中考数学 专项训练 考点03 一线三垂直模型构造全等三角形(能力)

专题03 一线三垂直模型构造全等三角形

1、如图，AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点D，P是BD上一点，且AP=PC,AP⊥PC,求证：△ABP≌△PDC

解析：∵AP⊥PC,

∴∠APB＋∠CPD=900,

∵AB⊥BD于点B，CD⊥BD于点

D,∴∠B=∠D=900[来源:学科网ZXXK]

∴∠CPD+∠PCD=900,∴∠APB=∠PCD,又AP=PC,∴△ABP≌△PDC

2、如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（-1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E。

（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在线段OB（点p不与O，B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；

（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN，MB，请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由。

解析：（1）将点A（-1，0）和点B（3，0）代入抛物线解析式可求得，b=-2,c=-3,所以y=x2-2x-3.

(2)  通过同角的余角相等得∠EPO=∠PCB, ∠EOP=∠PBC-900,得△EPO∽△PCB，所以,设OE=y，OP=x，则y=-x2+x=-(x-)2+(0<x<3)

又-<0，所以当x=时，OE有最大值为。

(3)  过点M作MG∥y轴，交BN于点G，

设M（m,m2-2m-3）。由N、B两点可求得直线BN的解析式：

Y=x-3，可得G（m,m-3），则

GM=-m2+3m，所以S△MBN=×（-m2+3m）×3=-（m-）2+.

当M(，-)时，△BMN的面积取得最大值。

3、如图，直线y=-3x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=-x2+bx+c与直线y=c分别交y轴的正半轴于点C和第一象限的点p，连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）。若抛物线与x轴正半轴交点为点F，设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点），其横坐标为m.

（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；

（2）当m为何值时，△MAB的面积S取得最小值和最大值？请说明理由；

（3）求满足∠MPO=∠POA的点M的坐标。

解析：(1)由△PCB≌△BOA可得PC=OB=3,BC=OA=1,所以P（3，4），（0，4）.将P（3，4），C（0，4）代入解析式得，b=3,  c=4，所以抛物线y=-x2+3x+4。

（2）过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则S△AMB=S梯形MNOB-S△AOB-S△AMN,代入整理得；S△AMB=-（m-3）2+5,又知

0≤m≤4，且a=-<0，所以当m=3时，有最大值为5，当m=0时，面积最小为。

（3）此问分两种情况①当M点在OP左侧，当∠MPO=∠POA时，M点与P重合，此时M（0，4）.②当M点在OP的右侧，当∠MPO=∠POA时，有PG=OG,设G（x，0）由勾股定理得

PG2=（x-3）2+16

所以x2=（x-3）2+16

解得x=，这样可求得PM的解析式：[来源:Zxxk.Com]

Y=-x+与y=-x2+3x+4建立方程组可求得M(,)[来源:学+科+网Z+X+X+K]

当∠MPO=∠POA时,M(0,4)或M(,)

4、如图，线段AB=8，射线BG⊥AB，P为射线BG上一点，以AP为边作正方形APCD，且点C、D与点B在AP两侧，在线段DP上取一点E，使∠EAP=∠BAP，直线CE与线段AB相交于点F（点F与点A、B不重合）。

（1）求证：△AEP≌△CEP；

（2）判断CF与AB的位置关系，并说明理由；

（3）求△AEF的周长。

解析：（1）∵四边形APCD是正方形，DP是对角线，∴根据SAS可证△AEP≌△CEP。

（1）过C作CN⊥BP交BP于点N，这样就构造出一线三垂直基本图形，由AAS容易证△ABP≌△PNC, ∴∠PAB=∠CPN,∵△AEP≌△CEP,∴∠PAE=∠PCE又∠EAP=∠BAP,∴∠CPN=∠PCE,∴CF∥BN,∵BG⊥AB,∴CF⊥AB.

（2）△AEF的周长=AE+AF+EF,

又AE=CE,CE+EF=PN+PB,PB=CN=FB,PN=AB

∴△AEF的周长=AB+FB+AF=2AB=16.

5、如图，在四边形ABFG中，AB=10，BF=4，∠B=600,设AE=x，AG=y，求y与x的函数关系式。

解析：过点F作FD⊥AB,垂足为D,

∵∠B=600,BF=4

∴DF=2,DB=2

∴AD=8,由AE=x得DE=8-x。由一线三垂直，知△AEG∽△DFE,∴=, ∴y=(8x-x2)整理成一般式就可以了。

6、如图，在正方形ABCD中，E是DC边上一点，（与D、C不重合），连接AE，将△ADE沿AE所在的直线折叠得到△AFE，延长EF交BC于G，连接AG,作GH⊥AG，与AE的延长线交于点H，连接CH。显然AE是∠DAF的平分线，EA是∠DEF的平分线，仔细观察，请逐一找出图中其他的角平分线（仅限于小于1800的角平分线），并说明理由 。[来源:学科网]

解析：AG平分∠BAF,GA平分∠BGF,GH平分∠EGC，CH平分∠DCM.理由如下：∵AB=AF=AD,AG=AG，∴△AFG≌△ABG,∴∠BAG=∠GAF,∠AGB=∠AGF,即AG平分∠BAF,GA平分∠BGF。过H作HN⊥BC交BC于N，容易证得△GAB≌△HGN,得HN=BG，GN=AB=BC，∴CN=BG=HM，∴∠HCN=∠DCM=450,即CH平分∠DCM，根据同角的余角相等得∠FAG=∠EGH,而∠FAG=∠BAG=∠HGN,即GH平分∠EGC

7、如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点。

（1）求此抛物线的表达式；

（2）抛物线上有一点P，满足∠PBC=900，求点P的坐标。[来源:学科网]

解析：（1）设抛物线解析 式：y=a(x-2)(x-6)，将C（0，3）代入可得

y=-2x+3。（2）过点P，作PD⊥x轴交x轴于D，由一线三垂直知

△OBC∽△DPB,∴=, ∴=,设BD=m则，PD=2m，

∴P（6+m,2m）将点P坐标代入y=-2x+3中，可求得P的坐标。