2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第22讲 菱形、矩形 学案
展开第22讲 菱形、矩形
知识梳理
1.菱形的判定与性质
定义 | 有一组邻边相等的平行四边形是菱形． | |
性质 | 对称性 | 是轴对称图形，又是中心对称图形，两条对称轴是对角线所在的直线，其对称中心是两对角线的交点 |
边 | 对边平行，四条边都相等 | |
角 | 对角相等 | |
对角线 | 对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角 | |
判定 | 有一组邻边相等的平行四边形是菱形 | |
四条边都相等的四边形是菱形 | ||
对角线互相垂直的平行四边形是菱形 | ||
面积 | 菱形的面积=底×高=两对角线乘积的一半 | |
2. 矩形性质及其判定
定义 | 有一个角是直角的平行四边形是矩形． | |
性质 | 对称性 | 是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴，其对称中心是两对角线的交点． |
边 | 对边平行且相等． | |
角 | 四个角都是直角． | |
对角线 | 对角线互相平分且相等． | |
判定 | 有一个角是直角的平行四边形是矩形． | |
有三个角是直角的四边形是矩形． | ||
对角线相等的平行四边形是矩形． | ||
5年真题
命题点1 菱形的性质与判定
1．（7分）（2017•广东）如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD＝∠FAD，∠BAD为锐角．（1）求证：AD⊥BF；（2）若BF＝BC，求∠ADC的度数．
（1）证明：如图，连结DB、DF．∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA．在△BAD与△FAD中，，
∴△BAD≌△FAD，∴DB＝DF，∴D在线段BF的垂直平分线上，
∵AB＝AF，∴A在线段BF的垂直平分线上，∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF；
解法二：∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB＝BC＝CD＝DA，AD＝DE＝EF＝FA．
∴AB＝AF，∵∠BAD＝∠FAD，∴AD⊥BF（等腰三角形三线合一）；
（2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，
∴DG＝BHBF．∵BF＝BC，BC＝CD，∴DGCD．
在直角△CDG中，∵∠CGD＝90°，DGCD，∴∠C＝30°，∵BC∥AD，
∴∠ADC＝180°﹣∠C＝150°．
3年模拟
1．（2020•荔湾区一模）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B坐标是（4，1），点D坐标是（0，1），点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（ C ）
A．8 B．2 C．4 D．12
2．（2020•福田区模拟）如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥BC于点E，连接OE，若∠ABC＝140°，则∠OED＝（ A ）
A．20° B．30° C．40° D．50°
3．（2020•市南区模拟）如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8．P是AB边上的一点，E，F分别是DP，BP的中点，则线段EF的长为（ C ）
A．8 B．2 C．4 D．2
4．（2020•清远一模）如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四边形DBFE是菱形，还需要添加的条件是（ A ）
A．BE平分∠ABC B．AD＝BD C．BE⊥AC D．AB＝AC
5．（2020•昆山市一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线EF分别交BC，AD于点E，F，若BE＝4，AF＝6，则AC的长为（ C ）
A．4 B．6 C．2 D．
6．（2020•湛江模拟）如图，点O为平面直角坐标系的原点，以点O为顶点作矩形OEDC，其中点D的坐标是（2，5），则CE的长是（ C ）
A．3 B． C． D．7
7．（2020•福田区校级模拟）如图，O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ 2 ．
2【解析】∵菱形ABEO的边长为2，
∴AB＝AO＝2，∵O点是矩形ABCD的对角线AC的中点，
∴∠ABC＝90°，AC＝2AO＝4，
∴BC2，故答案为：2．
8．（2020•东莞市一模）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且CD＝DE，连接BE分别交AC、AD于点F、G，连接OG，则下列结论中一定成立的是 ①④ ．（把所有正确结论的序号都填在横线上）
①OGAB；
②与△EGD全等的三角形共有5个；
③S四边形ODGF＞S△ABF；
④由点A、B、D、E构成的四边形是菱形．
①④【解析】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，
∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD，∵CD＝DE，∴AB＝DE，
在△ABG和△DEG中，，
∴△ABG≌△DEG（AAS），∴AG＝DG，
∴OG是△ACD的中位线，
∴OGCDAB，①正确；
∵AB∥CE，AB＝DE，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∵∠BCD＝∠BAD＝60°，
∴△ABD、△BCD是等边三角形，
∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°，
∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形，④正确；
∴AD⊥BE，
由菱形的性质得：△ABG≌△BDG≌△DEG，
在△ABG和△DCO中，，
∴△ABG≌△DCO（SAS），
∴△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD≌△ABG≌△BDG≌△DEG，②不正确；
∵OB＝OD，AG＝DG，
∴OG是△ABD的中位线，
∴OG∥AB，OGAB，
∴△GOD∽△ABD，△ABF∽△OGF，
∴△GOD的面积△ABD的面积，△ABF的面积＝△OGF的面积的4倍，AF：OF＝2：1，
∴△AFG的面积＝△OGF的面积的2倍，
又∵△GOD的面积＝△AOG的面积＝△BOG的面积，
∴S四边形ODGF＝S△ABF；不正确；
正确的是①④．
故答案为：①④．
9．（2020•福田区模拟）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝8，AD＝10，求OE的长．
证明：（1）∵菱形ABCD，∴AD∥BC．
∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；
（2）∵AE＝8，AD＝10，∴AB＝10，BE＝6．
∵AB＝BC＝10，∴CE＝16．∴AC＝8，
∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝4．∴OE．
10．（2020•禅城区一模）如图，矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点，过点A作AN∥BD，过点B作BN∥AC，两线相交于点N．（1）求证：AN＝BN；
（2）连接DN，交AC于点F，若DN⊥NB于点N，求∠DOC的度数．
解：（1）证明：∵矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∴OA＝OB，
∵AN∥BD，BN∥AC，
∴四边形OANB是平行四边形，
∵OA＝OB，∴▱OANB是菱形，∴AN＝BN，
（2）由（1）可知：BN＝OB＝OD，
∴BD＝2BN，∵DN⊥NB，
∴∠DNB＝90°，∴∠BDN＝30°，
∵BN∥AC，∴∠DFO＝∠DNB＝90°，
∴∠DOF＝90°﹣30°＝60°，
∴∠DOC＝180°﹣60°＝120°．
答：∠DOC的度数为120°．
