北京市第四中学2020-2021学年高三第一学期期中考试数学试卷

数 学 试 卷（试卷满分为150分，考试时间为120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）已知全集，集合，，则A．                      B． C．                    D．  下列命题中的假命题是A.                 B.     C.                    D.   已知向量，，若与共线，则实数A. B. C. D.     已知是上的奇函数，当时,,则的解集是A．          B．        C．   D．  将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则A．B．C．D． 若，且，则下列不等式中，恒成立的是  A．   B．  C．     D．已知三角形，那么“”是“三角形为锐角三角形”的        A．充分而不必要条件                    B．必要而不充分条件C．充分必要条件                        D．既不充分也不必要条件  声音的等级（单位：）与声音强度（单位：）满足. 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为；一般说话时，声音的等级约为，那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的A．105倍B．108倍C. 1010倍D．1012倍函数，的大致图象是 A．                 B．                  C.                  D．已知函数 给出下列三个结论：① 当时，函数的单调递减区间为；② 若函数无最小值，则的取值范围为；③ 若且，则，使得函数恰有3个零点,,，且. 其中，所有正确结论的个数是A．0 B．1 C．2             D．3 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）函数的定义域是_________． 已知，且. 则=_________，=_________． 已知非零向量，满足，则与的夹角等于_________．  圆与直线相切于点，则圆的半径为_________，直线的方程为_________．   关于的方程的实根个数记为．若，则=_________；若，存在使得成立，则的取值范围是_________．  三、解答题（本大题共6小题，共85分）16．（本小题满分14分）在中，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值． 17．（本小题满分14分）已知函数.（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；（Ⅱ）求函数在上的最大值；（Ⅲ）求证：存在唯一的，使得.    18．（本小题满分14分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）从①，；②，这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数在上的最小值，并直接写出函数的一个周期. 19．（本小题满分14分）已知：函数．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求证：当时，；（Ⅲ）若对恒成立，求实数的最大值． 20．（本小题满分14分）已知为平面直角坐标系的原点，过点的直线与圆交于，两点．（Ⅰ）若，求直线的方程；（Ⅱ）若与的面积相等，求直线的斜率． 21．（本小题满分15分）对于集合，定义函数对于两个集合，，定义集合. 已知，.（Ⅰ）写出和的值，并用列举法写出集合；（Ⅱ）用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；（Ⅲ）有多少个集合对，满足，且？ 参考答案一、     选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分，请将答案填涂在答题卡上题号12345678910答案BADCCDBBDC二、     填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分题号1112131415答案 1， 三、解答题（本大题共6小题，共85分）16.解：（Ⅰ），∴由余弦定理，∴b＝7，∴c＝b﹣2＝5；（Ⅱ）在中，，，由正弦定理有：，∴，∵，∴，∴C为锐角，∴，∴ ． 17. 解：（Ⅰ）由，得 ,      所以，又   所以曲线在点处的切线方程为：，即： . （Ⅱ）令，得 .    与在区间的情况如下：-0+ 极小值                                                 因为                                     所以函数在区间上的最大值为6.  （Ⅲ）证明：设=，则， 令，得.与 随x的变化情况如下：100极大值极小值 则的增区间为，，减区间为.  又，，所以函数在没有零点，    又，所以函数在上有唯一零点.                      综上，在上存在唯一的，使得. 18. 解：（Ⅰ）.                           （Ⅱ）选择条件①.的一个周期为.                              .                         因为,所以.所以.所以.当时，即时，在取得最小值. 选择条件②.的一个周期为.                            . 因为,所以.所以 当时，即时，在取得最小值.  19. 解：  （Ⅰ）    （Ⅱ）令，则， 当时，设，则所以在单调递减，即，所以所以在上单调递减，所以， 所以．（Ⅲ）原题等价于对恒成立，即对恒成立，令，则．易知，即在单调递增，所以，所以，             故在单调递减，所以．  综上所述，的最大值为 ．
20. 解：（Ⅰ）依题意，直线的斜率存在，因为 直线过点，可设直线：． 因为 两点在圆上，所以 ，因为 ，所以 所以      所以 到直线的距离等于．所以 ，  得，所以  直线的方程为或．（Ⅱ）（解法一）因为与的面积相等，所以，设 ，，所以 ，．所以   即　　（*）；因为　，两点在圆上，所以    把（*）代入，得  ，所以     所以  直线的斜率， 即． （解法二）因为与的面积相等，所以， 设，，所以 ，．所以 ，即　　①；联立 　消去y得．  由韦达定理知　　②         　　　③由①②可知，，      ， 带入③得 ，       所以  ．  21. 解：（Ⅰ），，.    （Ⅱ）根据题意可知：对于集合，①若且，则；②若且，则.所以 要使的值最小，2，4，8一定属于集合；1，6，10，16是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素.所以 当为{1,6,10,16}的子集与{2,4,8}的并集时，取到最小值4.  …8分（Ⅲ）因为 ，所以 .由定义可知：.所以 对任意元素，，                   .所以 .所以 . 由 知：.所以 .所以 .所以 ，即.因为 ，所以 满足题意的集合对（P，Q）的个数为.