中考数学 专项训练 考点06 对角互补模型在三角形中应用(能力)

专题06 对角互补模型在三角形中应用1、如图所示，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，连接AD、CE，若∠BAD＝39°,那么∠ACE＝_______．解：∵△ABC和△BDE均为等边三角形，∴∠ABC＝∠DBE＝60°，AB＝BC，BE＝BD，∴∠CBD＝60°，∴∠ABD＝∠CBE＝120°，[来源:Z§xx§k.Com]在△ABD和△CBE中，，∴△ABD≌△CBE，（SAS）∴∠AEC＝∠ADB，∵∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAD＝21°，∴∠AEC＝21°，∴∠ACE＝99°，故答案为：99°．       2、如图,△ABC为等边三角形,AB＝2,点D为BC边上的动点,连接AD,以AD为一边向右作等边△ADE,连接CE(1)在点D从点B运动到点C的过程中,点E运动的路径长为_________;2)在点D的运动过程中,是否存在∠DEC＝60°,若存在,求出BD的长,若不存在,请说明理由.(3)取AC中点P,连接PE,在点D的运动过程中,求PE的最小值.解：(1)△ABD≌△ACE可得BD=CE,E的运动路径的长即D的运动路径长，BC=2.(2)∠DEC＝60°相当于∠AEC=∠ADB=120°，即∠EDC=0°,此时点D与点B重合.因此不存在.(3)∠ACE=60°,当PE⊥CE时取最小值.PE=PCcos60°=.3、在锐角△ABC中，AB＝4,BC＝5,∠ACB＝45°,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到．（1）如图1，当点在线段CA的延长线上时，求的度数；（2）如图2，连接．若的面积为4，求的面积；图1                    图2解：（1）由旋转的性质可得：∠A1C1B＝∠ACB＝45°，BC＝BC1，∴∠CC1B＝∠C1CB＝45°，∴∠CC1A1＝∠CC1B＋∠A1C1B＝45°＋45°＝90°．（2）∵△ABC≌△A1BC1，∴BA＝BA1，BC＝BC1，∠ABC＝∠A1BC1，∴，∠ABC＋∠ABC1＝∠A1BC1＋∠ABC1，∴∠ABA1＝∠CBC1，∴△ABA1∽△CBC1．∴，∵S△ABA1＝4，∴S△CBC1＝； 4、【提出问题】（1）如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等边△AMN,连结CN．求证：BM＝CN．【类比探究】（2）如图2，在等边△ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其它条件不变,(1)中结论BM＝CN还成立吗？请说明理由．【拓展延伸】（3）如图3，在等腰△ABC中，BA＝BC,AB＝6,AC＝4，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连结AM，以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN＝∠ABC．连结CN．试探究BM与CN的数量关系，并说明理由．图1                   图2                    图3（1）证明：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN． （2）解：结论∠ABC＝∠ACN仍成立；理由如下：∵△ABC、△AMN是等边三角形，∴AB＝AC，AM＝AN，∠BAC＝∠MAN＝60°，∴∠BAM＝∠CAN，∵在△BAM和△CAN中，∴△BAM≌△CAN（SAS），∴∠ABC＝∠ACN． （3）解：∠ABC＝∠ACN；理由如下：∵BA＝BC，MA＝MN，顶角∠ABC＝∠AMN，∴底角∠BAC＝∠MAN，[来源:学_科_网Z_X_X_K]∴△ABC∽△AMN，∴＝，又∵∠BAM＝∠BAC﹣∠MAC，∠CAN＝∠MAN﹣∠MAC，∴∠BAM＝∠CAN，∴△BAM∽△CAN，∴∠ABC＝∠ACN．5、如图，正方形ABCD、BGFE边长分别为2、1，正方形BGFE绕点B旋转，直线AE、GC相交于点H．（1）在正方形BGFE绕点B旋转过程中,∠AHC的大小是否始终为90°,请说明理由；（2）连接DH、BH，在正方形BGFE绕点B旋转过程中，求DH的最大值；         备用图解：（1）是，理由如下：如图，由旋转知，∠ABE＝CBG，在正方形ABCD，BGFE中，AB＝BC，BE＝BG，∠ADC＝∠BCD＝∠BAD＝∠ABC＝90°，∴△ABE≌△CBG，∴∠BAE＝∠BCG，记AH与BC的交点为点P，∵∠APB＝∠CPH，∠ABC＋∠BAE＋∠APB＝180°∠AHC＋∠BCG＋∠CPH＝180°，∴∠AHC＝∠ABC＝90°，（2）DH≤DE+EG=BD= [来源:Z&xx&k.Com]  6、如图1，已知点A(0,－3)和x轴上的动点C(m,0),△AOB和△BCD都是等边三角形．（1）在C点运动的过程中，始终有两点的距离等于OC的长度，请将它找出来，并说明理由．（2）如图2，将△BCD沿CD翻折得△ECD,当点C在x轴上运动时，设点E(x,y),请你用m来表示点E的坐标并求出点E运动时所在图象的解析式．（3）在C点运动的过程中，当时，直接写出△ABD是等腰三角形时E点的坐标．图1                图2解：（1）连接AD，如图1所示．A、D两点间的距离始终等于OC的长度．理由如下：∵△AOB和△BCD都是等边三角形，∴AB＝OB，BD＝BC，∠ABO＝∠CBD＝60°，∵∠ABD＝∠ABO＋∠OBD，∠OBC＝∠OBD＋∠DBC，∴∠ABD＝∠OBC．