2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第12讲 二次函数 学案

第12讲　二次函数

知识梳理

1. 二次函数的概念：二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．. 

2.二次函数 (a≠0)的图象和性质

3. 二次函数解析式的确定

1. 一般式：（，，为常数，）；

2. 顶点式：（，，为常数，）；

3. 两根式：（，，是抛物线与轴两交点的横坐标）.

注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

4.二次函数与一元二次方程、不等式的关系

一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.

图象与轴的交点个数：

① 当时，图象与轴交于两点，这两点间的距离.

② 当时，图象与轴只有一个交点；

③ 当时，图象与轴没有交点.

注意：当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有；当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有．

5. 二次函数图象的平移

1. 平移步骤及规律：

将抛物线解析式转化成顶点，确定其顶点坐标；在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．

3年模拟

1．（2020•龙岗区二模）二次函数y＝3（x+4）2﹣5的图象的顶点坐标为（　D　）

A．（4，5） B．（﹣4，5） 

C．（4，﹣5） D．（﹣4，﹣5）

2．（2020•福田区模拟）将抛物线y＝x2﹣4x+3平移，使它平移后图象的顶点为（﹣2，4），则需将该抛物线（　C　）

A．先向右平移4个单位，再向上平移5个单位 

B．先向右平移4个单位，再向下平移5个单位 

C．先向左平移4个单位，再向上平移5个单位 

D．先向左平移4个单位，再向下平移5个单位

3．（2020•花都区一模）若点A（2，y1），B（﹣1，y2）在抛物线y＝（x﹣2）2+1的图象上，则y1、y2的大小关系是（　A　）

A．y1＜y2 B．y1＝y2 

C．y1＞y2 D．无法确定

4．（2020•罗湖区一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，且过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是（　C　）

A．b2＜4ac B．ac＞0 

C．a﹣b+c＝0 D．2a﹣b＝0

C【解析】A．∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，所以A选项错误；B．∵抛物线开口向上，∴a＞0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴ac＜0，所以B选项错误；

C．∵抛物线过点A（3，0），二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为（﹣1，0），∴a﹣b+c＝0，所以C选项正确；D．∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，∴1，∴2a+b＝0，所以D选项错误；故选：C．

5．（2020•龙华区二模）定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的周长值与面积值相等，则这个点叫做和谐点，这个矩形叫做和谐矩形．已知点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，则k的值为（　　）

A．﹣12 B．0 C．4 D．16

A【解析】∵点P（m，n）是抛物线y＝x2+k上的点，∴n＝m2+k，∴k＝n﹣m2，

∴点P（m，n）是和谐点，对应的和谐矩形的面积为16，

∴2|m|+2|n|＝|mn|＝16，∴|m|＝4，|n|＝4，当n≥0时，k＝n﹣m2＝4﹣16＝﹣12；

当n＜0时，k＝n﹣m2＝﹣4﹣16＝﹣20．故选：A．

6．（2020•天河区模拟）当二次函数y＝﹣x2+4x﹣6有最大值时，x＝　2　．

7．（2020•禅城区二模）在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，sinB．动点M从点B出发，沿BO以1单位/秒的速度向点O运动；动点P从点B出发，沿BA以1单位/秒的速度向点A运动；P、M两点同时出发，任意一点先到达终点时，两点停止运动．设运动的时间为t．△PMO的面积为S，则s的最大值是　　．

【解析】如图，∵在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，sinB．∴AB＝5，∴OB4，过点P作PD⊥OB，在Rt△PDB中，PB＝t，sinB，∴PDt，OM＝4﹣t，∴S（t﹣2）2，∵0≤t≤4，∴当t＝2时，S最大值，故答案为．

7．（2020•揭阳二模）已知：如图，抛物线y＝ax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A （3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C．（1）求抛物线的解析式；

（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值．

解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：，解得：，则抛物线解析式为y＝﹣x2+4x；

（2）设直线OA解析式为y＝kx，

把A（3，3）代入得：k＝1，即直线OA解析式为y＝x，∵PB⊥x轴，∴P，C，B三点纵坐标相等，∵B（m，0），

∴把x＝m代入y＝x中得：y＝m，即C（m，m），把x＝m代入y＝﹣x2+4x中得：y＝﹣m2+4m，即P（m，﹣m2+4m），

∵P在直线OA上方，∴PC＝﹣m2+4m﹣m＝﹣m2+3m（0＜m＜3），

当m时，PC取得最大值，最大值为．