中考数学 专项训练 考点34 一次函数中的存在性综合问题

专题34 一次函数中的存在性综合问题
1、如图直线y＝kx+k交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，且AB＝2
（1）求k的值；
（2）点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AB运动，过点P作直线AB的垂线交x轴于点Q，连接OP，设△PQO的面积为S，点P运动时间为t，求S与t的函数关系式，并直接写出t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当P在AB的延长线上，若OQ+AB＝（BQ﹣OP），求此时直线PQ的解析式．

解：（1）对于直线y＝kx+k，令y＝0，可得x＝﹣1，
∴A（﹣1，0），
∴OA＝1，∵AB＝2，
∴OB＝＝，
∴k＝．

（2）如图，

∵tan∠BAO＝＝，
∴∠BAO＝60°，
∵PQ⊥AB，
∴∠APQ＝90°，
∴∠AQP＝30°，
∴AQ＝2AP＝2t，
当0＜t＜时，S＝•OQ•Py＝（1﹣2t）•t＝﹣t2+t．
当t＞时，S＝OQ•Py＝（2t﹣1）•t＝t2﹣t．

（3）∵OQ+AB＝（BQ﹣OP），
∴2t﹣1+2＝（﹣），
∴2t+1＝•，
∴4t2+4t+1＝7t2﹣7t+7，
∴3t2﹣11t+6＝0，
解得t＝3或（舍弃），
∴P（，），Q（5，0），
设直线PQ的解析式为y＝kx+b，则有，
解得，
∴直线PQ的解析式为y＝﹣x+．

2、在平面直角坐标系xOy中，对于图形G和图形M，它们关于原点O的“中位形”定义如下，图形G上的任意一点P，图形M上的任意一点Q，作△OPQ平行于PQ的中位线，由所有这样的中位线构成的图形，叫图形G和图形M关于原点O的“中位形”．
已知直线y＝x+b分别与x轴，y轴交于A、B，图形S是中心为坐标原点，且边长为2的正方形．
（1）如图1，当b＝2时，点A和点B关于原点O的“中位形”的长度是　 　（请直接写出答案）；
（2）如图2，若点A和点B关于原点O的“中位形”与图形S有公共点，求b的取值范围；
（3）如图3，当b＝﹣6时，图形S沿直线y＝x平移得到图形T，若图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，请直接写出图形T的中心的横坐标t的取值范围．

解：（1）如图1中，

由题意b＝2时，直线y＝x+2，
∴A（﹣4，0），B（0，2），
∵点A和点B关于原点O的“中位形”是△AOB的中位线EF，EF＝AB＝×＝．
故答案为．

（2）如图2中，当△AOB的中位线EF经过点（﹣1，1）时，直线EF 的解析式为y＝x+，

∴E（0，），
∵OE＝EB，
∴B（0，3），
当△AOB的中位线EF经过点（1，﹣1）时，直线EF 的解析式为y＝x﹣，
∴E（0，﹣），
∵OE＝EB，
∴B（0，﹣3），
观察图象可知满足条件的b的值为﹣3≤b≤﹣1或1≤b≤3．

（3）如图3中，设平移后的正方形T的中心的坐标为（t，t），则C（t﹣1，t+1），

OC的中点E（，），
OB的中点F（0，﹣3），
∴直线EF的解析式为y＝x﹣3，
当直线经过（1，﹣1）时，﹣1＝﹣3，
解得t＝9，
观察图形可知，t＞9时，图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，
如图4中，设平移后的正方形T的中心的坐标为（t，t），则C（t﹣1，t+1），

OC的中点E（，），O的中点F（6，0），
此时直线EF的解析式为y＝x﹣，
当直线经过（1，﹣1）时，﹣1＝﹣，
解得t＝﹣
观察图形可知，t＜﹣时，图形T和线段AB关于原点O的“中位形”与原来的的图形S没有公共点，
综上所述，满足条件的t的值为t＞9或t＜﹣．


