中考数学 专项训练 考点02 倍长中线模型构造全等三角形

专题02 倍长中线模型构造全等三角形

【专题说明】

倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用，不太会有自己画中线的时候）。

【知识总结】

题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.

主要思路：倍长中线（线段）造全等

在△ABC中 AD是BC边中线

延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 

  作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E  连接BE                                        

延长MD到N， 使DN=MD，连接CD

1、     如图，已知在△ABC中，D为AC中点，连接BD.若AB=10cm,BC=6cm,求中线BD的取值范围。

解：如图，延长BD至E,使BD=DE,连接CE,

∵D为AC中点

∴AD=DC,

在△ABD和△CED中，

BD=DE,

∠ADB=∠CDE

AD=CD

∴△ABD≌△CED（SAS）

∴EC=AB=10

在△BCE中，CE-BC＜BE＜CE+BC

10-6＜BE＜10+6

∴4＜2BD＜16

∴2＜BD＜8

2、已知，如图△ABC中，AM是BC边上的中线，求证：AM＜

解析：

延长AM到D，使MD=AM,连CD

∵AM是BC边上的中线，

∴BM=CM

又AM=DM,∠AMB=∠CMD

∴△ABM≌△DCM，∴AB=CD

在△ACD中，则AD＜AC+CD

即2AM＜AC+AB

∴AM＜

3、如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交EF于点G，若BG=CF,求证：AD为△ABC的角平分线.

解析：

延长FE,截取EH=EG,连接CH

可证得：△BEG≌△CEH（SAS）

∴∠BGE=∠H,BG=CH

∵CF=BG,

∴CH=CF,∴∠F=∠H=∠FGA

∵EF∥AD

∴∠F=∠CAD,∠BAD=∠FGA[来源:学科网ZXXK]

∴∠CAD=∠BAD

∴AD平分∠BAC.

[来源:学.科.网Z.X.X.K]

4、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB、AC于点E、F，求证：BE+CF＞EF.

解析：

延长ED到H,使DE=DH,连接CH,FH,

∵AD是△ABC的中线，

∴BD=DC

∵DE、DF分别为∠ADB和∠ADC的平分线

∴∠1=∠4=∠ADB,∠3=∠5=∠ADC

又∵∠1=∠2，∴∠4=∠2

∴∠4+∠5=∠2+∠3=90°

∴△EFD≌△HFD（AAS）

∴EF=FH

在△BDE和△CDH中，

DE=DH

∠1=∠2

BD=DC

∴△BDE≌△CDH（SAS）

∴BE=CH

在△CFH中，由三角形三边关系定理得：CF+CH＞FH

∵CH=BE,FH=EH

∴BE+CF＞EF.

5、在Rt△ABC中，∠A=90°，点D为BC的中点，点E,F分别为AB，AC上的点，且ED⊥FD,以线段BE,EF,FC为边能否构成一个三角形？若能，请判断三角形的形状？

[来源:Zxxk.Com]

解析：

连接AD，作BG∥FC,与FD延长线交于G，连接EG,

∵BG平行FC，∴∠FCD=∠DBG,∠CFD=∠G[来源:学科网]

在△DFC和△BDG中，

∠DFC=∠G

∠FCD=∠DBG[来源:Zxxk.Com]

BD=CD

∴△DFC≌△BDG(AAS)

∴FC=BG,DG=DF,∠DBG=∠ACB

又∵ED⊥FD,∴EF=EG

∵∠ABC+∠ACB=90°，∴∠ABG=∠ABC+∠DBG=∠ABC+∠ACB=90°

∴△EBG为直角三角形

∴BE.EF,FC为边能构成一个三角形，且为直角三角形.