2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第3讲 代数式、整式与因式分解 学案

第3讲　代数式、整式与因式分解

知识梳理

1.代数式的概念

代数式的有关概念：

用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式．

2.代数式的值

用具体数代替代数式中的字母,按运算顺序计算出的结果叫做代数式的值. 求代数式的值的方法：①化简求值，②整体代入.

3.单项式与多项式

(1) 单项式：只含有数字与字母的积的运算的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式，单项式中的数字因数叫单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.

(2) 多项式：几个单项式的和叫做多项式，组成这个多项式的每一个单项式都叫多项式的项，多项式中次数最高项的次数就叫做多项式的次数．

注意：(1)多项式的每一项都包括它前面的符号.(2)多项式的次数不是所有项的次数之和.

4.整式分类

整式：单项式和多项式统称为整式．

5.同类项

所含__字母__相同，并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项．

注意：同类项与系数大小无关，与字母的排列顺序无关.

6.整式加减

(1)合并同类项：①字母和字母的指数不变；②__同类项的系数__相加减作为新的系数．

(2)添(去)括号，括号前面是“＋”，把括号去掉，括号里各项运算__不变__；括号前面是“－”，把括号去掉，括号里各项加号变__减号__，减号变__加号__．

7.幂的运算性质

(1)同底数幂相乘：am·an＝__am＋n__(m，n都是整数，a≠0)．

(2)幂的乘方：(am)n＝__amn__(m，n都是整数，a≠0)．

(3)积的乘方：(ab)n＝__an·bn__(n是整数，a≠0，b≠0)．

(4)同底数幂相除：am÷an＝__am－n__(m，n都是整数，a≠0)．

8.整式的乘除

(1)单项式乘单项式:ac·bc2=abc3;

(2)单项式乘多项式:p(a+b+c)=pa+pb+pc;

(3)多项式乘多项式:(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq;

(4)单项式除以单项式:abc3÷ac2=bc;

(5)多项式除以单项式:(am+bm)÷m=a+b.

9.乘法公式

(1)平方差公式：(a＋b)(a－b)＝__a2－b2__．

(2)完全平方公式：(a±b)2＝__a2±2ab＋b2__．

10.分解因式概念及基本方法

把一个多项式化成几个__整式的积__的形式，叫做因式分解．因式分解与__整式乘法__是互逆变形．

因式分解的基本方法

(1)提公因式法：ma＋mb＋mc＝__m(a＋b＋c)__．

(2)公式法：

运用平方差公式：a2－b2＝__(a＋b)(a－b)__．

运用完全平方公式：a2±2ab＋b2＝__(a±b)2__．

11.分解因式的基本步骤

(1)先看各项有没有公因式,若有,则先提公因式;

(2) 如果各项没有公因式，考虑运用公式法;

(3)分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止,简记为一“提”、二“套”、三“检查”.

5年真题

命题点1 代数式及求值

1．（4分）（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样的图形（图1）拼出来的图形的总长度是　a+8b　（结果用含a，b代数式表示）．

