湖南省衡阳市第八中学2021届高三上学期第三次月考（11月） 数学（含答案） 试卷

衡阳市八中2021届高三第三次月考

数学试卷

注意事项：本试卷满分为150，时量为120分钟

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合，则下列式子中正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

因为，

，

所以，

,

所以选项A正确，

故选：A

 2.在等差数列中，，则此数列前项的和是（　　）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

分析：利用等差数列的下标性质，结合等差数列的求和公式即可得结果.

详解：由等差数列的性质可得：，，

代入已知可得，即，

故数列的前项之和

．

故选．

3.我们将称为黄金分割数，亦可简称为黄金数，将离心率等于黄金数的倒数的双曲线叫做黄金双曲线，则（    ）

A．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等差中项 B．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等差中项

C．黄金双曲线的焦距是实轴与虚轴的等比中项 D．黄金双曲线的虚轴是实轴与焦距的等比中项

【答案】D

【解析】

若双曲线为黄金双曲线，则满足，即

，

，

，

，

即虚轴是实轴与焦距的等比中项.

故选：D.

4.函数 的图象如图所示，为了得到的图象，只需把的图象上所有点（    ）

A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度

C．向左平移个长度单位 D．向左平移个长度单位

【答案】A

【解析】

看图可知周期满足，故，，

，，即，

所以将向右平移个单位，得到.

故选：A.

5.已知直线：与圆：相交于，两点，为坐标原点，则等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

设圆心为C，设直线与圆的交点的坐标为 ，

联立 可得：，即，

所以=

又，所以圆的半径

故选：A

6.已知边长为2的菱形中，点为上一动点，点满足，，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

由题意知：，设

以与交点为原点，为轴，为轴建立如下图所示的平面直角坐标系：

，，设

则，

当时，的最小值为

本题正确选项：

  7.在三棱锥中，，，，，若该三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

如图，设的中点为，的中点为，连接，，．

因为，，，

所以，

所以．所以为棱锥外接球的球心，设半径为，

又，且，

所以，，

则．

又由，且可证平面，

所以，解得．

所以外接球的表面积．

故选：B．

8.对于定义在上的函数，若存在正常数、，使得对一切均成立，则称是“控制增长函数”.在以下四个函数中：①；②；③；④.是“控制增长函数”的有（    ）个

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

对于①，可化为，

即对一切恒成立，

由函数的定义域为可知，不存在满足条件的正常数、，

所以，函数不是“控制增长函数”；

对于②，若函数为“控制增长函数”，

则可化为，

对一切恒成立，

又，若成立，则，显然，当时，不等式恒成立，所以，函数为“控制增长函数”；

对于③，，，

当且为任意正实数时，恒成立，

所以，函数是“控制增长函数”；

对于④，若函数是“控制增长函数”，则恒成立，，若，即，

所以，函数是“控制增长函数”.

因此，是“控制增长函数”的序号是②③④.

故选C.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

 9．下列说法中正确的是（    ）

A．“”是真命题是“”为真命题的必要不充分条件

B．命题“，”的否定是“，”

C．若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真

D．在中，是的充要条件

【答案】BCD

【解析】

对于A，“”是真命题，则“”一定为真命题，“”是真命题，则“”不一定为真命题，错误；

对于B，命题“，”的否定是“，”，正确；

对于C，一个命题的逆命题与它的否命题互为逆否命题，同真假，正确；

对于D，时单调递减，

，故D正确，

故选：BCD

10.如图，在直三棱柱中，，，，点，分别是线段，上的动点(不含端点)，且，则下列说法正确的是（    ）

A．平面

B．四面体的体积是定值

C．当点E为的中点时，直线AE与平面所成的角和直线AE与平面所成的角相等

D．异面直线与所成角的正切值为

【答案】AD

【解析】

对于A，在直三棱柱中，四边形是矩形，

因为，所以∥∥，

所以平面，所以A正确；

对于B，设，因为，，，

所以，

因为∥，所以，所以，

所以，所以，

四面体的体积为，所以四面体的体积不是定值，所以B错误；

对于C，可直接判断，显然不对

对于D，因为∥，所以异面直线与所成角为，在中，，所以，所以C正确；

故选：AD

11.已知函数，下列关于该函数结论正确的是（    ）

A．的图象关于直线对称 B．的一个周期是

C．的最大值为2 D．是区间上的减函数

【答案】BD

【解析】

由，

对于A，

，故A不正确；

对于B，

，故B正确；

对于C，，所以的最大值为，

当时，，取得最大值，

所以的最大值为，故C不正确；

对于D，在区间上是减函数，且，

所以在区间上是减函数；在区间上是增函数，

且，所以在区间上是减函数，故D正确；

故选：BD

12.在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，面积为S，有以下四个命题中正确的是（    ）

A．的最大值为

B．当，时，不可能是直角三角形

C．当，，A=2C时，的周长为

D．当，，A=2C时，若O为的内心，则的面积为

【答案】ACD

【解析】对于A，

（当且仅当时取等号）.

