2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第13讲 二次函数的综合运用 学案

第13讲　二次函数的综合运用
5年真题
命题点1：与二次函数相关的综合题
1．（9分）（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=38x2+334x-738与x轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．
（1）求点A、B、D的坐标；（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（3）如图2，过顶点D作DD1⊥x轴于点D1，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，点M为垂足，使得△PAM与△DD1A相似（不含全等）．
①求出一个满足以上条件的点P的横坐标；②直接回答这样的点P共有几个？

解：（1）令38x2+334x-738=0，解得x1＝1，x2＝﹣7．∴A（1，0），B（﹣7，0）．
由y=38x2+334x-738=38（x+3）2﹣23得，D（﹣3，﹣23）；
（2）证明：∵DD1⊥x轴于点D1，∴∠COF＝∠DD1F＝90°，
∵∠D1FD＝∠CFO，∴△DD1F∽△COF，∴D1DFD1=COOF，
∵D（﹣3，﹣23），∴D1D＝23，OD1＝3，
∵AC＝CF，CO⊥AF，∴OF＝OA＝1，∴D1F＝D1O﹣OF＝3﹣1＝2，
∴232=OC1，∴OC=3，∴CA＝CF＝FA＝2，∴△ACF是等边三角形，∴∠AFC＝∠ACF，
∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，∴∠ECF＝∠AFC＝60°，∴EC∥BF，
∵EC＝DC=32+(3+23)2=6，∵BF＝6，∴EC＝BF，∴四边形BFCE是平行四边形；
（3）∵点P是抛物线上一动点，∴设P点（x，38x2+334x-738），
①当点P在B点的左侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴DD1PM=D1AMA或DD1AM=D1APM，
∴2338x2+334x-738=41-x或231-x=438x2+334x-738，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣11或x1＝1（不合题意舍去）x2=-373；
当点P在A点的右侧时，∵△PAM与△DD1A相似，∴PMAM=DD1D1A或PMMA=D1ADD1，
∴38x2+334x-738x-1=234或38x2+334x-738x-1=423，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2=-53（不合题意舍去）；当点P在AB之间时，∵△PAM与△DD1A相似，
∴PMAM=DD1D1A或PMMA=D1ADD1，∴38x2+334x-738x-1=234或38x2+334x-738x-1=423，
解得：x1＝1（不合题意舍去），x2＝﹣3（不合题意舍去）或x1＝1（不合题意舍去），x2=-53；
综上所述，点P的横坐标为﹣11或-373或-53；②由①得，这样的点P共有3个．

2．（9分）（2018•东莞市）如图，已知顶点为C（0，﹣3）的抛物线y＝ax2+b（a≠0）与x轴交于A，B两点，直线y＝x+m过顶点C和点B．
（1）求m的值；（2）求函数y＝ax2+b（a≠0）的解析式；
（3）抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）将（0，﹣3）代入y＝x+m，可得：m＝﹣3；
（2）将y＝0代入y＝x﹣3得：x＝3，所以点B的坐标为（3，0），
将（0，﹣3）、（3，0）代入y＝ax2+b中，可得：b=-39a+b=0，解得：a=13b=-3，
所以二次函数的解析式为：y=13x2﹣3；
（3）存在，分以下两种情况：

①若M在B上方，设MC交x轴于点D，则∠ODC＝45°+15°＝60°，
∴OD＝OC•tan30°=3，
设DC为y＝kx﹣3，代入（3，0），可得：k=3，
联立两个方程可得：y=3x-3y=13x2-3，解得：x1=0y1=-3，x2=33y2=6，∴M1（33，6）；
②若M在B下方，设MC交x轴于点E，则∠OEC＝45°﹣15°＝30°，
∴∠OCE＝60°，∴OE＝OC•tan60°＝33，
设EC为y＝kx﹣3，代入（33，0）可得：k=33，联立两个方程可得：y=33x-3y=13x2-3，
得：x1=0y1=-3，x2=3y2=-2，∴M2（3，﹣2），综上M的坐标为（33，6）或（3，﹣2）．
3．（9分）（2017•广东）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．
（1）求抛物线y＝﹣x2+ax+b的解析式；（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，求sin∠OCB的值．

