2021版高考数学一轮复习单元评估检测三含解析新人教B版

单元评估检测(三)(第七章)(120分钟　150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=12,S5=90,则等差数列{an}的公差d= (　　)A.2   B.   C.3   D.4【解析】选C.因为a1=12,S5=90,所以5×12+d=90,解得d=3.2.在等差数列{an}中,a5+a13=40,则a8+a9+a10= (　　)A.72   B.60   C.48   D.36【解析】选B.根据等差数列的性质可知:a5+a13=40⇒2a9=40⇒a9=20,a8+a9+a10=2a9+a9=3a9=60.3.已知等比数列{an}中,a3·a13=20,a6=4,则a10的值是 (　　)A.16   B.14   C.6   D.5【解析】选D.由等比数列性质可知a3·a13==20,由a6=4,得q4===,所以a10=a6q4=5.4.中国古代数学名著《张邱建算经》中记载:“今有马行转迟,次日减半,疾七日,行七百里”.其大意:现有一匹马行走的速度逐渐变慢,每天走的里程数是前一天的一半,连续走了7天,共走了700里,则这匹马第7天所走的路程等于(　　)A.里    B.里C.里    D.里【解析】选A.设马每天所走的路程是a1,a2,…,a7,是公比为的等比数列,这些项的和为700,S7==700⇒a1=,a7=a1q6=.5.已知等差数列{an}的公差不为零,Sn为其前n项和,S3=9,且a2-1,a3-1,a5-1构成等比数列,则S5=              (　　)A.15   B.-15   C.30   D.25【解析】选D.设等差数列{an}的公差为d(d≠0),由题意解得所以S5=5×1+=25.6.数列{an}的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的 (　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【解题指南】先根据关系式an=求出数列{an}的通项公式,注意验证n=1时是否成立,再看求出的通项公式与an=2n-1谁能推出谁即可.【解析】选D.由题意可得,当n=1时,a1=S1=1+1=2.当n≥2时, an=Sn-Sn-1=(n2+1)-[(n-1)2+1]=2n-1,经过验证后当n=1时不符合上式,所以前n项和Sn=n2+1不能推出an=2n-1,反之,an=2n-1也不能推出Sn=n2+1.故数列{an}的前n项和Sn=n2+1是an=2n-1成立的既不充分又不必要条件.7.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn,且=,则= (　　)A.   B.   C.   D.15【解析】选B.因为======.8.已知{an}是公比不为1的等比数列,数列{bn}满足:a2,,a2n成等比数列,cn=,若数列{cn}的前n项和Tn≥λ对任意的n∈N*恒成立,则λ的最大值为              世纪金榜导学号(　　)A.   B.   C.   D.【解析】选C.由a2,,a2n成等比数列得=a2a2n,又{an}是公比不为1的等比数列,设公比为q,则=q2n,整理得bn=n+1,cn===,数列{cn}的前n项和Tn==,数列{Tn}是递增数列,则当n=1时取到最小值为,可得λ≤,即λ的最大值为.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.在等比数列{an}中,a2a3a4=8,a7=8,则q= (　　)A.   B.2   C.-   D.-2【解析】选AC.因为数列{an}是等比数列,所以a2a3a4==8,所以a3=2,所以a7=a3q4=2q4=8,所以q2=2,所以q=或-.10.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则an等于 (　　)A.-(2n+1)   B.2n-1C.2n+1    D.1-2n【解析】选AC.当n为奇数时,an=n2-(n+1)2=-(2n+1)当n为偶数时,an=-n2+(n+1)2=2n+1.11.设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn.前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a7·a8>1,<0.则下列结论正确的是              (　　)A.0<q<1B.a7·a9>1C.Sn的最大值为S9D.Tn的最大值为T7【解析】选AD.