中考数学 专项训练 考点26 与圆有关的等腰三角形的存在性问题

专题26 与圆有关的等腰三角形的存在性问题【知识讲解】1、     与圆有关知识内容：在模块一的基础上，加入了与圆有关的要求。相关点主要有：（1）同圆内半径相等，提供了全等三角形的边或角相等条件；（2）切线与过切点的半径垂直，提供了可使用的直角三角形2、     解题思路：与模块一类似；（1）利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；（2）根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）；（3）解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．【例题讲解】1、如图，在中，∠ACB = 90°，AC = 8，tan B =，点P是线段AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，射线PD交射线BC于点E，点Q是线段BE的中点．（1）当点E在BC的延长线上时，设PA＝x，CE＝y，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（2）以点Q为圆心，QB为半径的⊙Q和⊙P相切时，求⊙P的半径；（3）射线PQ与⊙P相交于点M，联结PC、MC，当△PMC是等腰三角形时，求AP的长．【答案】（1），（）；（2）⊙P的半径为或；    （3）AP的长为或或5或8．【解析】解：（1）∵AP = PD，∴，∴，∴PE = PB =，∵，∴，∴（）； （2）可以求出，，PA = x，．  ∴外切时，，解得：，  内切时，，解得：，        综上所述，⊙P的半径为或； （3），，，  分情况讨论：①     PM = PC时，解得：（此时E与C重合）；②     PM = MC时，解得：或；③     PC = MC时，解得：或（舍）．综上所述，AP的长为或或5或8．【总结】本题一方面考查了两圆相切的分类讨论，另一方面考查了等腰三角形的分类讨论，注意方法的归纳总结．
2、如图，已知在中，，AB = 5，，P是BC边上的一点，，垂足为E，以点P为圆心，PC为半径的圆与射线PE相交于点Q，线段CQ与边AB交于点D．（1）求AD的长；（2）设CP = x，的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（3）过点C作，垂足为F，联结PF、QF，如果是以PF为腰的等腰三角形，求CP的长．【答案】（1）；（2）（）；    （3）CP的长为2或．【解析】（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，    ，∴．∵，∴．∵90°，∴90°． ∵=90°，∴．∵，∴，∴．（2）作，垂足为点H．∵=90°，∴=90°，=90°，∴，∴． ∵，∴，∴， 即，定义域为．（3）解法一：在Rt△PBE中，90°，，， ∴，，∴，．∴，  ．如果，那么，解得：．如果，那么， 解得：（不合题意，舍去），．综上所述，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或．解法二：在Rt△PBE中，90°，，，∴，，∴，． 如果，那么，∴，，∴，∴．如果，那么，∴，解得：，∴．  综上所述，如果△PQF是以PF为腰的等腰三角形，CP的长为2或．【总结】本题主要一方面考查与圆有关的知识点，另一方面考查锐角三角比的运用以及等腰三角形的分类讨论，注意此题只需分两种情况讨论即可．