2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第6讲 分式方程 学案

第6讲　分式方程

知识梳理

1.分式方程

分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

2.分式方程的解法

(1)解分式方程的基本思路:将分式方程化为整式方程.

(2)常用方法:①去分母；②换元法.

3. 解分式方程的一般步骤.

4. 分式方程增根

（1）使最简公分母为0；

（2）是所化成的整式方程的根.

5.分式方程的应用

解分式方程应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出分式方程,最后进行两次检验：一是检验所求的解是否是所列分式方程的解；二是检验所求的解是否__符合实际意义__．

5年真题

命题点1 分式方程的应用

1．（7分）（2018•广东）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．

（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？

（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？

解：（1）设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为（x﹣9）元/条，

根据题意得：，

解得：x＝35，

经检验，x＝35是原方程的解，且符合题意，

∴x﹣9＝26．

答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条．

（2）设购买a条A型芯片，则购买（200﹣a）条B型芯片，

根据题意得：26a+35（200﹣a）＝6280，

解得：a＝80．

答：购买了80条A型芯片．

2．（7分）（2016•广东）某工程队修建一条长1200m的道路，采用新的施工方式，工效提升了50%，结果提前4天完成任务．

（1）求这个工程队原计划每天修建道路多少米？

（2）在这项工程中，如果要求工程队提前2天完成任务，那么实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之几？

解：（1）设原计划每天修建道路x米，

可得：，解得：x＝100，

经检验x＝100是原方程的解，

答：原计划每天修建道路100米；

（2）设实际平均每天修建道路的工效比原计划增加y%，

可得：，解得：y＝20，

经检验y＝20是原方程的解，

答：实际平均每天修建道路的工效比原计划增加百分之二十．

3年模拟

1．（2020•广东模拟）分式方程1的解为（　B　）

A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．无解

2．（2020•南海区二模）关于x的分式方程0的解为x＝2，则常数a的值为（　A　）

A．a＝﹣1 B．a＝1 C．a＝2 D．a＝5

3．（2020•龙岗区校级模拟）某车间加工12个零件后，采用新工艺，工效比原来提高了50%，这样加工同样多的零件就少用1小时，那么采用新工艺前每小时加工的零件数为（　B　）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

4．（2020•营口模拟）若方程的根为正数，则k的取值范围是（　A　）

A．k＜2 B．﹣3＜k＜2 C．k≠﹣3 D．k＜2且 k≠﹣3

A【解析】方程两边都乘以（x+3）（x+k）得：3（x+k）＝2（x+3），

3x+3k＝2x+6，

3x﹣2x＝6﹣3k，

x＝6﹣3k，

∵方程的根为正数，

∴6﹣3k＞0，

解得：k＜2，

∵分式方程的解为正数，

x+3≠0，x+k≠0，

x≠﹣3，k≠3，

即k的范围是k＜2，

故选：A．

5．（2019•荔湾区校级模拟）使分式方程产生增根的m＝　3　．

3【解析】方程两边都乘（x﹣3），

得x﹣2（x﹣3）＝m

∵原方程有增根，

∴最简公分母（x﹣3）＝0，

解得x＝3，

当x＝3时，m＝3，故a的值可能是3．

故答案为：3．

6．（2020•梅州模拟）随着“和谐号”列车缓缓停靠在梅州西站，我市正式进入了高铁时代．与普通列车相比，“和谐号”列车时速更快，安全性更好．已知“梅州西﹣广州南”全程大约480千米，“和谐号”D7315次列车平均每小时比普通列车多行驶40千米，其行驶时间是普通列车行驶时间的（两列车中途停留时间均除外）．

（1）经查询，“和谐号”D7315次列车从梅州西到广州南，中途合计停站时间为20分钟，求乘坐“和谐号”D7315次列车从梅州西到广州南需要多长时间；

（2）据了解，梅州西站后期还会引进更快的“复兴号”高铁，届时跑完480千米的路程最多只需要2.5小时，请问“复兴号”高铁的速度每小时至少比“和谐号”列车快了多少千米？

解：（1）设“和谐号”列车的速度为x千米/小时，则普通列车的速度为（x﹣40）千米/小时，依题意，得：•，解得：x＝160，经检验，x＝160是原方程的解，且符合题意，∴3．答：乘坐“和谐号”D7315次列车从梅州西到广州南需要3小时．

（2）设“复兴号”高铁的速度每小时比“和谐号”列车快了y千米，

依题意，得：2.5（160+y）≥480，解得：y≥32．

答：“复兴号”高铁的速度每小时至少比“和谐号”列车快了32千米．

7．（2020•潮州模拟）某商场第一次用11000元购进某款拼装机器人进行销售，很快销售一空，商家又用24000元第二次购进同款机器人，所购进数量是第一次的2倍，但单价贵了10元．（1）求该商家第一次购进机器人多少个？

（2）若在这两次机器人的销售中，该商场全部售完，而且售价都是130元，问该商场总共获利多少元？

解：（1）该商家第一次购进机器人x个，

根据题意得：，解得：x＝100，

经检验，x＝100是原方程的解，

答：该商家第一次购进机器人100个；

（2）第一次购进机器人单价为＝11000÷100＝110元，

第二次购进机器人单价＝110+10＝120元，

∴100×（130﹣110）+100×2×（130﹣120）＝4000元

答：该商场总共获利4000元．

8．（2020•濠江区一模）某儿童品牌专卖店购进了A、B两种童装，其中A种童装的进价比B童装的进价每个多10元，经调查：用1000元购进A种童装的数量与用800元购进B童装的数量相同．

（1）求A、B两种童装的进价分别是每个多少元？

（2）该专卖店共购进了A、B两种童装共100套，若该店将每个A种童装定价为70元出售，每个B种童装定价为55元出售，且全部售出后所获得利润不少于1750元，则专卖店至少购进A种童装多少套？

解：（1）设A种童装的进价是x元/个，则B种童装的进价是（x﹣10）元，

由题意可列方程，，解得，x＝50．

经检验：x＝50是原分式方程的根．

∴x﹣10＝40．

答：A、B两种童装的进价分别是每个50元和40元；

（2）设专卖店购进A种童装a套，则购进B种童装（100﹣a）套，

由题可知，20a+15（100﹣a）≥1750，

解得，a≥50．

答：专卖店至少购进A种童装50套．