因为a1>1,a7·a8>1,<0,所以a7>1,a8<1,所以0<q<1,故A正确;a7·a9=<1,故B错误;因为a1>1,0<q<1,所以数列为递减数列,所以Sn无最大值,故C错误,又a7>1,a8<1,所以T7是Tn的最大值,故D正确.12.如图,“杨辉三角”中从上往下数共有n(n>7,n∈N)行,设其第k(k≤n,k∈N+)行中不是1的数字之和为ak,由a1,a2,a3,…组成的数列{an}的前n项和是Sn.1　11　2　11　3　3　11　4　6　4　1…　…　…　…下列结论正确的是 (　　)A.a8=254    B.an=+2nC.S3=22    D.Sn=-2-2n【解析】选AD.由已知得an=+++…+-2=(1+1)n-2=2n-2,所以a8=28-2=256-2=254,A正确;an-an-1=2n-2-2n-1+2=2n-1≠2n,B不正确;因为Sn=2-2+22-2+…+2n-2=-2n=2n+1-2n-2,所以S3=24-6-2=8≠22,C不正确,D正确.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2020·泰安模拟)已知数列{an}为等差数列且a7=,则sin(a2+a12)=________. 【解析】在等差数列{an}中,由a7=,得a2+a12=2a7=.所以sin(a2+a12)=sin=.答案:14.在等比数列{an}中,若a1=,a4=-4,则公比q=________,|a1|+|a2|+…+|an|=________. 【解析】本题主要考查了等比数列的通项及其求和.依题意a1=,a4=-4,则·q3=-4,所以q3=-8,所以q=-2.所以an=(-2)n-1,所以|an|=2n-2.所以|a1|+|a2|+…+|an|==2n-1-.答案:-2　2n-1-15.设数列{an}的前n项和为Sn,且∀n∈N*,an+1>an,Sn≥S6.请写出一个满足条件的数列{an}的通项公式an=________.              世纪金榜导学号 【解析】∀n∈N*,an+1>an,则数列{an}是递增的,∀n∈N*,Sn≥S6,即S6最小,只要前6项均为负数,或前5项为负数,第6项为0,即可,所以,满足条件的数列{an}的一个通项公式an=n-6(n∈N*)(答案不唯一).答案:n-6(n∈N*)(答案不唯一)16.(2020·沈阳模拟)各项均为正偶数的数列a1,a2,a3,a4中,前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列,后三项依次成公比为q的等比数列.若a4-a1=88,则q的所有可能的值构成的集合为__________.              世纪金榜导学号 【解析】因为前三项依次成公差为d(d>0)的等差数列,a4-a1=88,所以这四项可以设为a1,a1+d,a1+2d,a1+88,其中a1,d为正偶数,后三项依次成公比为q的等比数列,所以有=,整理得a1=>0,得(d-22)(3d-88)<0,22<d<,a1,d为正偶数,所以d=24,26,28,当d=24时,a1=12,q=;当d=26时,a1=,不符合题意,舍去;当d=28时,a1=168,q=,故q的所有可能的值构成的集合为.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知等差数列{an}的公差d不为0,a1=3,且a2,a4,a7成等比数列.(1)求{an}的通项公式.(2)求a2+a4+a6+…+a2n.【解析】(1)因为a2,a4,a7成等比数列,所以=a2a7,即(a1+3d)2=(a1+d)(a1+6d),化简得(a1-3d)d=0,因为公差d≠0,所以a1=3d,因为a1=3,所以d=1,所以an=a1+(n-1)d=n+2.(2)由(1)知a2n=2n+2,故{a2n}是首项为4、公差为2的等差数列,所以a2+a4+a6+…+a2n===n2+3n.18.(12分)(2020·长沙模拟)设Sn是数列{an}的前n项和,已知a1=1,Sn=2-2an+1.(1)求数列{an}的通项公式.(2)设bn=(-1)nloan,求数列{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)因为Sn=2-2an+1,a1=1,所以当n=1时,S1=2-2a2,得a2=1-=1-=;当n≥2时,Sn-1=2-2an,所以当n≥2时,an=2an-2an+1,即an+1=an,又a2=a1,所以{an}是以1为首项,为公比的等比数列.所以数列{an}的通项公式为an=.(2)由(1)知bn=(-1)n(n-1),所以Tn=0+1-2+3-…+(-1)n(n-1),当n为偶数时,Tn=(-0+1)+(-2+3)+…+[-(n-2)+n-1]=;当n为奇数时,Tn=Tn+1-bn+1=-n=,所以Tn=19.