3、如图，直线y＝﹣x+8与x轴、y轴分别交于点A和点B，M是OB的上的一点，若将△ABM沿M折叠，点B恰好落在x轴上的点B′处．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求直线AM的表达式；
（3）在x轴上是否存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）当x＝0时，y＝8，
∴B（0，8），
当y＝0时，﹣x+8＝0，
x＝6，
∴A（6，0）；
（2）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，OB＝8，
∴AB＝10，
由折叠得：AB＝AB'＝10，
∴OB'＝10﹣6＝4，
设OM＝a，则BM＝B'M＝8﹣a，
由勾股定理得：a2+42＝（8﹣a）2，
a＝3，
∴M（0，3），
设AM：y＝kx+b，
则，解得：，
∴直线AM的解析式为：y＝﹣x+3；
（3）在x轴上存在点P，使得以点P、M、B′为顶点的三角形是等腰二角形，如图

∵M（0，3），B′（﹣4，0），
∴B′M＝5，
当PB′＝B′M时，P1（﹣9，0），P2（1，0）；
当B′M＝PM时，P3（4，0），
当PB′＝PM时，作BM的垂直平分线，交x轴于P4，交B′M与Q，
易证得△P4B′Q∽△MB′O，则＝，即＝，
∴P4B′＝，
∴OP4＝4﹣＝，
∴P4（﹣，0），
综上，P点的坐标为（﹣9，0）或（1，0）或（4，0）或（﹣，0）．

4、如图，一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1＝x+b，与y2＝﹣x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为﹣3．
（1）求b的值；
（2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围；
（3）在直线y2＝﹣x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q，当PQ＝OC时，求点P的坐标．

解：（1）将x＝﹣3代入y2＝﹣x，
可得C（﹣3，4），
再将C点代入y1＝x+b，
∴b＝7；
（2）﹣7＜x＜﹣3；
（3）∵点P为直线y2＝﹣x上一动点，
设P（a，﹣a），
∵PQ∥x轴，
∴Q（﹣a﹣7，﹣a），
∴PQ＝|a+7|，
∵C（﹣3，4），
∴OC＝5，
∴PQ＝OC＝14，
∴|a+7|＝14，
∴a＝3或a＝﹣9，
∴P（3，﹣4）或P（﹣9，12）．
5、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b与x、y轴分别相交于点A、B，与直线y＝x+2交于点D（3，m），直线y＝x+2交x轴于点C，交y轴于点E．
（1）若点P是y轴上一动点，连接PC、PD，求当|PC﹣PD|取最大值时，P点的坐标．
（2）在（1）问的条件下，将△COE沿x轴平移，在平移的过程中，直线CE交直线AB于点M，则当△PMA是等腰三角形时，求BM的长．

解：（1）当x＝3时，m＝3+2＝5，
∴D（3，5），
把D（3，5）代入y＝﹣x+b中，
﹣3+b＝5，
b＝8，
∴y＝﹣x+8，
当y＝0时，x+2＝0，
x＝﹣2，
∴C（﹣2，0），
如图1，取C关于y轴的对称点C'（2，0），P1是y轴上一点，连接P1C、P1C'、P1D，则P1C＝P1C'，

∵|P1D﹣P1C'|＝|P1D﹣P1C|≤C'D，
∴当P与C'、D共线时，|PC﹣PD|有最大值是C'D，
设直线C'D的解析式为：y＝kx+b，
把C'（2，0）和D（3，5）代入得：，
解得：，
∴直线C'D的解析式为：y＝5x﹣10，
∴P（0，﹣10）；
（2）分三种情况：
①当AP＝AM时，如图2，

由（1）知：OP＝10，
由勾股定理得：AP＝＝2，
∵AB＝8，
∴BM＝AB+AM＝8+2；
同理得：BM1＝2﹣8；
②当AP＝PM时，如图3，过P作PN⊥AB于N，

∵∠BNP＝90°，∠NBP＝45°，
∴△BNP是等腰直角三角形，
∵PB＝18，
∴BN＝＝9，
∵AB＝8，
∴AN＝9﹣8＝，
∵AP＝PM，PN⊥AM，
∴AM＝2AN＝2，
∴BM＝8+2＝10；
③当AM＝PM时，如图4，过P作PN⊥AB于N，

∵AN＝，PN＝9，
设MN＝x，则PM＝AN＝x+，
由勾股定理得：PN2+MN2＝PM2，
，
解得：x＝40，
∴BM＝AB+AN+MN＝8++40＝49；
综上，当△PMA是等腰三角形时，BM的长是8+2或2﹣8或10或49．