解：（1）将点A、B代入抛物线y＝﹣x2+ax+b可得，0=-12+a+b0=-32+3a+b，
解得，a＝4，b＝﹣3，∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）∵点C在y轴上，∴C点横坐标x＝0，
∵点P是线段BC的中点，∴点P横坐标xP=0+32=32，
∵点P在抛物线y＝﹣x2+4x﹣3上，∴yP=-(32)2+4×32-3=34，
∴点P的坐标为（32，34）；
（3）∵点P的坐标为（32，34），点P是线段BC的中点，
∴点C的纵坐标为2×34-0=32，∴点C的坐标为（0，32），
∴BC=(32)2+32=352，∴sin∠OCB=OBBC=3352=255．
3年模拟
1．（2020•龙湖区一模）如图，抛物线y=-12x2+52x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，﹣2），连接BC、AD．
（1）将矩形OBHC绕点B按逆时针旋转90°后，再沿x轴对折到矩形GBFE（点C与点E对应，点O与点G对应），求点E的坐标；
（2）设过点E的直线交AB于点P，交CD于点Q．
①当四边形PQCB为平行四边形时，求点P的坐标；
②是否存在点P，使直线PQ分梯形ADCB的面积为1：3两部分？若存在，求出点P坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）令y＝0，得-12x2+52x-2=0，
解得x1＝1，x2＝4，∴A（4，0），B（1，0），∴OA＝4，OB＝1，
∵四边形OBHC为矩形，CH的延长线交抛物线于点D（5，﹣2），
∴点C（0，﹣2），CH＝OB＝1，BH＝OC＝2，∠BHC＝90°，
∵将矩形OBHC绕点B按逆时针旋转90°，
∴EF＝1，BF＝2，∠EFB＝90°，∴E（3，1）；
（2）①如图，∵点C（0，﹣2），点B（1，0），

∴直线BC解析式为：y＝2x﹣2，
∵四边形PQCB为平行四边形，∴BC∥PQ，
∴设直线PQ解析式为：y＝2x+b，
∵直线PQ过点E，∴1＝6+b，
∴b＝﹣5，∴直线PQ解析式为：y＝2x﹣5，
当y＝0时，x=52，∴点P（52，0）；
②存在，∵点A（4，0），点B（1，0），点C（0，﹣2），点D（5，﹣2），
∴AB＝3，CD＝5，∴四边形ABCD的面积=12×2×（3+5）＝8，
设直线PQ解析式为：y＝mx+n，且过点E（3，1），
∴1＝3m+n，∴n＝1﹣3m，∴直线PQ解析式为：y＝mx+1﹣3m，
当y＝0时，x=3m-1m，当y＝﹣2时，x=3m-3m，
∴点P（3m-1m，0），点Q（3m-3m，0），
当四边形BPQC的面积：四边形PQDA的面积＝1：3，
∴四边形BPQC的面积=14×8＝2，
∴12×2×（3m-3m+3m-1m-1）＝2，
∴m=43，∴点P（94，0）；
当四边形BPQC的面积：四边形PQDA的面积＝3：1，
∴四边形BPQC的面积=34×8＝6，
∴12×2×（3m-3m+3m-1m-1）＝6，∴m＝﹣4，
∴点P（134，0）；综上所述，所求点P的坐标为（94，0）或（134，0）．
2．（2020•莒县一模）如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y=-12x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），
①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求PDOD的最大值；
②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F恰好落在y轴上，求出对应的点P的坐标．

解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，
当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，
∴A（﹣4，0），B（0，4），
把A，B两点的坐标代入抛物线解析式得-4b+c=8c=4，解得b=-1c=4，
∴抛物线的解析式为y=-12x2-x+4；
（2）①如图1，作PF∥BO交AB于点F，

∴△PFD∽△OBD，则PDOD=PFOB，∵OB＝4为定值，∴当PF取最大值时，PDOD有最大值，
设P（x，-12x2-x+4），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），
∴PF=yp-yF=-12x2-x+4-(x+4)=-12x2-2x，∵-12＜0且对称轴是直线x＝﹣2，∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，∴PDOD=PFOB=12；②∵点C（2，0），∴CO＝2，如图2，点F在y轴上时，过点P作PH⊥x轴于H，