令，

故，

因为，且，

故可得点表示的平面区域是半圆弧上的点，如下图所示：

目标函数上，表示圆弧上一点到点点的斜率，

由数形结合可知，当且仅当目标函数过点，即时，取得最小值，

故可得，

又，故可得，

当且仅当，即三角形为等边三角形时，取得最大值.所以A正确；

对于B，因为，所以由正弦定理得，，若是直角三角形的斜边，则有，即，得，所以B错误；

对于C，由A=2C，可得，由得，

由正弦定理得，，即，

所以，化简得，

因为，所以化简得，

因为，所以，所以，则，

所以，所以，，，

因为，所以，

所以的周长为，所以C正确；

对于D，由C可知，为直角三角形，且，，，，

所以的内切圆半径为，

所以的面积为

所以D正确，

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知为整数，复数，复数在复平面内对应的点在第三象限，则_____．

【答案】

【解析】

复数，若复数在复平面内对应的点在第三象限，

则，解得，又a为整数，则a=0,

故答案为

14.已知，则           

【答案】

【解析】

，，即，，

 .

15.已知抛物线的准线方程为，焦点为，准线与轴的交点为为抛物线上一点，且满足，则______．

【答案】

解：由题可知：抛物线，准线方程，

则，有，

，

抛物线方程为：，

，

作准线，交于点,由抛物线的性质得：，

，

设，则，

，在三角形ABC中，

由余弦定理可解得

16.设，若方程恰有三个不相等的实根，则这三个根之和为            ；若方程有四个不相等的实根，则的取值范围为__________．

【答案】6，

【解析】

解：第一空：6

第二空：∵时，，

∴在与上的图象关于对称，

作出图象如下：不防令，

可得，，∴．

∴，，，

∴

，，

令，

则原式化为：，，

其对称轴，开口向上，故在递增，

∴，

∴的取值范围是．

故答案为：．

  四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．

问题：设是数列的前n项和，且，______________，求的通项公式，并判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．

【答案】选①，，存在最大值，且最大值为4；选②，，存在最大值，且最大值为50；选③，，不存在最大值，理由见解析．

【解析】

解：选①：因为，，所以是首项为4，公比为的等比数列．

所以．

当为奇数时，，

因为随着的增大而减小，所以此时的最大值为；

当为偶数时，，且，

综上，存在最大值，且最大值为4．

选②：因为，，所以是首项为4，公差为的等差数列．

所以，

由于，得，所以存在最大值，且最大值为或，

因为，所以的最大值为50．

选③：因为，所以，

所以，，…，，

所以，

又，所以，

当时，，故不存在最大值．

18.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝DC＝BC＝1，∠ABC＝60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF＝1，设点M在线段EF上运动

（1）证明：BC⊥AM；

（2）设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，求θ的最小值．

【解析】

（1）证明：在梯形ABCD中，因为AB∥CD，AD＝DC＝CB＝1，∠ABC＝60°

所以AB＝2，所以AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cos60°＝3，

所以AB2＝AC2+BC2，所以BC⊥AC．

因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE∩平面ABCD＝AC，

因为BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE．所以BC⊥平面AM

（2）解：由（1）可建立分别以直线CA，CB，CF为x轴，y轴，z轴的如图所示的空间直角坐标系，

令，则C（0，0，0），，B（0，1，0），M（λ，0，1）．

∴，．

设（x，y，z）为平面MAB的一个法向量，

由得，取x＝1，则(1，，)，

∵(1，0，0)是平面FCB的一个法向量

∴cosθ

∵，∴当时，cosθ有最大值，θ的最小值为

19.某市规划一个平面示意图为如下图五边形的一条自行车赛道，，，，，为赛道（不考虑宽度），为赛道内的一条服务通道，，，.

（1）求服务通道的长度；

（2）求折线段赛道的长度的取值范围.

【答案】（1）5（2）见解析

【解析】

（1）连接，

在中，由余弦定理得：

，

.，

，

又，，

在中，.

（2）在中，，.

由余弦定理得，

即，

故，

从而，即，

当且仅当时，等号成立，

即设计为时，折线段赛道最长.所以折线段赛道的长度的取值范围是

20.已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）已知，求的值.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.

【解析】

（Ⅰ）由抛物线的定义可以，

,抛物线的方程为.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点的坐标为

设，将直线与抛物线联立得：

又，

即，

，

，

将①代入得，

即

得或

当时，直线为，此时直线恒过;

当时，直线为，此时直线恒过（舍去）

所以

21.已知数列满足：，；数列是等比数列，并满足，且，，成等差数列.

（1）求数列，的通项公式；

（2）若数列的前项和是，数列满足，求证：.

【解析】

（1）由已知，，所以是常数列，

，故

设的公比是，由已知得，所以

所以，故

（2）

累加得：

所以，得证.

22.如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆，其右焦点F到直线的距离为1，离心率为，A，B分别为椭圆的上、下顶点，过点F且不与x轴重合的直线l与椭圆交于C，D两点，与y轴交于点P，直线与交于点Q.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）当时，求直线的方程；

（3）若三点不共线，直线的斜率存在，求证：

【解析】

（1）解：由题意可知，所以，，所以，

所以椭圆的标准方程为

（2）解：因为直线l不与x轴重合，所以斜率不为0.

因为l过点，所以设直线l的方程为.

由，得.

设，，则，，

则

因为，所以，得，所以，

所以直线l的方程为

（3）证明：即证

在中令得，所以.

而直线的方程为，直线的方程为.

由此得到

.

不妨设，则①，②，

所以③.

将①②③代入式，得

，

所以