6、如图，已知一次函数y＝3x+3与y轴交于A，与x轴交于点B，直线AC与正半轴交于点C，且AC＝BC．
（1）求直线AC的解析式．
（2）点D为线段AC上一点，点E为线段CD的中点，过点E作x轴的平行线交直线AB于点F，连接DF并延长交x轴于点G，求证；AD＝BG．
（3）在（2）的条件下，若∠AFD＝2∠BAO，求点D坐标．

解：（1）当x＝0时，y＝3，
∴A（0，3）．
令y＝0得：3x+3＝0，解得：x＝﹣1，
∴B（﹣1，0）．
设OC＝x，则AC＝BC＝x+1．
在Rt△AOC中，由勾股定理可知：OA2+OC2＝AC2，即32+x2＝（x+1）2，解得：x＝4，
∴C（4，0）．
设直线AC的解析式为y＝kx+b，则 ，
解得：，
∴直线AC的解析式为y＝﹣x+3．
（2）如图1所示：过点D作DH∥x轴，则∠HDF＝∠BGF．

∵HD∥EF∥CG，E为CD的中点，
∴F为DG的中点．
∴FG＝DF．
∵在△BGF和△HDF中，
，
∴△BGF≌△HDF（ASA）．
∴HD＝BG．
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝∠ABC．
∵HD∥CG，
∴∠AHD＝∠ABC，
∴∠HAD＝∠AHD．
∴AD＝DH，
∴AD＝BG．
（3）如图2所示：连接AG，过点C作CH⊥AB，垂足为H，过D作DM⊥x轴于M，

在Rt△ABO中，依据勾股定理可知AB＝＝，
∵CB＝CA，CH⊥AB，
∴AH＝AB＝，∠BCA＝2∠ACH．
Rt△BCH中，依据勾股定理可知CH＝＝＝，
∵∠BAO+∠ABO＝∠ABO+∠BCH，
∴∠BAO＝∠BCH＝∠ACH，
∴∠BCA＝2∠BAO．
又∵∠AFD＝2∠BAO，
∴∠AFD＝∠BCA．
又∵∠FAD＝∠BAC，
∴△FAD∽△CAB，
∴AF＝DF．
又∵GF＝FD，
∴△GAD为直角三角形．
∴OG•OC＝OA2，
∴OG＝．
∴G（﹣，0）．
∴AD＝BG＝．
Rt△AOC中，OA＝3，OC＝4，
∴AC＝5，
∵DM∥OA，
∴，即，
OM＝1，
当x＝1时，y＝﹣x+3＝﹣+3＝，
∴D（1，）．

7、已知，如图，在第一象限中，点A的坐标是（3，6），射线OM的解析式为y＝x，作线段AC⊥x轴于点C，点B在射线OM上，且OB的长度为3．
（1）求△AOB的面积；
（2）试判断△AOB的形状，并说明理由；
（3）直线AB交坐标轴于E、F两点，若点P在线段EF上，点Q在线段OF上，且△FPQ与△AOC全等，求点Q的坐标．

解：（1）如图1，过B作BG⊥x轴于点G，

∵点B在射线OM上，
∴可设B（x，x），
∴OB＝3，
由勾股定理得：，
解得：x＝±9，
∴B（9，3），
∵A（3，6），
∴S△AOB＝S△AOC+S梯形ACGB﹣S△BOG，
＝﹣，
＝22.5；

（2）△OAB为直角三角形，理由如下：
∵A（3，6），B（9，3），O（0，0），
∴OA2＝32+62＝45，AB2＝（9﹣3）2+（3﹣6）2＝45，OB2＝92+32＝90，
∴OA2+AB2＝OB2，
∴△OAB为直角三角形；

（3）设直线AB解析式为y＝kx+b，
∵A（3，6），B（9，3），
∴，解得：，
∴直线AB解析式为y＝﹣x+，
令y＝0可求得x＝15，
∴F（15，0），
由（2）可知∠OAB＝90°，
∴∠OAC+∠CAF＝∠CAF+∠AFC＝90°，
∴∠OAC＝∠PFQ，
①当∠PQF＝90°时，如图2，则有△PQF≌△OCA，

