2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第11讲 反比例函数 学案

第11讲　反比例函数

知识梳理

1. 反比例函数的概念

形如（是常数，）的函数叫反比例函数．

特别提示：（1）自变量x的取值范围是；（2）也可以看成或的形式；（3）通常表示以原点及点为对角线的顶点的矩形的面积.

2.反比例函数的图象和性质

(1)图象的特征:反比例函数y=的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.

(2)反比例函数y=(k≠0,k为常数)的图象和性质:

3. 反比例函数k的几何意义

过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|；过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴与向坐标轴所作垂线所围成的直角三角形的面积S＝|k|.

4.反比例函数的解析式的确定

1、常用方法：待定系数法．

．

5. 解决反比例函数的实际问题:先确定函数解析式，再利用图象找出解决问题的方案，这里要特别注意自变量的取值范围要使实际问题有意义.

5年真题

命题点1   反比例函数的图像与性质

1．（4分）（2018•广东）如图，已知等边△OA1B1，顶点A1在双曲线y（x＞0）上，点B1的坐标为（2，0）．过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2，过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2，得到第二个等边△B1A2B2；过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3，过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3，得到第三个等边△B2A3B3；以此类推，…，则点B6的坐标为　（2，0）　．

（2，0）【解析】如图，作A2C⊥x轴于点C，设B1C＝a，则A2Ca，

OC＝OB1+B1C＝2+a，A2（2+a，a）．

∵点A2在双曲线y（x＞0）上，∴（2+a）•，

解得a1，或a1（舍去），

∴OB2＝OB1+2B1C＝2+22＝2，∴点B2的坐标为（2，0）；

作A3D⊥x轴于点D，设B2D＝b，则A3Db，

OD＝OB2+B2D＝2b，A3（2b，b）．

∵点A3在双曲线y（x＞0）上，∴（2b）•，

解得b，或b（舍去），

∴OB3＝OB2+2B2D＝2222，∴点B3的坐标为（2，0）；

同理可得点B4的坐标为（2，0）即（4，0）；以此类推…，

∴点Bn的坐标为（2，0），∴点B6的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）．

2．（3分）（2017•广东）如图，在同一平面直角坐标系中，直线y＝k1x（k1≠0）与双曲线y（k2≠0）相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2），则点B的坐标为（　A　）

A．（﹣1，﹣2） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣1，﹣1） D．（﹣2，﹣2）

命题点2  一次函数与反比例函数的综合

3．（9分）（2019•广东）如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．

（1）根据图象，直接写出满足k1x+b的x的取值范围；

（2）求这两个函数的表达式；

（3）点P在线段AB上，且S△AOP：S△BOP＝1：2，求点P的坐标．

解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．

由图象可得：k1x+b的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；

（2）∵反比例函数y的图象过点A（﹣1，4），B（4，n）

∴k2＝﹣1×4＝﹣4，k2＝4n，∴n＝﹣1，∴B（4，﹣1），

∵一次函数y＝k1x+b的图象过点A，点B，∴，

解得：k1＝﹣1，b＝3，∴直线解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y；

（3）设直线AB与y轴的交点为C，∴C（0，3），∵S△AOC3×1，

∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC3×14，

∵S△AOP：S△BOP＝1：2，∴S△AOP，

∴S△COP1，∴3•xP＝1，∴xP，

∵点P在线段AB上，∴y3，∴P（，）．

4．（9分）（2016•广东）如图，在直角坐标系中，直线y＝kx+1（k≠0）与双曲线y（x＞0）相交于点P（1，m ）．（1）求k的值；

（2）若点Q与点P关于直线y＝x成轴对称，则点Q的坐标是Q（　2，1　）；

（3）若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），求该抛物线的函数解析式，并求出抛物线的对称轴方程．

