广东省汕头市金山中学2021届高三上学期期中考试数学试题（Word版，含答案）

汕头市金山中学2020-2021学年度第一学期高三数学期中考试第I卷（选择题共60分）一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则（    ）A．        B． C． D．2．已知直线平面，则“”是“直线平面”的（      ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知为虚数单位，若复数为纯虚数，则（    ）A．  B．             C． D． 4．算盘是中国传统的计算工具，是中国人在长期使用算筹的基础上发明的，是中国古代一项伟大的、重要的发明，在阿拉伯数字出现前是全世界广为使用的计算工具.“珠算”一词最早见于东汉徐岳所撰的《数术记遗》，其中有云：“珠算控带四时，经纬三才.”北周甄鸾为此作注，大意是：把木板刻为部分，上、下两部分是停游珠用的，中间一部分是作定位用的.下图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别是个位、十位、百位、，上面一粒珠（简称上珠）代表，下面一粒珠（简称下珠）是，即五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.现在从个位和十位这两组中随机选择往下拨1粒上珠，往上拨2粒下珠，算盘表示的数为素数（除了和本身没有其它的约数）的概率是（     ）A． B． C． D． 5．定义在上的奇函数满足，并且当时，，则的值为（     ）A． B．             C．           D． 6．已知，则（     ）A． B． C． D．7．已知三棱锥中，，，，，且平面平面，则该三棱锥的外接球的表面积为（      ）A． B． C．  D．8．对于函数与，若存在，使，则称，是函数与图象的一对“隐对称点” ．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（    ）A． B． C． D．二、多选题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分；在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求的）9．已知函数（，），其图象相邻两条对称轴之间的距离为，将函数的图象向左平移个单位后，得到的图象关于轴对称，那么函数的图象（    ）A．关于点对称             B．关于点对称C．关于直线对称 D．关于直线对称10．在中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（    ）A． B．若，则C． D．若，且，则为等边三角形11．设等比数列的公比为q，其前n项和为，前n项积为,并满足条件，，，下列结论正确的是(      )A． B．C．是数列中的最大值 D．数列无最大值12．已知直三棱柱中，，， 为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（    ）A．当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为B．无论点在上怎么运动，都有C．当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且D．无论点在上怎么运动，直线与所成角都不可能是30°第II卷(非选择题共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13． 的展开式中的系数为           ．14．在中，，，为斜边上靠近点的三等分点，为边的中点，则的值为           ．15．已知，，且，则最小值为__________．16．已知椭圆与双曲线共焦点，分别为左、右焦点，曲线与在第一象限交点为，且离心率之积为1. 若，则该双曲线的离心率为____________.四、解答题：（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．(本小题满分10分）在中，角的对边分别为，若，，.（1）求边长；（2）已知点为边的中点，求的长．18．(本小题满分12分）已知递增等比数列满足：，数列的前项和为，且，记..（1）求数列和的通项公式；（2）求数列的前n项和．19．(本小题满分12分）为了解高三年级学生暑假期间的学习情况，某学校抽取了甲、乙两班作为对象，调查这两个班的学生在暑假期间平均每天学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生平均每天学习时间在区间的有8人．（1）求直方图中的值及甲班学生平均每天学习时间在区间的人数；（2）从甲、乙两个班平均每天学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为，求的分布列和数学期望．20．(本小题满分12分）如图，在四棱锥中，， ，，，．点为棱的中点． （1）证明：平面；（2）若为棱上一点，满足，求二面角的余弦值．21．(本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，点在椭圆上，为坐标原点.（1）求椭圆的方程； （2）已知点为椭圆上的三点，若四边形为平行四边形，证明：四边形的面积为定值，并求该定值.22．(本小题满分12分）已知函数（为常数）．（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；（2）若存在两个极值点，且，求的最大值．      汕头市金山中学高三数学期中考试卷答案 题号123456789101112答案BBADCBCDBCACDABABD13、          14、           15、         16、12、【解析】直三棱柱中，，选项A中，当点运动到中点时，有E为的中点，连接、，如下图示即有面∴直线与平面所成的角的正切值：∵，∴，故A正确选项B中，连接，与交于E，并连接，如下图示由题意知，为正方形，即有而且为直三棱柱，有面，面∴，又∴面，面，故同理可证：，又∴面，又面，即有，故B正确选项C中，点运动到中点时，即在△中、均为中线∴Q为中线的交点重心∴根据重心的性质有：，故C错误选项D中，由于，直线与所成角即为与所成角：结合下图分析知：点在上运动时当在或上时，最大为45°当在中点上时，最小为∴不可能是30°，故D正确故选：ABD17．【解析】解：（1）由,,得,………1分所以,…………3分由正弦定理,可得.…………5分（2）,…………6分在中, …………8分在中,由余弦定理得：…………9分所以,        …………10分18．【解析】（1），方程的两根，，所以   …………2分 …………3分当时，…………5分，所以  …………6分（2），…………10分所以.…………12分19．【解析】（I） 由直方图知，，解得…………2分因为甲班学习时间在区间的有8人，所以甲班的学生人数为，所以甲、乙两班人数均为40人．所以甲班学习时间在区间的人数为（人）．…………4分（II）乙班学习时间在区间的人数为（人）．由⑴知甲班学习时间在区间的人数为3人，…………5分在两班中学习时间大于10小时的同学共7人，的所有可能取值为0，1，2，3．…………6分，，，．        …………10分所以随机变量的分布列为： 0123 ．…………12分20．【解析】解：依题意，以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系如图，可得由为棱的中点，得，（1）向量，故，，又面，面．所以．又因为面，面，，所以面                  ……………………5分（2）由点在棱上，设故由，得因此，   …………7分即…………8分设为平面的法向量，则，即不妨令，可得为平面的一个法向量，…………10分取平面的法向量，则因为二面角的平面角为锐角所以二面角的余弦值为…………12分 21．【解析】（1）由，得，……………………1分将代入椭圆的方程可得，所以，……………………3分故椭圆的方程为．……………………4分（2）当直线的斜率不存在时，方程为：或，从而有，所以．……………………5分当直线的斜率存在时，设直线方程为：，，．将的方程代入整理得：，所以，，        ，        ……………………7分由得：，……………………8分将点坐标代入椭圆方程得：．……………………9分点到直线的距离，，综上，平行四边形的面积为定值．……………………12分22．【解析】（1）∵，，………………1分∴． 设，，∵是定义域上的单调函数，函数的图象为开口向上的抛物线，∴在定义域上恒成立，即在上恒成立……2分又二次函数图象的对称轴为，且图象过定点，∴，  或，………………3分解得.  ∴实数的取值范围为．………………4分（2）由（1）知函数的两个极值点满足，∴．………………5分不妨设，则在上是减函数，故，………………6分∴．………………8分令，则，又，即，解得，………………9分故，  ∴．设，则， ∴在上为增函数．       ………………11分∴，即．所以的最大值为．………………12分