中考数学 专项训练 考点02 倍长中线模型构造全等三角形(能力)

专题02 倍长中线模型构造全等三角形如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线．（1）按要求作图：延长AD到点E，使DE=AD；连接BE．（2）求证：△ACD≌△EBD．（3）求证：AB+AC >2AD．（4）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围． 解：（1）如图，（2）证明：如图，∵AD为BC边上的中线∴BD=CD在△BDE和△CDA中∴△BDE≌△CDA（SAS）（3）证明：如图，∵△BDE≌△CDA∴BE=AC∵DE=AD∴AE=2 AD在△ABE中，AB+BE>AE∴AB+AC>2AD（4）在△ABE中，ABBE<AE<AB+BE由（3）得 AE=2AD，BE=AC∵AC=3，AB=5∴53<AE<5+3∴2<2AD<8∴1<AD<4 [来源:学&科&网Z&X&X&K]          如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD=CD．求证：AB=AC．证明：如图，延长AD到E，使DE=AD，连接BE在△ADC和△EDB中∴△ADC≌△EDB（SAS）∴AC=EB，∠2=∠E∵AD平分∠BAC∴∠1=∠2∴∠1=∠E∴AB=BE∴AB=AC                  如图，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB=AC．求证：①CE=2CD；②CB平分∠DCE．证明：如图，延长CD到F，使DF=CD，连接BF∴CF=2CD∵CD是△ABC的中线∴BD=AD在△BDF和△ADC中∴△BDF≌△ADC（SAS）∴BF=AC，∠1=∠F∵CB是△AEC的中线∴BE=AB∵AC=AB∴BE=BF∵∠1=∠F∴BF∥AC∴∠1+∠2+∠5+∠6=180°又∵AC=AB∴∠1+∠2=∠5又∵∠4+∠5=180°∴∠4=∠5+∠6即∠CBE=∠CBF在△CBE和△CBF中∴△CBE≌△CBF（SAS）∴CE=CF，∠2=∠3∴CE=2CDCB平分∠DCE[来源:学科网ZXXK]                如图，在△ABC中，D是BC的中点，E是AD上一点，BE=AC，BE的延长线交AC于点F．求证：∠AEF=∠EAF．  证明：如图，延长AD到M，使DM=AD，连接BM∵D是BC边的中点∴BD=CD在△ADC和△MDB中[来源:学科网ZXXK]∴△ADC≌△MDB（SAS）∴∠1=∠M，AC=MB∵BE=AC∴BE=MB∴∠M=∠3[来源:Zxxk.Com]∴∠1=∠3∵∠3=∠2∴∠1=∠2即∠AEF=∠EAF             如图，在△ABC中，AD交BC于点D，点E是BC的中点，EF∥AD交CA的延长线于点F，交AB于点G，BG=CF．求证：AD为△ABC的角平分线．证明：如图，延长FE到M，使EM=EF，连接BM∵点E是BC的中点∴BE=CE在△CFE和△BME中∴△CFE≌△BME（SAS）∴CF=BM，∠F=∠M∵BG=CF∴BG=BM∴∠1=∠M∴∠1=∠F∵AD∥EF∴∠3=∠F，∠1=∠2∴∠2=∠3即AD为△ABC的角平分线           如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，且AF⊥AB，已知AD=2.7，AE=BE=5，求CE的长．解：如图，延长AF交BC的延长线于点G∵AD∥BC∴∠3=∠G∵点F是CD的中点∴DF=CF在△ADF和△GCF中∴△ADF≌△GCF（AAS）∴AD=CG∵AD=2.7∴CG=2.7∵AE=BE∴∠1=∠B∵AB⊥AF∴∠1+∠2=90°∠B+∠G=90°∴∠2=∠G∴EG=AE=5∴CE=EGCG=52.7=2.3  如图，在正方形ABCD中，CD=BC，∠DCB=90°，点E在CB的延长线上，过点E作EF⊥BE，且EF=BE．连接BF，FD，取FD的中点G，连接EG，CG．求证：EG=CG且EG⊥CG．证明：如图，延长EG交CD的延长线于点M由题意，∠FEB=90°，∠DCB=90°∴∠DCB+∠FEB=180°∴EF∥CD∴∠FEG=∠M∵点G为FD的中点∴FG=DG在△FGE和△DGM中∴△FGE≌△DGM（AAS）∴EF=MD，EG=MG∵△FEB是等腰直角三角形∴EF=EB∴BE=MD在正方形ABCD中，BC=CD[来源:学科网]∴BE+BC=MD+CD即EC=MC∴△ECM是等腰直角三角形∵EG=MG∴EG⊥CG，∠3=∠4=45°∴∠2=∠3=45°∴EG=CG