在△ABD和△OBC中，有，∴△ABD≌△OBC（SAS），∴AD＝OC．（2）过D作DF⊥y轴于F，连接BE，如图2所示．由（1）可知△ABD≌△OBC，∴AD＝OC＝m，∠DAF＝∠BAO﹣∠BAD＝60°﹣（90°﹣60°）＝30°∴DF＝AD•sin∠DAF＝m，AF＝AD•cos∠DAF＝m，∵A（0，﹣3），∴D（m，m﹣3）．∵将△BCD沿CD翻折得△ECD且△BCD是等边三角形，∴四边形BCED是菱形，[来源:学科网ZXXK]∴BE、CD互相平分．∵△AOB是等边三角形，且点O（0，0），点A（0，﹣3），∴点B（，﹣），∴E（m﹣，m﹣）．∵m﹣＝（m﹣），∴点E在图形y＝x上运动．（3）∵点A（0，﹣3），点B（，﹣），点D（m，m﹣3），∴AB＝3，AD＝m，BD＝＝，△ABD为等腰三角形分三种情况：①当AB＝AD时，有3＝m，此时点E的坐标为（﹣，﹣）；②当AB＝BD时，有3＝，解得：m＝0（舍去），或m＝3，此时点E的坐标为（3，3）；③当AD＝BD时，有m＝，解得：m＝（舍去）．综上可知：在C点运动的过程中，当m＞时，△ABD是等腰三角形时E点的坐标为（﹣，﹣）或（3，3）． 7、【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD,使AE＝AB,AD＝AC,∠BAE＝∠CAD,连接BD,CE,试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB＝7cm,BC＝3cm,∠ABC＝∠ACD＝∠ADC＝45°,求BD的长．（3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．图1                 图2                 图3解：（1）BD＝CE．理由是：∵∠BAE＝∠CAD，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE；（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE＝90°，AE＝AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴AC＝AD，∠CAD＝90°，∴∠BAE＋∠BAC＝∠CAD＋∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE．∵AE＝AB＝7，∴BE＝＝7，∠ABE＝∠AEB＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＋∠ABE＝45°＋45°＝90°，∴EC＝＝＝，∴BD＝CE＝．（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．∵AE⊥AB，∴∠BAE＝90°，又∵∠ABC＝45°，∴∠E＝∠ABC＝45°，∴AE＝AB＝7，BE＝＝7，又∵∠ACD＝∠ADC＝45°，∴∠BAE＝∠DAC＝90°，∴∠BAE﹣∠BAC＝∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，在△EAC和△BAD中，，∴△EAC≌△BAD，∴BD＝CE，∵BC＝3，∴BD＝CE＝（7﹣3）cm．   2、(1)如图1，已知△ABC,以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE、CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：BE＝CD；（2）如图2，利用（1）中的方法解决如下问题：在四边形ABCD中，AD＝3,BD＝2,∠ABC＝∠ACB＝∠ADB＝45°,求BD的长；（3）如图3，四边形ABCD中,∠BAC＝90°,∠ADB＝∠ABC＝α,tanα＝＝5,AD＝12，求BD的长． 图1                 图2                    图3解：（1）如图1，分别以点A、B为圆心，以AB为半径画弧，交于点D，连接AD、BD，再分别以A、C为圆心，以AC为半径画弧，交于点E，连接AE、CE，则△ABD、△ACE就是所求作的等边三角形；证明：如图1，∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD＝AB，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE（SAS），∴BE＝CD； （2）如图2，过A作AE⊥AD，使AD＝AE＝3，连接DE、CE，由勾股定理得：DE＝＝3，∴∠EDA＝45°，∵∠ADC＝45°，∴∠EDC＝∠EDA＋∠ADC＝90°，∵∠ACB＝∠ABC＝45°，∴∠CAB＝90°，∴∠CAB＋∠DAC＝∠EAD＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，∵AE＝AD，AC＝AB，∴△DAB≌△EAC（SAS），∴EC＝BD，在Rt△DCE中，EC＝＝＝，∴BD＝EC＝；[来源:学科网] （3）如图3，作直角三角形DAE，使得∠DAE＝90°，∠DEA＝∠ACB，连接EC，容易得到△DAE∽△BAC，∴，即，∵∠DAE＝∠BAC＝90°，∴∠DAE＋∠DAC＝∠BAC＋∠DAC，即∠EAC＝∠DAB，∴△EAC∽△DAB，∴，在△DCE中，∠ADC＝∠ACB，∠EDA＝∠ABC，∴∠EDC＝90°，∵，AD＝12，∴AE＝9，∠DAE＝90°，∴DE＝＝15，CE＝＝5，由△EAC∽△DAB，∴BD＝．