∴PQ＝OC＝3，即P点纵坐标为3，
在y＝﹣x+中，令y＝3可求得x＝9，
∴P（9，3），Q（9，0），此时P与B重合；
②当∠QPF＝90°时，如图3，则有△PQF≌△COA，

∴FQ＝OA＝＝3，
∴OQ＝15﹣3，
∴Q（15﹣3，0）；
综上可知Q点坐标为（9，0）或（15﹣3，0）．

8、如图1，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴交于A（6，0），B两点，过点B的另一直线交x轴的负半轴于点C，且OB：OC＝3：1
（1）求直线BC的解析式；
（2）直线y＝ax﹣a（a≠0）交AB于点E，交BC于点F，交x轴于点D，是否存在这样的直线EF，使S△BDE＝S△BDF？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点P为A点右侧x轴上一动点，以P为直角顶点，BP为腰在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ，连接QA并延长交y轴于点K．当P点运动时，K点的位置是否发生变化？若不变，求出它的坐标；如果会发生变化，请说明理由．

解：（1）∵直线y＝﹣x+b分别与x轴交于A（6，0），
∴b＝6，
∴直线AB的解析式是：y＝﹣x+6，
∴B（0，6），
∴OB＝6，
∵OB：OC＝3：1，
∴OC＝2，
∴C（﹣2，0）
设BC的解析式是y＝kx+b，
∴
解得，
直线BC的解析式是：y＝3x+6；

（2）存在．理由如下：如图1中，

∵S△BDF＝S△BDE，
∴只需DF＝DE，即D为EF中点，
∵点E为直线AB与EF的交点，
∴
∴点E（，）
∵点F为直线BC与EF的交点，
∴
∴点F（，）
∵D为EF中点，
∴+，
∴a＝0舍去，a＝
（3）K点的位置不发生变化．
理由如下：
如图2中，过点Q作CQ⊥x轴，设PA＝m，
∵∠POB＝∠PCQ＝∠BPQ＝90°，
∴∠OPB+∠QPC＝90°，∠QPC+∠PQC＝90°，
∴∠OPB＝∠PQC，
∵PB＝PQ，
∴△BOP≌△PCQ（AAS），
∴BO＝PC＝6，OP＝CQ＝6+m，
∴AC＝QC＝6+m，
∴∠QAC＝∠OAK＝45°，
∴OA＝OK＝6，
∴K（0，﹣6）．


9、如图，在平面直角坐标系中，直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，过点B的直线交x轴于点C，且AB＝BC．
（1）求直线BC的解析式；
（2）点P为线段AB上一点，点Q为线段BC延长线上一点，且AP＝CQ，PQ交x轴于N，设点Q横坐标为m，△PBQ的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，点M在y轴负半轴上，且MP＝MQ，若∠BQM＝45°，求直线PQ的解析式．

解：（1）∵直线y＝2x+8与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴点B（0，8），点A（﹣4，0）
∴AO＝4，BO＝8，
∵AB＝BC，BO⊥AC，
∴AO＝CO＝4，
∴点C（4，0），
设直线BC解析式为：y＝kx+b，
由题意可得：
解得：
∴直线BC解析式为：y＝﹣2x+8；
（2）如图1，过点P作PG⊥AC，PE∥BC交AC于E，过点Q作HQ⊥AC，

∵AB＝CB，
∴∠BAC＝∠BCA，
∵点Q横坐标为m，
∴点Q（m，﹣2m+8）
∴HQ＝2m﹣8，CH＝m﹣4，
∵AP＝CQ，∠BAC＝∠BCA＝∠QCH，∠AGP＝∠QHC＝90°，
∴△AGP≌△CHQ（AAS），
∴AG＝HC＝m﹣4，PG＝HQ＝2m﹣8，
∵PE∥BC，
∴∠PEA＝∠ACB，∠EPF＝∠CQF，
∴∠PEA＝∠PAE，
∴AP＝PE，且AP＝CQ，
∴PE＝CQ，且∠EPF＝∠CQF，∠PFE＝∠CFQ，
∴△PEF≌△QCF（AAS）
∴S△PEF＝S△QCF，
∴△PBQ的面积＝四边形BCFP的面积+△CFQ的面积＝四边形BCFP的面积+△PEF的面积＝四边形PECB的面积，
∴S＝S△ABC﹣S△PAE＝×8×8﹣×（2m﹣8）×（2m﹣8）＝16m﹣2m2；
（3）如图2，连接AM，CM，过点P作PE⊥AC，

