中考数学 专项训练 考点02 倍长中线模型构造全等三角形(基础)
展开专题02 倍长中线模型构造全等三角形
1、如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AF=EF,求证：AC=BE.
【解析】
倍长AD至点M，得8字全等△BMD≌△CAD（AAS）
∵AF=EF
∴∠FAE=∠FEA，BE=BM
∴AC=BM=BE
2、如图所示，已知△ABC中，AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上，DE=CD,EF=AC.求证EF∥AB.
【解析】[来源:学科网ZXXK]
倍长FD至点M得8字全等△FED≌△MCD（AAS）
所以EF=CM=AC
∴∠CAD=∠EFD=∠BAD
∴EF∥AB
3、已知△ABC中，AB=AC,CF是AB边上的中线，延长AB到D,使BD=AB,求证：CD=2CE.
【解析】倍长CE至点M，连BM，证△DCB≌△MCB
如图所示，∠BAC=∠DAE=90°，M是BE的中点，AB=AC,AD=AE
求证：AM⊥CD
【解析】倍长AM至点F，连BF和EF
可证△ABF≌△CAD（SAS）
∠C+∠CAF=∠BAF+∠CAF=90°
∴AM⊥CD
4、如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，E为AB边的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，且AG=1，BF=2．若GE⊥EF，则GF的长为多少？
[来源:Z§xx§k.Com]
解：如图，延长GE交CB的延长线于点H
∵AD∥BC[来源:学,科,网Z,X,X,K]
∴∠GAE=∠HBE
∵E为AB边的中点
∴AE=BE
在△AGE和△BHE中，
∴△AGE≌△BHE（ASA）
∴BH=AG，HE=GE
∵GE⊥EF
∴GF=HF
∵BF=2，AG=1
∴GF=HF=BF+BH
=BF+AG
=2+1
=3
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．
求证：AB=AC．
方法1：
如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（SAS）
∴AC=BE，∠E=∠2[来源:学科网ZXXK]
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2[来源:Z。xx。k.Com]
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
方法2：
如图，过点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E
∵BE∥AC
∴∠E=∠2
在△BDE和△CDA中
∴△BDE≌△CDA（AAS）
∴BE=AC
∵AD平分∠BAC
∴∠1=∠2
∴∠1=∠E
∴AB=BE
∴AB=AC