解：（1）∵直线y＝kx+1与双曲线y（x＞0）交于点P（1，m），∴m＝2，

把P（1，2）代入y＝kx+1得：k+1＝2，解得：k＝1；

（2）连接PO，QO，PQ，作PA⊥y轴于A，QB⊥x轴于B，则PA＝1，OA＝2，

∵点Q与点P关于直线y＝x成轴对称，∴直线y＝x垂直平分PQ，∴OP＝OQ，

∴∠POA＝∠QOB，在△OPA与△OQB中，，∴△POA≌△QOB，

∴QB＝PA＝1，OB＝OA＝2，∴Q（2，1）；故答案为：2，1；

（3）设抛物线的函数解析式为y＝ax2+bx+c，

∵过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N（0，），∴，

解得：，∴抛物线的函数解析式为yx2+x，∴对称轴方程x．

3年模拟

1．（2020•新会区一模）若函数y（k≠0）的图象过点（4，﹣7），那么它一定还经过点（　C　）

A．（4，7） B．（﹣4，﹣7） C．（﹣4，7） D．（3，﹣7）

2．（2020•增城区一模）若点A（﹣1，y1），B（2，y2），C（3，y3）在反比例函数y（k＜0）的图象上．则y1、y2、y3的大小关系是（　D　）

A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 

C．y2＞y3＞y1 D．y1＞y3＞y2

3．（2020•广州模拟）如图，正比例函数y＝ax的图象与反比例函数y的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，则不等式ax的解集为（　　B）

A．x＜﹣2或x＞2 

B．x＜﹣2或0＜x＜2 

C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2

D．﹣2＜x＜0或x＞2

4．（2020•深圳模拟）已知双曲线y的图象如图所示，则函数y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（　A　）

A． B．

C． D．

5．（2020•揭西县模拟）反比例函数y的图象在每个象限内y的值随着x的逐渐增大而增大，那么k的取值范围是　k＞1　．

6．（2020•顺德区模拟）平行四边形ABCD的三个顶点坐标是A（﹣9，0）、B（﹣3，0）、C（0，4）．若某反比例函数的图象经过线段CD的中点，则其解析式为　y　．

7．（2020•东莞市一模）如图，两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中，OA在x轴上，已知∠COD＝∠OAB＝90°，OC，反比例函数y的图象经过点B．（1）求反比例函数的解析式；

（2）把△OCD沿射线OB移动，当点D落在y图象上的D'时，求点D'的坐标．

解：（1）∵△AOB和△COD为全等三的等腰直角三角形，OC，

∴AB＝OA＝OC＝OD，∴点B坐标为（，），代入y得k＝2；

（2）由平移性质可知DD′∥OB，过D′作D′E⊥x轴于点E，交DC于点F，设CD交y轴于点M，如图，

∵OC＝OD，∠AOB＝∠COM＝45°，∴OM＝MC＝MD＝1，

∴D坐标为（﹣1，1），设D′横坐标为t，则OE＝MF＝t，

∴D′F＝DF＝t+1，∴D′E＝D′F+EF＝t+2，∴D′（t，t+2），

∵D′在反比例函数图象上，∴t（t+2）＝2，解得t1或t1（舍去），

∴D′（1，1）．

8．（2020•天河区模拟）反比例函数（k为常数．且k≠0）的图象经过点A（1，3），B（3，m）．（1）求反比例函数的解析式及B点的坐标；

（2）在x轴上找一点P．使PA+PB的值最小，

①求满足条件的点P的坐标；②求△PAB的面积．

解：（1）把A（1，3）代入y得，k＝3，∴反比例函数的关系式为：y；

把B（3，m）代入y得，m＝1，∴点B的坐标为（3，1）；

（2）①如图所示，作点B关于x轴的对称点B′，则B′（3，﹣1），连接AB′交x轴于点P点，此时PA+PB最小．

设直线AB′的关系式为y＝kx+b，把A（1，3），B′（3，﹣1）代入得，

，解得，，

∴直线AB′的关系式为y＝﹣2x+5，

当y＝0时，x，即：P（，0），得OP;②S△PAB＝S梯形ABNM﹣S△AMP﹣S△BPN（1+3）×2（1）×3（3）×1．

9．（2020•顺德区模拟）如图，已知点D在反比例函数y的图象上，过点D作DB⊥y轴，垂足为B（0，3），直线y＝kx+b经过点A（5，0），与y轴交于点C，且BD＝OC，OC：OA＝2：5．（1）求反比例函数y和一次函数y＝kx+b的表达式；（2）连结AD，求∠DAC的正弦值．

