吉林省汪清县第六中学2021届三模 数学（理）(含答案) 试卷
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理科数学试题
考试时间：120分钟；
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．设集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数z满足，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．若，则（ ）
A． B． C． D．
4．设，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5．2021年起，我市将试行“3+1+2”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目.为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图.甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（ ）
A．甲的化学成绩领先年级平均分最多.
B．甲有2个科目的成绩低于年级平均分.
C．甲的成绩最好的前两个科目是化学和地理.
D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果.
6．已知，，满足，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．小王到重庆游玩，计划用两天的时间打卡“朝天门”、“解放碑”、“洪崖洞”、“磁器口”、“南山一棵树”五个网红景点.若将这五个景点随机安排在两天时间里，第一天游览两个，第二天游览三个，则“朝天门”和“解放碑”恰好在同一天游览的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．设的内角所对的边分别为，且，已知的面积等于，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．函数的图象大致为（ ）
A B.
C. D.
10．已知函数，若函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的图象的一个对称中心为（ ）
A． B． C． D．
11．已知，则（ ）
A．1 B． C．3 D．2
12．若函数（是自然对数的底数）在的定义域上单调递增，则称函数具有M性质.下列函数中具有M性质的是
A． B． C． D．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知函数，若，则实数______.
14．曲线在处的切线方程为________.
15．若，则__________.
16． 已知函数ƒ(x)＝sin(x－π)，g(x)＝cos(x＋π)，有以下命题：
①函数y＝ƒ(x)g(x)的最小正周期为π；
②函数y＝ƒ(x)g(x)的最大值为2；
③将函数y＝ƒ(x)的图象向右平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象；
④将函数y＝ƒ(x)的图象向左平移个单位后得到函数y＝g(x)的图象．其中正确命题的序号是________．
三、解答题(共70分)
17．已知函数．
（1）求的值．
（2）求的最小正周期及单调递增区间．
18．在中，角的对边分别为，且.
（1）求的值；
（2）若的面积为，且，求的周长.
19．如图，在以、、、、为顶点的五面体中，平面，，，.的面积且为锐角.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
20．某公司有1000名员工，其中男性员工400名，采用分层抽样的方法随机抽取100名员工进行5G手机购买意向的调查，将计划在今年购买5G手机的员工称为“追光族"，计划在明年及明年以后才购买5G手机的员工称为“观望者”，调查结果发现抽取的这100名员工中属于“追光族”的女性员工和男性员工各有20人.
（1）完成下列列联表，并判断是否有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；
| 属于“追光族" | 属于“观望者" | 合计 |
女性员工 |
|
|
|
男性员工 |
|
|
|
合计 |
|
| 100 |
（2）已知被抽取的这100名员工中有10名是人事部的员工，这10名中有3名属于“追光族”.现从这10名中随机抽取3名，记被抽取的3名中属于“追光族”的人数为随机变量X，求的分布列及数学期望.
附，其中
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
21．已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，求的取值范围.
22．已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）当时，图象的最低点坐标为，正实数，满足，求的取值范围.
参考答案
一、选择题 BBCAA CBDAC DA
二、填空题 13、14、15、16、①④
三、解答题
18、（1）∵，∴由余弦定理可得2bccosA＝bc，∴cosA＝，
∴在△ABC中，sinA＝＝．
（2）∵△ABC的面积为，即bcsinA＝bc＝，∴bc＝6，
又∵sinB＝3sinC，由正弦定理可得b＝3c，∴b＝3，c＝2，则a2＝b2+c2﹣2bccosA＝6，
，所以周长为.
19、（1）证明：由，解得，又为锐角，所以.
在中，由余弦定理可得，，即.
所以为等腰三角形，且，故，即.
平面，平面，而平面，
，又，，平面，平面，
平面.
（2）由，利用等体积法，可得，
因为平面，，，
所以，
故三棱锥的体积为.
20、（1）由题意得，2×2列联表如下：
| 属于“追光族" | 属于“观望者" | 合计 |
女性员工 | 20 | 40 | 60 |
男性员工 | 20 | 20 | 40 |
合计 | 40 | 60 | 100 |
，故没有95%的把握认为该公司员工属于“追光族"与“性别"有关；
（2）由题意得，随机变量X的所有可能的取值为0，1，2，3，
；
；
；
.
所以的分布列为
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
22、【解析】
（1）当时，，
因为，
所以当时，恒成立，此时解为；
当时，，解得，此时解为；
当时，无解，此时解不存在.
综上，的解集为.
（2）当时，，
时，单调递减；时，单调递增；时，单调递增.
画出函数的图象，如下图所示，
图象最低点的坐标为，，
故，即，
所以，
当且仅当时，取等号，此时，
故的取值范围为
.
