中考数学 专项训练 考点19 动点在二次函数图象中的分类讨论(能力)

专题19 动点在二次函数图象中的分类讨论1、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，cosA＝，点P是边AB上的动点，以PA为半径作⊙P． （1）若⊙P与AC边的另一个交点为D，设AP＝x，△PCD的面积为y，求y关于x的函数解析式，并直接写出函数的定义域；（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，求AP的长；（3）若⊙C的半径等于1，且⊙P与⊙C的公共弦长为，求AP的长．图1                              备用图思路点拨1．△PCD的底边CD上的高，就是弦AD对应的弦心距．[来源:Z*xx*k.Com]2．若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距相等．3．⊙C的半径等于1，公共弦MN＝，那么△CMN是等腰直角三角形．在四边形CMPN中，利用勾股定理列关于x（⊙P的半径）的方程．[来源:学&科&网Z&X&X&K]满分解答（1）如图2，在Rt△ABC中， AC＝4，cosA＝，所以AB＝16，BC＝．设弦AD对应的弦心距为PE，那么AE＝AP＝x，PE＝AP＝x．所以y＝S△PCD＝＝＝．定义域是0＜x＜8．（2）若⊙P被直线BC和直线AC截得的弦长相等，那么对应的弦心距PF＝PE．因此四边形AEPF是正方形（如图3），设正方形的边长为m．由S△ABC＝S△ACP＋S△BCP，得AC·BC＝m(AC＋BC)．所以m＝＝．此时AE＝＝，AP＝4AE＝．图2                                     图3（3）如图4，设⊙C与⊙P的公共弦为MN，MN与CP交于点G．由于CM＝CN＝1，MN＝，所以△CMN是等腰直角三角形，CG＝NG＝．如图5，作CH⊥AB于H，由AC＝4，那么AH＝1，CH2＝15．所以CP＝＝．因此PG＝（如图4）．如图4，在Rt△PNG中，由勾股定理，得．整理，得2x2－64x＋257＝0．解得，（舍去）．图4                          图52、如图1，在四边形OABC中，AB//OC，BC⊥x轴于点C，A(1,－1)，B(3,－1)，动点P从O出发，沿着x轴正方向以每秒2个单位长度的速度移动．过点P作PQ垂直于直线OA，垂足为Q．设点P移动的时间为t秒（0＜t＜2），△OPQ与四边形OABC重叠部分的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式，并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示点P、Q的坐标；（3）如果将△OPQ绕着点P按逆时针方向旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求出S与t的函数关系式．图1思路点拨1．△OPQ在旋转前后保持等腰直角三角形的形状．2．试探取不同位置的点P，观察重叠部分的形状，要分三种情况讨论． 满分解答（1）由A(1,－1)、B(3,－1)，可知抛物线的对称轴为直线x＝1，点O关于直线x＝1的对称点为(4,0)．于是可设抛物线的解析式为y＝ax(x－4)，代入点A(1,－1)，得－3a＝－1．解得．所以．顶点M的坐标为．（2）△OPQ是等腰直角三角形，P(2t, 0)，Q(t,－t)．（3）旋转后，点O′的坐标为(2t,－2t)，点Q′的坐标为(3t,－t)．将O′(2t,－2t)代入，得．解得．将Q′(3t,－t)代入，得．解得t＝1．因此，当时，点O′落在抛物线上（如图2）；当t＝1时，点Q′落在抛物线上（如图3）．图2                                   图3（4）①如图4，当0＜t≤1时，重叠部分是等腰直角三角形OPQ．此时S＝t2．②如图5，当1＜t≤1.5时，重叠部分是等腰梯形OPFA．此时AF＝2t－2．此时S＝．图4                                 图5③如图6，当1.5＜t＜2时，重叠部分是五边形OCEFA．此时CE＝CP＝2t－3．所以BE＝BF＝1－(2t－3)＝4－2t．所以S＝．图63、如图1， △ABC是以BC为底边的等腰三角形，点A、C分别是一次函数的图像与y轴、x轴的交点，点B在二次函数的图像上，且该二次函数图像上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形．（1）试求b、c的值，并写出该二次函数的解析式；（2）动点P从A到D，同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动，问：①当P运动到何处时，由PQ⊥AC？②当P运动到何处时，四边形PDCQ的面积最小？此时四边形PDCQ的面积是多少？图1 思路点拨1．求抛物线的解析式需要代入B、D两点的坐标，点B的坐标由点C的坐标得到，点D的坐标由AD＝BC可以得到．2．设点P、Q运动的时间为t，用含有t的式子把线段AP、CQ、AQ的长表示出来．3．四边形PDCQ的面积最小，就是△APQ的面积最大．满分解答（1）由，得A(0,3)，C(4,0)．由于B、C关于OA对称，所以B(－4,0)，BC＝8．因为AD//BC，AD＝BC，所以D(8,3)．[来源:学+科+网Z+X+X+K]将B(－4,0)、D(8,3)分别代入，得解得，c＝－3．所以该二次函数的解析式为．