解：（1）∵BD＝OC，OC：OA＝2：5，点A（5，0），点B（0，3），

∴OA＝5，OC＝BD＝2，OB＝3，

又∵点C在y轴负半轴，点D在第二象限，

∴点C的坐标为（0，﹣2），点D的坐标为（﹣2，3）．

∵点D（﹣2，3）在反比例函数的图象上，

∴a＝﹣2×3＝﹣6，∴反比例函数的表达式为．

将A（5，0）、C（0，﹣2）代入y＝kx+b，得，解得：，

∴一次函数的表达式为．

（2）∵OA＝BC＝5，OC＝BD＝2，∠DBC＝∠AOC＝90°，∴△BDC≌△OCA（SAS），∴∠DCB＝∠OAC，DC＝CA，

∴∠DCA＝90°，∴△DCA是等腰直角三角形，∴∠DAC＝45°，∴．

10．（2020•潮州模拟）如图，直线y＝﹣x+3与双曲线y（k＜0）的图象相交于点A和点C，点A的坐标为（﹣1，a），点C的坐标为（b，﹣1）．

（1）求a的值和反比例函数的解析式；

（2）求b的值，并写出在y轴右侧，使得反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围；

（3）如图，直线y＝﹣x+3与x轴相交于点B，在x轴上存在点D，使得△BCD是以BC为腰的等腰三角形，求点D的坐标．

解：（1）把（﹣1，a）代入y＝﹣x+3得a＝4，∴A（﹣1，4），

把A（﹣1，4）代入得，

解得：k＝﹣4，∴反比例函数的解析式为；

（2）把（b，﹣1）代入得，∴b＝4，∴C（4，﹣1）；

在y轴右侧，使得反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围为：x＞4；

（3）如图：过点C作CH⊥x轴于点H，

把y＝0代入y＝﹣x+3得x＝3，∴B（3，0），

∵C（4，﹣1），∴CH＝1，BH＝4﹣3＝1，

∴在Rt△BCH中，，

当BC＝BD时，或，

当BC＝DC时，如图，∵CH⊥BD，∴BH＝HD＝1，

∴OD＝OH+HD＝4+1＝5，∴D（5，0），

综上所述，D（3，0）或（3，0）或（5，0）．

11．（2020•天河区一模）如图，直线AD与x轴交于点C，与双曲线y交于点A，AB⊥x轴于点B（4，0），点D的坐标为（0，﹣2）．

（1）求直线AD的解析式；

（2）若x轴上存在点M（不与点C重合），使得△AOC和△AOM相似，求点M的坐标．

解：（1）把x＝4代入y得到y＝2，∴A（4，2），

设直线AD的解析式为y＝kx+b，则有，解得．

∴直线AD的解析式为y＝x﹣2．

（2）对于直线y＝x﹣2，令y＝0，得到x＝2，∴C（2，0），

∴OC＝2，∵A（4，2），∴OA2，

在△AOC中，∠ACO是钝角，若M在x轴的负半轴上时，∠AOM＞∠ACO，

因此两三角形不可能相似，所以点M只能在x轴的正半轴上，设OM＝m，

∵M与C不重合，∴△AOC∽△AOM不合题意舍弃，

∴当，即时，△AOC∽△MOA，解得m＝10，

∴点M的坐标为（10，0），

当M′在x轴的负半轴上时，同法可得M′（﹣2，0）．

综上所述，满足条件的M的坐标为（10，0）或（﹣2，0）．