2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第7讲 一元二次方程及应用 学案

第7讲　一元二次方程及应用

知识梳理

1.一元二次方程

(1)概念: 只含有__一__个未知数，并且未知数的最高次数是__2__，这样的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程的一般形式是__ax2＋bx＋c＝0(a≠0)__.

(2)一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫做二次项，bx叫做一次项，c叫做常数项，a是二次项的系数，b是一次项的系数，注意a≠0.

2.一元二次方程的解法

(1)基本思路:降次.

(2)方法:

①直接开平方法：对于形如或（，）型的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解，如（）的解为，即，；如（）转化为，即转化为或进行求解．

②因式分解法：若a·b＝0，则a＝0或__b＝0__．

③配方法：能通过配方把一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)变形为(x＋)2＝____的形式，再利用直接开平方法求解．

④公式法：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，x=．

3.一元二次方程根的判别式

设一元二次方程为，其根的判别式为：则：

①方程有两个不相等的实数根．

②方程有两个相等的实数根．

③方程没有实数根．

4.一元二次方程的根与系数的关系

若是一元二次方程的两个根，那么：，．【注意】利用根与系数时要注意两个隐含条件：（1）；（2）．

5.一元二次方程的类型及应用

（1）数字问题；（2）增长率问题；

（3）形积问题；（4）动点问题．

解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程,最后还要注意检验求出的未知数的值是否符合实际意义.

5年真题

命题点1一元二次方程的相关概念及解法  

1．（3分）（2017•广东）如果2是方程x2﹣3x+k＝0的一个根，则常数k的值为（　B　）

A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2

命题点2 一元二次方程根的判别式

2．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　A　）

A．m B．m C．m D．m

命题点3  一元二次方程根与系数的关系

3．（3分）（2019•广东）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的是（　D　）

A．x1≠x2 B．x12﹣2x1＝0 C．x1+x2＝2 D．x1•x2＝2

3年模拟

1．（2020•凉山州一模）下列方程是关于x的一元二次方程的是（　D　）

A．ax2+bx+c＝0 B．2 

C．x2+2x＝x2﹣1 D．3（x+1）2＝2（x+1）

2．（2020•江岸区模拟）将一元二次方程2x2+7＝9x化成一般式后，二次项系数和一次项系数分别为（　C　）

3．（2020•中山市一模）a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（　A　）

A．2018 B．2019 C．2020 D．2021

4．（2020•兰州模拟）用配方法解方程x2+2x﹣3＝0，下列配方结果正确的是（　D　）

A．（x﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2＝4 C．（x+1）2＝2 D．（x+1）2＝4

5．（2020•揭西县模拟）一个三角形的三边长都是方程x2﹣7x+10＝0的根，则这个三角形的周长不可能是（　B　）

A．6 B．9 C．12 D．15

6．（2020•金平区模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+2k＝0的根的情况是（　D　）

A．无法确定 B．没有实数根 

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

7．（2020•潮阳区一模）已知x1、x2是一元二次方程x2﹣4x﹣1＝0的两个根，则x1•x2等于（　C　）

A．4 B．1 C．﹣1 D．﹣4

8．（2020•惠来县模拟）已知关于x的一元二次方程x2+mx+3＝0有两个实数根x1＝1，x2＝n，则代数式（m+n）2020的值为（　A　）

A．1 B．0 C．32020 D．72020

9．（2020•龙岗区校级模拟）关于x的方程mx2+2（m+1）x+m＝0有实根，则m的取值范围是　m　．

10．（2020•广东模拟）为抑制高房价，照顾低收入家庭，国家决定加大经济保障房建设力度，若某市2017年完成了500万套，计划2019年完成2000万套．则2017年至2019年经济保障房平均每年的增长率为　100%　．

11．（2020•樊城区模拟）如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为　2　m．

12．（2020•海丰县一模）某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．

（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？

（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？

解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，

依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，

解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．

答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．

（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．

答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．