中考数学 专项训练 考点26 与圆有关的等腰三角形的存在性问题(能力)

专题26 与圆有关的等腰三角形的存在性问题1、如图，在中，∠C = 90°，BC = 3，AB = 5．点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿C→A→B的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒．（1）当t =____秒时，点P与点Q相遇；（2）在点P从点B到点C运动的过程中，当t为何值时，为等腰三角形？【答案】（1）7；（2）．【解析】解：（1）Q到B点需要，此时P点行了4.5个单位， 两点相距个单位， 再过，即一共过7秒后，P与Q相遇． （2）P在B到C的过程中，Q从CA边到了AB边，需要分情况讨论 ①Q在AC边上，即时， ∵，∴只可能CP = CQ． ∴，解得：； ②Q在AB边且未到B点时，即时， a) CQ = PQ，作QH⊥AC于H． ∴， ∴，解得：； b) PC = CQ， ∵，在时，，∴不可能； c) PC=PQ， ∵，∴不可能．综上所述，当时，为等腰三角形．【总结】本题主要考查动点背景下的等腰三角形的分类讨论问题．2、在⊙O中，OC⊥弦AB，垂足为C，点D在⊙O上． （1）如图1，已知OA = 5，AB = 6，如果OD//AB，CD与半径OB相交于点E，求DE的长；（2）已知OA = 5，AB = 6（如图2），如果射线OD与AB的延长线相交于点F，且是等腰三角形，求AF的长；（3）如果OD // AB，CD⊥OB，垂足为E，求sin∠ODC的值．图1                        图2【答案】 （1）；（2）AF的长为或；（3）．【解析】解：（1）∵OC⊥AB，∴AC = CB = 3，∴OC = 4． ∵OD//BC，∴OD⊥OC，，∴，∴； （2）∵OD = 5，OC = 4，是等腰三角形，∴CD = 4或CD = 5．    ①当CD = 5时，，∵OC⊥CF， ∴，∴D为OF中点， ∴，∴；    ②当CD = 4时，作CH⊥OD于H，作DI⊥OC于I， ∴，∴， ∴，∴， ∴． （3）∵OC⊥CB，CE⊥OB，∴，∴． 设BC=x，可得，即，解得：（负的舍去）．∴．【总结】本题综合性较强，主要考查了垂径定理及相似三角形的性质，锐角三角比的综合运用，解题时注意分析．