(12分)商学院为推进后勤社会化改革,与桃园新区商定,由该区向建设银行贷款500万元在桃园新区为学院建一栋可容纳一千人的学生公寓,工程于2017年初动工,年底竣工并交付使用,公寓管理处采用收费偿还建行贷款形式(年利率5%,按复利计算),公寓所收费用除去物业管理费和水电费18万元,其余部分全部用于年底还建行贷款.(1)若公寓收费标准定为每生每年800元,问到哪一年可偿还建行全部贷款?(2)若公寓管理处要在2025年年底把贷款全部还清,则每生每年的最低收费标准是多少元(精确到元)?(参考数据:lg 1.734 3≈0.239 1,lg 1.05≈0.021 2,1.058≈1.477 5)【解析】(1)设公寓投入使用后n年可偿还全部贷款,则公寓每年收费总额为1 000×800=800 000(元)=80万元,扣除18万元,可偿还贷款62万元.依题意有62[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)n-1]≥500(1+5%)n+1,化简得62(1.05n-1)≥25×1.05n+1,所以1.05n≥1.734 3.两边取对数并整理得n≥≈≈11.28,所以当取n=12时,即到2029年底可全部还清贷款.(2)设每生每年的最低收费标准为x元,因到2025年底公寓共使用了8年,依题意有[1+(1+5%)+(1+5%)2+…+(1+5%)7]≥500(1+5%)9.化简得(0.1x-18)×≥500×1.059,解得x≥993,所以每生每年的最低收费标准为993元.20.(12分)(2020·武汉模拟)已知数列是各项均为正数的等差数列.(1)若a1=2,且a2,a3,a4+1成等比数列,求数列的通项公式an.(2)在(1)的条件下,数列的前n项和为Sn,设bn=++…+,若对任意的n∈N*,不等式bn≤k恒成立,求实数k的最小值.【解析】(1)因为a1=2,=a2·(a4+1),又因为是正项等差数列,故d≥0,所以(2+2d)2=(2+d)(3+3d),得d=2或d=-1(舍去) ,所以数列的通项公式an=2n.(2) 因为Sn=n(n+1),bn=++…+=++…+=-+-+…+-=-==,令f(x)=2x+(x≥1),则f′(x)=2-, 当x≥1时,f′(x)>0恒成立,所以f(x)在[1,+∞)上是增函数,故当x=1时,[f(x)]min=f(1)=3,即当n=1时,=, 要使对任意的正整数n, 不等式bn≤k恒成立,则需使k≥=, 所以实数k的最小值为.21.(12分)(2020·太原模拟)已知数列{an}满足a1=,an+1=. 世纪金榜导学号(1)求证:数列是等差数列,并求{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=,求数列{bn}的前n项和Sn.【解析】(1)因为an+1=,且可知an≠0,所以-=2,所以数列是等差数列.所以=+2(n-1)=2n,即an=.(2)因为bn==,所以Sn=b1+b2+…+bn=1+++…+,则Sn=+++…+,两式相减得Sn=1++++…+-=2-,所以Sn=4-.22.(12分)设数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=1,Sn+1-2Sn=1(n∈N*). 世纪金榜导学号(1)求证:数列{an}为等比数列.(2)若数列{bn}满足:b1=1,bn+1=+.① 求数列{bn}的通项公式;② 是否存在正整数n,使得bi=4-n成立?若存在,求出所有n的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由Sn+1-2Sn=1,得Sn-2Sn-1=1(n≥2),两式相减,得an+1-2an=0,即=2(n≥2).因为a1=1,由(a1+a2)-2a1=1,得a2=2,所以=2,所以=2对任意n∈N*都成立,所以数列{an}为等比数列,首项为1,公比为2.(2)① 由(1)知,an=2n-1,由bn+1=+,得bn+1=+,即2nbn+1=2n-1bn+1,即2nbn+1-2n-1bn=1,因为b1=1,所以数列{2n-1bn}是首项为1,公差为1的等差数列.所以2n-1bn=1+(n-1)×1=n,所以bn=.②设Tn=bi,则Tn=1×+2×+3×+…+n×,所以Tn=1×+2×+3×+…+n×,两式相减得Tn=+++…+-n×=-n×=2-(n+2)×,所以Tn=4-(2n+4)×.由bi=4-n,得4-(2n+4)×=4-n,即=2n-1.显然当n=2时,上式成立,设f(n)=-2n-1(n∈N*),即f(2)=0.因为f(n+1)-f(n)=-=-<0.所以数列{f(n)}单调递减,所以f(n)=0有唯一解n=2,所以存在唯一正整数n=2使得bi=4-n成立.