∵AB＝BC，BO⊥AC，
∴BO是AC的垂直平分线，
∴AM＝CM，且AP＝CQ，PM＝MQ，
∴△APM≌△CQM（SSS）
∴∠PAM＝∠MCQ，∠BQM＝∠APM＝45°，
∵AM＝CM，AB＝BC，BM＝BM，
∴△ABM≌△CBM（SSS）
∴∠BAM＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠MCQ，且∠BCM+∠MCQ＝180°，
∴∠BCM＝∠MCQ＝∠PAM＝90°，且∠APM＝45°，
∴∠APM＝∠AMP＝45°，
∴AP＝AM，
∵∠PAO+∠MAO＝90°，∠MAO+∠AMO＝90°，
∴∠PAO＝∠AMO，且∠PEA＝∠AOM＝90°，AM＝AP，
∴△APE≌△MAO（AAS）
∴AE＝OM，PE＝AO＝4，
∴2m﹣8＝4，
∴m＝6，
∴Q（6，﹣4），P（﹣2，4）
设直线PQ的解析式为：y＝ax+c，
∴
解得：
∴直线PQ的解析式为：y＝﹣x+2．

10、已知：在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C是x轴正半轴上一点，AB＝AC，连接BC．
（1）如图1，求直线BC解析式；
（2）如图2，点P、Q分别是线段AB、BC上的点，且AP＝BQ，连接PQ．若点Q的横坐标为t，△BPQ的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量取值范围；
（3）如图3，在（2）的条件下，点E是线段OA上一点，连接BE，将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，点F在y轴上点H上方EH＝FH，连接EF并延长交BC于点G，若BG＝AP，连接PE，连接PG交BE于点T，求BT长．

解：（1）由已知可得A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
∴AB＝＝＝5，
∵AB＝AC，
∴AC＝5，
∴C（2，0），
设BC的直线解析式为y＝kx+b，
将点B与点C代入，得
，
∴，
∴BC的直线解析式为y＝﹣2x+4；
（2）过点Q作MQ⊥y轴，与y轴交于点M，过点Q作QE⊥AB，过点C作CF⊥AB，

∵Q点横坐标是 t，
∴MQ＝t，
∵MQ∥OC，
∴，
∴，
∴BQ＝t，
∵AP＝BQ，
∴AP＝t，
∵AB＝5，
∴PB＝5﹣t，
在等腰三角形ABC中，AC＝AB＝5，BC＝2，
∵AB×CF＝AC×OB，
∴CF＝OB＝4，
∵EQ∥CF
∴
∴EQ＝2t，
∴S＝×（5﹣t）＝（0≤t≤2）；
（3）如图3，

∵将△ABE沿BE翻折，使翻折后的点A落在y轴上的点H处，
∴AH＝AB＝5，AE＝EH，
∴OH＝BH﹣OB＝1，
∵EH2＝EO2+OH2，
∴AE2＝（4﹣AE）2+1，
∴AE＝＝EH，
∴OE＝，
∴点E（﹣，0）
∵EH＝FH＝，
∴OF＝
∴点F（0，）
∴直线EF解析式为y＝x+，
直线BE的解析式为：y＝3x+4，
∴﹣2x+4＝x+，
∴x＝，
∴点G（，）
∴BG＝＝，
∵BG＝AP，
∴AP＝1，
设点P（a，a+4）
∴1＝
∴a＝﹣，
∴点P（﹣，），
∴直线PG的解析式为：y＝x+，
∴3x+4＝x+，
∴x＝﹣1，
∴点T（﹣1，1）
∴BT＝＝

11、如图，已知一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．

（1）求△AOB的面积：
（2）在y轴上找一点C，使AC+BC最小，求最小值及C点坐标．
（3）点P从O出发向B点以1个单位每秒的速度运动，点Q从B点出发向A点以同样的速度运动，两个点同时停止，当△BPQ为等腰三角形时，求Q点坐标．
解：（1）∵一次函数y＝﹣x+7与正比例函数y＝x的图象交于点A，且与x轴交于点B．
∴点B（7，0），﹣x+7＝x
∴x＝3，
∴点A（3，4）
∴S△AOB＝×7×4＝14；
（2）如图1，作点B关于y轴的对称点H（﹣7，0），连接AH，交y轴于点C，