在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，
∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，
在△CPH和△FCO中，∠HPC＝∠OCF，∠PHC＝∠COF，PC＝FC，
∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，
∴-12x2-x+4=2，解得，x=-1±5，
∴p1=(-1+5，2)，p2=(-1-5，2)．
3．（2020•斗门区二模）如图，抛物线y＝x2+bx+c经过A （0，3），B （4，3）两点，与x轴交于点E，F，以AB为边作矩形ABCD，其中CD边经过抛物线的项点M，点P是抛物线上一动点（点P不与点A，B重合），过点P作y轴的平行线1与直线AB交于点G，与直线BD交于点H，连接AF交直线BD于点N．
（1）求该抛物线的解析式以及顶点M的坐标；
（2）当线段PH＝2GH时，求点P的坐标；
（3）在抛物线上是否存在点P，使得以点P，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（0，3），B（4，3）两点，
∴c=316+4b+c=3，得b=-4c=3，
即该抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，
∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴顶点M的坐标为（2，﹣1）；
（2）∵四边形ABCD是矩形，且CD边经过抛物线的顶点M（2，﹣1），∴D（0，﹣1），
设直线BD的解析式为y＝kx+b，
∵直线BD经过点B（4，3），D（0，﹣1），
∴4k+b=3b=-1，解得，k=1b=-1，
∴直线BD的解析式为y＝x﹣1，
∵点P为是抛物线上一动点，
∴设P（a，a2﹣4a+3），则G（a，3），H（a，a﹣1），
∴PH＝|a2﹣4a+3﹣（a﹣1）|＝|a2﹣5a+4|，GH＝|3﹣（a﹣1）|＝|4﹣a|，
∵PH＝2GH，
∴|a2﹣5a+4|＝2|4﹣a|，
解得，a1＝﹣1，a2＝3，a3＝4，
∴P1（﹣1，8），P2（3，0），P3（4，3），
∵点P不与点A，B重合
∴P3（4，3）不符合要求，
∴当线段PH＝2GH时，点P的坐标为P（﹣1，8）或P（3，0）；
（3）当y＝0时，0＝x2﹣4x+3，得x1＝3，x2＝1，
则点E的坐标为（1，0），点F的坐标为（3，0），
∵A（0，3），F（3，0），
∴直线AF的解析式为y＝﹣x+3，
联立y=x-1y=-x+3，得x=2y=1，
∴N（2，1），
如图1所示，当点P在直线EF下方时，
∵M（2，﹣1），N（2，1），E（1，0），F（3，0），
∴MN与EF互相垂直平分，
∴当点P在点M的位置时，四边形PENF是平行四边形，
此时P（2，﹣1）；
如图2所示，当点P在点E的左侧时，
若四边形PEFN是平行四边形，则P（0，1），
∵抛物线经过点A（0，3），
∴P（0，1）不符合实际，舍去；
如图3所示，当点P在点F的右侧时，
若四边形PFEN是平行四边形，则P（4，1），
∵抛物线经过点B（4，3），
∴P（4，1）不符合实际，舍去；
综上所述，存在点P（2，﹣1）时，使得以点P，E，N，F为顶点的四边形是平行四边形．

4．（2020•英德市一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣2经过点A（4，0）、B（1，0）两点，点C为抛物线与y轴的交点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）P是x轴上方抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，问：是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上找一点D，过点D作x轴的垂线，交AC于点E，是否存在这样的点D，使DE最长，若存在，求出点D的坐标，以及此时DE的长，若不存在，请说明理由．

解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣1）（x﹣4）＝a（x2﹣5x+4）＝ax2+bx﹣2，故4a＝﹣2，解得：a=-12，
故抛物线的表达式为：y=-12x2+52x﹣2；
（2）存在，理由：
设点P（x，-12x2+52x﹣2），则点M（x，0），
则PM=-12x2+52x﹣2，AM＝4﹣x，
∵tan∠OAC=12，

∵以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似，
故tan∠PAM=12或2，故-12x2+52x-24-x=2或12，
解得：x＝2或4（舍去）或5（舍去），
故x＝2，
经检验x＝2是方程的解，
故P（2，1）；
（3）设直线AC的表达式为：y＝kx+t，则0=4k+tt=-2，解得k=12t=-2，
故直线AC的表达式为：y=12x﹣2，
设点D（x，-12x2+52x﹣2），则点E（x，12x﹣2），
DE＝（-12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=-12x2+2x，
∵-12＜0，故DE有最大值，当x＝2时，DE的最大值为2，
此时点D（2，1）；
故点D的坐标（2，1），此时DE的长为2．
5．（2020•花都区一模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（﹣3，0），与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）点M为抛物线y＝﹣x2+bx+c上异于点C的一个点，且S△OMC=12S△ABC，求点M的坐标；
（3）若点P为x轴上方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AP、BP分别交抛物线的对称轴于点E、F．请问DE+DF是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．

解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得-9-3b+c=0c=3，解得b=-2c=3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）对于抛物线y＝﹣x2﹣2x+3，令y＝0，则x＝﹣3或1，
故点B（1，0），∴12S△ABC=12×12×AB×OC=14×4×3＝3，∵S△OMC=12×OC×|xM|=32|xM|＝3，解得：xM＝±2，故点M的坐标为（2，﹣5）或（﹣2，3）；
（3）是定值，理由：设点P的坐标为（m，﹣m2﹣2m+3），

设直线AP的表达式为：y＝kx+t，则0=-3k+t-m2-2m+3=mk+t，解得k=1-mt=3-3m，
故直线AP的表达式为：y＝﹣（m﹣1）（x+3），
当x=-b2a=-1时，y＝2﹣2m，即点E（﹣1，2﹣2m），即DE＝2﹣2m，
同理可得，直线BP的表达式为：y＝﹣（m+3）（x﹣1），
当x＝﹣1时，y＝2m+6，故点F（﹣1，2m+6），即DF＝2m+6，
∴DE+DF＝2﹣2m+2m+6＝8，为定值．