北京市第四十三中学2020_2021学年高二数学上学期期中试题

北京市第四十三中学2020-2021学年高二数学上学期期中试题

试卷满分：150分  考试时间：120分钟

一．选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．已知集合，则= (   )

A． B． C． D．

2．若，，则是(  　)

A．第四象限角 B．第三象限角 C．第二象限角 D．第一象限角

3．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（   ）

A． B． C． D．

4．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（    ）

A． B． C． D．

5. ，两点之间的距离为（    ）

 A.             B.                C.              D.

6．已知向量,且,那么（    ）

A． B． C． D．

7．圆的圆心到直线的距离为（    ）

A．2 B． C．1 D．

8．已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）

A．若则 B．若则

C．若则 D．若则

9. 圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是（  ）

A．36          B.           　 C. 18  　    D.

10. 如图,在边长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上移动，且满足B1P⊥D1E，则线段B1P的长度的最大值为                  （   ）

A.                     B. 2

C.                     D. 3

二．填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题纸上）

11. 已知，，则           

12. 过点（1，0）且与直线平行的直线方程是          

13. 直线的倾斜角为         ,x轴上截距为          

14. 在中，，则______，的面积为_______.

15. 已知直线与圆交于两点，若，则____.

16. 已知点P是直线上的一点，过P作圆的切线，

切点为A，则切线长的最小值为__     ___.

三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17. （本题13分）如图，在正三棱柱中，为的中点.

（Ⅰ） 求证：平面；【6分】

 （Ⅱ） 求证：平面.【7分】

18. （本题12分）在钝角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

已知 ，

（Ⅰ）求的大小；【4分】

（Ⅱ）求边和的面积．【8分】

19．（本题10分）已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．

（Ⅰ）求直线的方程．【6分】

（Ⅱ）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．【4分】

20. （本题15分）如图，在四棱锥中，底面为正方形， 底面，,为棱的中点.

（Ⅰ）求证；【4分】

（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；【7分】

（Ⅲ）求点A到平面PBD的距离。【4分】

21.（本题15分） 已知圆C：，直线过定点．

（Ⅰ）若直线与圆C相切，求直线的方程；【5分】

（Ⅱ）若直线与圆C相交于P，Q两点，求的面积的最大值，并求此时直线的方程．【10分】

22. （本题15分）如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，分别为，的中点．

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求证：∥平面；【5分】

（Ⅱ）求证：∥平面；【5分】

（Ⅲ）在棱上是否存在一点，

使得平面平面？说明理由．

【5分】

参考答案

一。选择题

1. C  2. B  3.D  4.B  5.C  6.A  7.B  8.D  9.B  10.D

二。填空题

11.

12.  

13.     ；

14. ；

15.

16.

三。解答题

17.(Ⅰ)证明：因为正三棱柱，为的中点，

所以，底面.                    …………………1分

又因为底面，

所以.                                      …………………3分

又因为，平面，平面，

所以平面.                              …………………6分

(Ⅱ)证明：如图，连接，设，连接，   …………………7分

由正三棱柱，得，

又因为在中，，

所以，                 …………………10分

又因为平面，平面，

所以平面.           …………………13分

18【答案】（1）（2），

【详解】：（1）因为 ，

 所以。。。。。4分

（2）因为所以

     得即所以

     因为三角形是钝角三角形，所以舍去

 所以………12分

错解：（2）没有注意到三角形是钝角三角形，检验cosA<0得到两组解

所以

19．答案：（1）（2）1

【详解】

（），解得，则点的坐标为．

由于点的坐标是，且所求直线与直线垂直，

可设所求直线的方程为．

将点坐标代入得，解得．

故所求直线的方程为．                     .。。。。。。。。。。。。6分

（）由直线的方程知它在轴，轴上的截距分别是，，

所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积．  。。。。。。。。。。。10分

20【答案】

（Ⅰ）证明：因为底面，　所以．

　因为，  所以.

由于，  所以有．…………………４分

（Ⅱ）解：依题意，以点为原点建立空间直角坐标系（如图），

　不妨设，可得，，，.

由为棱的中点，得. 

　向量,.

　设为平面的法向量，则即．

　不妨令，可得（1,1,1）为平面的一个法向量.

所以 .

　所以，直线与平面所成角的正弦值为.           …………………11分

（Ⅲ）解：                               …………………15分

21．【答案】（1）或

【分析】

（1）通过直线的斜率存在与不存在两种情况，利用直线的方程与圆C相切，圆心到直线的距离等于半径即可求解直线的方程；

（2）设直线方程为，求出圆心到直线的距离、求得弦长，得到的面积的表达式，利用二次函数求出面积的最大值时的距离，然后求出直线的斜率，即可得到直线的方程.

【详解】

（1）①若直线l1的斜率不存在，则直线l1：x＝1，符合题意.    。。。。。2分

 ②若直线l1斜率存在，设直线l1的方程为，即．

由题意知，圆心（3，4）到已知直线l1的距离等于半径2，即： ，解之得 .  所求直线l1的方程是或.    。。。。。。。。。。。5分

(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0, 设直线方程为，

则圆心到直线l1的距离 

又∵△CPQ的面积 

                 ＝

∴当d＝时，S取得最大值2.   

∴＝       ∴ k＝1 或k＝7

所求直线l1方程为 x－y－1＝0或7x－y－7＝0 .                .。。。。。。。15分

【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切，圆的弦长公式，以及三角形的面积公式和二次函数的性质等知识点的综合考查，其中熟记直线与圆的位置关系的应用，合理准确计算是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

22. 解：（Ⅰ）在三棱柱中，

         因为侧棱垂直于底面，

         所以平面．                             

         所以．                                   

         因为，，                    

         所以平面．                            

         因为平面，

         所以．                                      ………5分

（Ⅱ）取中点，连结，．

则∥，且，

又因为∥，且，

所以∥，且．

所以四边形为平行四边形．

所以∥．

又平面，平面，

所以∥平面．                                ………10分

（Ⅲ）在棱上存在点，且为的中点．            

      连接．

        在正方形中，   

        因为为中点，

所以△≌△．

所以．

　      所以．        

　由（Ⅰ）可得平面，

  因为//，

  所以平面．

  因为平面，

所以．                                       

        因为，

        所以平面．                                 

因为平面，

所以平面平面．                            ………15分