∴此时AC+BC最小值为AH，
∵点A（3，4），点H（﹣7，0），
∴AH＝＝2，
∴AC+BC最小值为2，
设直线AH解析式为：y＝kx+b，且过点A（3，4），点H（﹣7，0），
∴，
解得：
∴直线AH解析式为：y＝x+；
（3）如图2，过点Q作QE⊥OB，

∵以同样的速度运动，
∴BQ＝OP，
∵一次函数y＝﹣x+7与y轴交于点D，
∴点D（0，7），
∴OD＝OB＝7，且∠DOB＝90°，
∴∠DBO＝45°，且QE⊥OB，
∴∠QBE＝∠EQB＝45°，
∴QE＝BE，
∴QB＝QE＝EB，
若PB＝QB，且OP＝BQ，
∴OP＝PB＝＝BQ，
∴BE＝EQ＝，
∴OE＝7﹣，
∴点Q（7﹣，），
若QP＝QB，且QE⊥OB，
∴PE＝BE，
∵OB＝7＝OP+PE+BE，
∴7＝BE+2BE，
∴BE＝＝QE，
∴OE＝
∴点Q（，），
如图3，若BP＝PQ，过点P作PF⊥BQ，

∴BF＝FQ＝BQ，
∵∠ABO＝45°，PF⊥AB，
∴∠FPB＝∠ABO＝45°，
∴PF＝BF，
∴PB＝BF，
∴7﹣BQ＝
∴BQ＝，
∴BE＝QE＝，
∴点Q坐标为（7﹣，）．

12、一边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，其中O为原点，点A、B分别在x轴、y轴上，D为射线OB上任意一点．

（1）如图1，若点D坐标为（0，2），连接AD交OC于点E，则△AOE的面积为　 　；
（2）如图2，将△AOD沿AD翻折得△AED，若点E在直线y＝x图象上，求出E点坐标；
（3）如图3，将△AOD沿AD翻折得△AED，DE和射线BC交于点F，连接AF，若∠DAO＝75°，平面内是否存在点Q，使得△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出所有点Q坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）∵边长为4正方形OACB放在平面直角坐标系中，
∴点A坐标（4，0），点C（4，4），
∴直线OC解析式为：y＝x，
∵点D坐标为（0，2），点A坐标（4，0），
∴直线AD解析式为：y＝﹣x+2，
∴
解得：
∴点E坐标（，）
∴△AOE的面积＝×4×＝，
故答案为：；
（2）如图2，过点E作EH⊥OA，

∵将△AOD沿AD翻折得△AED，
∴AO＝AE＝4，
设点E（a，a），
∴OH＝a，EH＝a，
∴AH＝4﹣a，
∵AE2＝EH2+AH2，
∴16＝a2+（4﹣a）2，
∴a＝0（舍去），a＝，
∴点E（，）
（3）∵将△AOD沿AD翻折得△AED，
∴∠DAO＝∠DAE＝75°，OA＝AE，∠DOA＝∠DEA＝90°，
∴∠OAE＝150°，AE＝AC，∠ACF＝∠AED＝90°，
∴∠CAE＝60°，
∵AE＝AC，AF＝AF，
∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）
∴∠CAF＝∠EAF＝30°，且AC＝4，
∴CF＝，
∵△AFQ是以AF为直角边的等腰直角三角形，
∴若∠AFQ＝90°，AF＝FQ，如图3，过点Q作QN⊥BF，

∴∠NQF+∠QFN＝90°，且∠QFN+∠AFC＝90°，
∴∠NQF＝∠AFC，且∠ACF＝∠QNF＝90°，QF＝AF，
∴△QNF≌△FCA（AAS）
∴QN＝CF＝，AC＝NF＝4，
∴点Q（，4+）
同理可求：Q'（8+，4﹣），
若∠FAQ＝90°，AF＝AQ时，
同样方法可求，Q''（0，），Q'''（8，﹣）