湖南省长沙市长郡中学2020_2021学年高一数学上学期期中试题
展开湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高一数学上学期期中试题
时量：120分钟 满分：100分
一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1.已知集合M＝{x|－4<x<2}，N＝{x|x2－9<0}，则M∩N＝
A.{x|－4<x<3} B.{x|－4<x<－3} C.{x|－3<x<2} D.{x|－3<x<3}
2.命题“x0∈R，x02＋x0＋1<0”的否定为
A.x0∈R，x02＋x0＋1≥0 B.x0R，x02＋x0＋1≥0
C.x∈R，x2＋x＋1≥0 D.xR，x2＋x＋1≥0
★3.下列四个函数中是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减的是
A.f(x)＝ B.f(x)＝1－x2 C.f(x)＝1－2x D.y＝|x|
4.幂函数y＝f(x)的图象经过点(2，)，则f(x)
A.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增
B.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减
C.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减
D.既不是奇函数，也不是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增
5.若f(x)满足关系式f(x)＋2f()＝3x，则f(2)的值为
A.1 B.－1 C.－ D.
6.在函数y＝|x|，x∈[－1，1]的图象上有一点P(t，|t|)，此函数与x轴、直线x＝－1及x＝t围成图形如图阴影部分的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为
7.若<0，有下面四个不等式：
①a2>b2，②>2，③a＋b<ab，④a3<b3
则不正确的不等式的个数是
A.0 B.1 C.2 D.3
8.已知奇函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是
A.[－2，2] B.[－1，1] C.[0，4] D.[1，3]
9.已知a>0，b>0，则“a＋b≤2”是“ab≤1”的
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
10.已知f(x)＝，在(－∞，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为
A.(0，3) B.[，3) C.[，3) D[，]
★11.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产。分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有基础上增长了1.2x%。若要保证产品A的产值不减少，则最多能分流的人数是
A.15 B.16 C.17 D.18
12.已知λ∈R，函数f(x)＝，若方程f(x)＝0恰有2个实数解，则λ的取值范围是
A.(－2，1] B.(－2，1]∪(2，＋∞) C.(－2，1]∪[2，＋∞) D.(－2，1)∪[2，＋∞)
二、多项选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
13.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有
A.f(x)＝x与g(x)＝ B.f(x)＝x＋1与g(x)＝
C.f(x)＝与g(x)＝ D.f(x)＝与g(x)＝
14.已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，分析该函数图象的特征，若方程f(x)＝0一根大于3，另一根小于2，则下列不等式一定成立的是
A.2<－<3 B.4ac－b2<0 C.f(2)<0 D.f(3)<0
15.设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则函数y＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数，如：[1.5]＝1，[－1.3]＝－2，则下列结论正确的是
A.若n∈Z，则[n＋x]＝n＋[x]
B.x－1<[x]≤x
C.0≤[x[x]]<2的解集为[0，2)
D.当x∈[0，n)，n∈N*时，函数f(x)＝[x[x]]的值域中元素个数为
三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
16.集合M满足{a，b，c}M{a，b，c，d，e}，则这样的集合M有 个。
17.若函数y＝f(x)的定义域是[1，2]，则函数y＝f()的定义域为 。
18.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x－x2，则函数f(x)的解析式为 。
19.若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝在区间[2，4]上都是减函数，则a的取值范围是 。
20.已知函数f(x)＝，若存在0<x1<x2<x3<x4，使得f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则x1x2x3x4的取值范围是 。
四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
21.已知A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|－x2＋4x＋5<0}。
(1)若a＝－3，求A∩B；
(2)若x∈A是x∈B的充分不必要条件，求实数a的取值范围。
22.已知x>0，y>0，2xy＝x＋4y＋a。
(1)当a＝6时，求xy的最小值；
(2)当a＝0时，求x＋y的最小值。
23.某家庭进行理财投资，根据市场长期收益率预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)。
(1)分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；
(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?
24.已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5。
(1)若a>1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
(2)若不等式x[x2－f(x)]≤1对x∈[，]恒成立，求实数a的取值范围。
25.我们知道，函数y＝f(x)的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图像关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数。
(1)求函数f(x)＝x3－3x2图像的对称中心；
(2)请利用函数f(x)＝x3－3x2的对称性求f(－2018)＋f(－2017)＋…＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＋f(2020)的值。
(3)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图像关于x轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论。