2．（4分）（2019•广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是　21　．

3．（4分）（2017•广东）已知4a+3b＝1，则整式8a+6b﹣3的值为　﹣1　．

4．（3分）（2016•广东）已知方程x﹣2y+3＝8，则整式x﹣2y的值为（　A　）

A．5 B．10 C．12 D．15

命题点2  整式的运算

5．（3分）（2019•广东）下列计算正确的是（　C　）

A．b6÷b3＝b2 B．b3•b3＝b9 C．a2+a2＝2a2 D．（a3）3＝a6

6．（3分）（2017•广东）下列运算正确的是（　B　）

A．a+2a＝3a2 B．a3•a2＝a5 C．（a4）2＝a6 D．a4+a2＝a4

命题点3 因式分解

7．（4分）（2018•广东）分解因式：x2﹣2x+1＝　（x﹣1）2　．

8．（4分）（2017•广东）分解因式：a2+a＝　a（a+1）　

9．（4分）（2016•广东）分解因式：m2﹣4＝　（m+2）（m﹣2）　．

3年模拟

1．（2020•罗湖区一模）若单项式am﹣1b2与a2bn的和仍是单项式，则2m﹣n的值是（　B　）

A．3 B．4 C．6 D．8

2．（2020•广州模拟）多项式3xy2﹣2y+1的次数及一次项的系数分别是（　B　）

A．3，2 B．3，﹣2 C．2，﹣2 D．4，﹣2

3．（2020•花都区一模）下列运算正确的是（　D　）

A．a3+a3＝a6 B．a2•a3＝a6 

C．（ab2）2＝ab4 D．5a4b÷ab＝5a3

4．（2020•白云区一模）下列运算正确的是（　B　）

A．4a﹣a＝4 B．a2•a3＝a5 

C．（a3）3＝a6 D．a15+a3＝a5（a≠0）

5．（2019•东莞市模拟）已知x+y﹣3＝0，则2x•2y的值是（　D　）

A．6 B．﹣6 C． D．8

6．（2020•东莞市一模）因式分解x2y﹣2xy+y的结果为（　 B　）

A．（xy﹣1）2 B．y（x﹣1）2 C．y（x2﹣2x+1） D．y（x﹣1）

7．（2020•白云区模拟）观察下面三行数：

﹣2，4，﹣8，16，﹣32，64，……；

1，7，﹣5，19，﹣29，67，……；

﹣1，2，﹣4，8，﹣16，32，……．

分别取每行的第10个数，这三个数的和是（　A　）

A．2563 B．2365 C．2167 D．2069

8．（2019•鄞州区模拟）如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（　B　）

A．a B．a＝2b C．ab D．a＝3b

9．（2019•荔湾区模拟）苹果的零售价格是每千克5元，一次购买10千克以上按批发价，批发价格是零售价格的8折，买15千克苹果应该付　60　元．

16．（2020•东莞市一模）已知x2+x﹣3＝0，则代数式15﹣2x2﹣2x的值为　9　．

10．（2020•潮州模拟）已知a2+b2＝13，ab＝6，则（a+b）2＝　25　．

11．（2020•龙岗区模拟）如果a2+b2+2c2+2ac﹣2bc＝0，那么2a+b﹣1的值为　　．

【解析】a2+b2+2c2+2ac﹣2bc＝a2+2ac+c2+b2﹣2bc+c2＝（a+c）2+（b﹣c）2＝0，

∴a+c＝0，b﹣c＝0，解得a＝﹣c，b＝c，∴2a+b﹣1＝2﹣c+c﹣1＝2﹣1．故答案为：．

12．（2020•高州市模拟）用边长为1的小正方形摆成如图所示的塔状图形，按此规律，第2020次所摆图形的周长是　8080　．

8000【解析】∵第一次所摆图形周长是1×4＝4；

第二次所摆图形的周长是2×4＝8；

第三次所摆图形的周长是3×4＝12；

…

∴第n次所摆图形的周长是n×4＝4n．

第2020次所摆图形的周长是2020×4＝8080．

故答案为： 8080．

13．（2019•黔东南州一模）分解因式x2﹣2xy+y2﹣1＝　（x﹣y+1）（x﹣y﹣1）　．

14．（2020•花都区一模）已知A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3．

（1）化简A；（2）若x2＝（）﹣1，求A的值．

解：（1）A＝（x+2）2+（x+1）（x﹣1）﹣3＝x2+4x+4+x2﹣1﹣3＝2x2+4x；

（2）∵x2＝（）﹣1＝4，∴x＝±2，∴A＝2x2+4x＝2×4+4×2＝8+8＝16，或A＝2x2+4x＝2×4+4×（﹣2）＝8﹣8＝0，即A的值是0或16．