由余弦定理得：
解得：
综上所述，的面积为：
21.解：（1）计算，，
，，
，，
因此，回归直线方程为.
（2）模型①的残差表为：
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | |
3 | 7 | 8 | 10 | 12 | |
3.8 | 5.9 | 8 | 10.1 | 12.2 | |
1.1 | 0 |
结论：模型①更适宜作为关于的回归方程，因为：
理由1：模型①的4个样本点的残差点落在的带状区域比模型②的带状区域更窄；
理由2：模型①的4个样本点的残差点比模型②的残差点更贴近进轴..
（不列残差表不扣分，写出一个理由即可得分.
（3）根据模型①中与的线性回归直线程，
计算时，，
所以预测产量为6吨时生产总成本为14.3万元.
22. （1）
设，，所以在上单调递增.
当时，，当时，，当时，，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递增,所以此时无极值.
当时，，
则一定存在，使得
所以当时，，从而，单调递减.
当时，，从而单调递增.
所以此时满足为的极大值点
当时，，
所以当时，，从而，所以在单调递增
此时不可能为的极大值点.
综上所述：当为的极大值点时，的取值范围是.
（2）讨论与轴交点个数,即讨论方程的根的个数.
设，则
令，得，令，得
所以在上单调递减，在上单调递增,所以
所以讨论方程的根的个数，即探讨的实数根的个数.
设，
则
设，则
令，得，令，得
所以在上单调递减，在上单调递增.所以
所以当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增
又当时，，且，
当时，且时，
所以当时，方程有唯一实数根.
综上：，与轴有唯一交点