（2）①设点P、Q运动的时间为t．如图2，在△APQ中，AP＝t，AQ＝AC－CQ＝5－t，cos∠PAQ＝cos∠ACO＝．当PQ⊥AC时，．所以．解得．图2                                    图3②如图3，过点Q作QH⊥AD，垂足为H．由于S△APQ＝，S△ACD＝，所以S四边形PDCQ＝S△ACD－S△APQ＝．所以当AP＝时，四边形PDCQ的最小值是．4、如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，联结BC、AC．（1）求AB和OC的长；（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合），过点E作BC的平行线交AC于点D．设AE的长为m，△ADE的面积为s，求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（3）在（2）的条件下，联结CE，求△CDE面积的最大值；此时，求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留π）．图1思路点拨1．△ADE与△ACB相似，面积比等于对应边的比的平方．2．△CDE与△ADE是同高三角形，面积比等于对应底边的比．满分解答（1）由，得A(－3,0)、B(6,0)、C(0,－9)．所以AB＝9，OC＝9．（2）如图2，因为DE//CB，所以△ADE∽△ACB．所以．而，AE＝m，所以． m的取值范围是0＜m＜9．图2                                  图3（3）如图2，因为DE//CB，所以．因为△CDE与△ADE是同高三角形，所以．所以．当时，△CDE的面积最大，最大值为．此时E是AB的中点，．如图3，作EH⊥CB，垂足为H．在Rt△BOC中，OB＝6，OC＝9，所以．在Rt△BEH中，．当⊙E与BC相切时，．所以．5、如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，．探究  如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________．拓展  如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0）（1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD；（2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值；（3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围．发现  请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值．图1                       图2答案    探究  AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展  （1）S△ABD＝，S△CBD＝．[来源:学*科*网]（2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得．所以．由于AC边上的高，所以x的取值范围是≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．（3）x的取值范围是x＝或13＜x≤14．发现  A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为．6、如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P在AB上，AP＝2．点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立刻以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止．在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧．设E、F运动的时间为t秒(t＞0)，正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S． （1）当t＝1时，正方形EFGH的边长是________；当t＝3时，正方形EFGH的边长是________；（2）当1＜t≤2时，求S与t的函数关系式；（3）直接答出：在整个运动过程中，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？图1 思路点拨1．全程运动时间为8秒，最好的建议就是在每秒钟选择一个位置画8个图形，这叫做磨刀不误砍柴工．2．这道题目的运算太繁琐了，如果你的思路是对的，就坚定地、仔细地运算，否则放弃也是一种好的选择．满分解答（1）当t＝1时，EF＝2；当t＝3时，EF＝4．（2）①如图1，当时，．所以．②如图2，当时，，，．于是，．所以．③如图3，当时，，，．所以．图2                     图3                       图4（3）如图4，图5，图6，图7，重叠部分的最大面积是图6所示的六边形EFNDQN，S的最大值为，此时．图5                      图6                      图7[来源:学科网ZXXK]