2020年北师大版九上数学期末复习：《特殊平行四边形》（含答案） 试卷
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一 、选择题
1.已知▱ABCD,给出下列条件:①AC=BD;②∠BAD=90°;③AB=BC;④AC⊥BD,添加其中之一能使▱ABCD成为菱形的条件是( )
A.①③ B.②③ C.③④ D.①②③
2.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )
A.当AB=BC时,它是菱形
B.当AC⊥BD时,它是菱形
C.当∠ABC=90°时,它是矩形
D.当AC=BD时,它是正方形
3.如图,菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边的正方形ACEF的周长为( )
A.14 B.15 C.16 D.17
4.下列说法中正确的是（ ）
A.四边相等的四边形是菱形
B.一组对边相等，另一组对边平行的四边形是菱形
C.对角线互相垂直的四边形是菱形
D.对角线互相平分的四边形是菱形
5.如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM=DN，连接AM、MC、CN、NA，
添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是( )
A．OM=AC B．MB=MO C．BD⊥AC D．∠AMB=∠CND
6.检查一个门框是否为矩形，下列方法中正确的是（ ）
A．测量两条对角线，是否相等
B．测量两条对角线，是否互相平分
C．测量门框的三个角，是否都是直角
D．测量两条对角线，是否互相垂直
7.有下列说法：
①四个角都相等的四边形是矩形；
②有一组对边平行，有两个角为直角的四边形是矩形；
③两组对边分别相等且有一个角为直角的四边形是矩形；
④对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形；
⑤对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
⑥一组对边平行，另一组对边相等且有一角为直角的四边形是矩形．
其中，正确的个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
8.下列说法中，错误的是（ ）
A．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B．两条对角线互相垂直且平分的四边形是菱形
C．四个角都相等的四边形是矩形
D．邻边相等的菱形是正方形
9.如图，在菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F 为垂足，AE=ED ，则∠EBF等于( )
A.75° B.60° C.50° D.45°
10.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC=8，BD=6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH等于( )
A.2 B.1.6 C.1.8 D.2.4
11.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（ ）
A.22.5° B.25° C.23° D.20°
12.将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则的值是（ ）
A． B．﹣1 C． D．
二 、填空题
13.如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,且AC=8,BD=6,则菱形ABCD的高DH=________.
14.如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD于E,∠DAE=3∠EAB，则∠ACD的度数为 ．
15.如图是叠放在一起的两张长方形卡片，图中有∠1、∠2、∠3，则其中一定相等的是_____
16.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ADE，则∠BED的度数是 ．
17.把两张宽为2 cm的矩形纸片重叠在一起，然后将其中的一张任意旋转一个角度，则重叠部分(图中的阴影部分)的四边形ABCD的形状为________，其面积的最小值为________cm2.
18.如图，正方形ABCD边长为1，连接AC，AE平分∠CAD，交BC的延长线于点E，FA⊥AE，交CE于点F，则EF的长为 ．
三 、解答题
19.如图，在四边形ABCD中，BD为一条对角线，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E为AD的中点，连接BE.
（1）求证：四边形BCDE为菱形；
（2）连接AC，若AC平分∠BAD，判断AC与CD的数量关系和位置关系，并说明理由.
20.如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN.
(1)求证：四边形BMDN是菱形；
(2)若AB=4，AD=8，求MD的长.
21.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别延长OA、OC到点E、F,使AE=CF,依次连接B、F、D、E各点.
(1)求证:△BAE≌△BCF;
(2)若∠ABC=50°,则当∠EBA=________°时,四边形BFDE是正方形.
22.如图，已知在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF=ED，EF⊥ED．
求证：AE平分∠BAD．
23.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点B′的位置，AB′与CD交于点E．
（1）试找出一个与△AED全等的三角形，并加以证明；
（2）若AB=8，DE=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H，试求PG+PH的值，并说明理由．
24.如图所示,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.
(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;
(2)①当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?
②当AM为何值时,四边形AMDN是菱形?
25.如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）探究：线段OE与OF的数量关系并加以证明；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？
参考答案
1.C
2.D
3.C
4.A
5.答案为：A．
6.C
7.C
8.D
9.B
10.D
11.A
12.答案为：A．
解析：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图：
由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH=MF，
设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，
∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等
∴由折叠可知正方形EFGH的面积=×正方形ABCD的面积=，
∴正方形EFGH的边长GF==∴HF=GF=
∴MF=PH==a∴=a÷=
13.答案为：4.8；
14.答案为：67.5°，
15.答案为：∠2=∠3
16.答案为：45°．
17.答案为：菱形，4
18.答案为：2．
19.
20.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=90°，∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中，，∴△DMO≌△BNO(AAS)，∴OM=ON，
∵OB=OD，∴四边形BMDN是平行四边形，∵MN⊥BD，∴平行四边形BMDN是菱形.
(2)解：∵四边形BMDN是菱形，∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=(8﹣x)2+42，解得：x=5，所以MD长为5.
21.(1)证明:在菱形ABCD中,BA=BC,
∴∠BAC=∠BCA,
∴∠BAE=∠BCF.
在△BAE与△BCF中,BA=BC,∠BAE=∠BCF,AE=CF
∴△BAE≌△BCF(SAS).
(2)20.
22.提示：证明△BFE≌△CED，从而BE=DC=AB，∴∠BAE=45°，可得AE平分∠BAD
23.解：（1）△AED≌△CEB′
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴B′C=BC=AD，∠B′=∠B=∠D=90°，
又∵∠B′EC=∠DEA，
∴△AED≌△CEB′；
（2）由折叠的性质可知，∠EAC=∠CAB，
∵CD∥AB，
∴∠CAB=∠ECA，
∴∠EAC=∠ECA，
∴AE=EC=8﹣3=5．在△ADE中，AD=4，
延长HP交AB于M，则PM⊥AB，
∴PG=PM．
∴PG+PH=PM+PH=HM=AD=4．
24.(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴ND∥AM,
∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.
又∵点E是AD边的中点,∴DE=AE,
∴△NDE≌△MAE,∴ND=MA,
∴四边形AMDN是平行四边形.
(2)①当AM=1时,四边形AMDN是矩形.
理由如下:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=2.
当AM=1=AD时,可得∠ADM=30°.
∵∠DAM=60°,∴∠AMD=90°,
∴平行四边形AMDN是矩形.
②当AM=2时,四边形AMDN是菱形.
理由如下:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=2.
∵AM=2,∴AM=AD=2,
又∠DAM=60°,∴△AMD是等边三角形,∴AM=DM,
∴平行四边形AMDN是菱形.
25.解：（1）OE=OF．
证明如下：∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1=∠2．
∵MN∥BC，∴∠1=∠3．∴∠2=∠3．∴OE=OC．
同理可证OC=OF．
∴OE=OF．四边形BCFE不可能是菱形，若四边形BCFE为菱形，则BF⊥EC，
而由（1）可知FC⊥EC，在平面内过同一点F不可能有两条直线同垂直于一条直线．当点O运动到AC中点时，且△ABC是直角三角形（∠ACB=90°）时，四边形AECF是正方形．
理由如下：
∵O为AC中点，∴OA=OC，
∵由（1）知OE=OF，∴四边形AECF为平行四边形；
∵∠1=∠2，∠4=∠5，∠1+∠2+∠4+∠5=180°，
∴∠2+∠5=90°，即∠ECF=90°，∴▱AECF为矩形，
又∵AC⊥EF．∴▱AECF是正方形．
∴当点O为AC中点且△ABC是以∠ACB为直角三角形时，四边形AECF是正方形．
