2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第27讲 尺规作图 学案

第27讲　尺规作图

知识梳理

 与尺规作图有关的证明与计算

5年真题

命题点1  基本作图

1．（6分）（2019•广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．

（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的条件下，若2，求的值．

解：（1）如图，∠ADE为所作；

（2）∵∠ADE＝∠B，∴DE∥BC，∴2．

2．（6分）（2018•广东）如图，BD是菱形ABCD的对角线，∠CBD＝75°，

（1）请用尺规作图法，作AB的垂直平分线EF，垂足为E，交AD于F；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）条件下，连接BF，求∠DBF的度数．

解：（1）如图所示，直线EF即为所求；

（2）∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABD＝∠DBC∠ABC＝75°，DC∥AB，∠A＝∠C．

∴∠ABC＝150°，∠ABC+∠C＝180°，∴∠C＝∠A＝30°，

∵EF垂直平分线段AB，∴AF＝FB，∴∠A＝∠FBA＝30°，∴∠DBF＝∠ABD﹣∠FBE＝45°．

3．（7分）（2017•广东）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．

（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．

解：（1）如图所示；（2）∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠B＝50°，∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝100°．

4．（6分）（2016•广东）如图，已知△ABC中，D为AB的中点．

（1）请用尺规作图法作边AC的中点E，并连接DE（保留作图痕迹，不要求写作法）；

（2）在（1）的条件下，若DE＝4，求BC的长．

解：（1）作线段AC的垂直平分线MN交AC于E，点E就是所求的点．

（2）∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，DEBC，∵DE＝4，∴BC＝8．

3年模拟

1．（2020•罗湖区一模）如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，连接AP，交CD于点M，若∠ACD＝110°，则∠CMA的度数为（　B　）

A．30° B．35° C．70° D．45°

2．（2020•大鹏新区一模）如图，在△ABC中，∠B＝70°，∠C＝30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（　C　）

A．40° B．45° C．50° D．60°

3．（2020•恩平市模拟）已知线段a，h，小明用如图所示的方法作△ABC，他的具体作法是：

①作射线AM，以点A为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线AM于点B；②分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径画弧，两弧交于D，E两点；③作直线DE，交AB于点F；④以点F为圆心，线段h的长为半径画弧，交直线DE于点C，连接AC，BC．

下列关于小明作的△ABC的说法，错误的是（　D　）

A．AF＝BF B．∠CAB＝∠CBA 

C．∠ACF＝∠BCF D．AB＝BC

D【解析】由作图可知，DE垂直平分线段AB，

∴AF＝BF，DE⊥AB，∴CA＝CB，

∴∠CAB＝∠CBA，∠ACF＝∠BCF，

故A，B，C正确，故选：D．

4．（2020•龙华区二模）如图，矩形ABCD中，AD＝2，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB、AD于M、N两点，分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P，连接AP并延长交CD于点E，以A为圆心，AE为半径作弧，此弧刚好过点B，则CE的长为　22　．

22【解析】如图，连接BE，

根据作图过程可知：AE平分∠DAB，

∴∠DAE＝∠EAB，∵四边形ABCD是矩形，

∴DC∥AB，∠D＝90°，∴∠DAE＝∠EAB，

∴∠EAB＝∠AED，∴∠DAE＝∠AED，

∴DE＝AD＝2，∴DE2，

∴DC＝AB＝AE＝2，

∴CE＝DC﹣DE＝22．

故答案为：22．

5．（2020•禅城区二模）如图，点A是∠MON边OM上一点，AE∥ON．

（1）尺规作图：作∠MON的角平分线OB，交AE于点B（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）若∠MAE＝48°，直接写出∠OBE的大小．

解：（1）如图，OB为所作；

（2）∵AE∥ON，∴∠MON＝∠MAE＝48°，

∵OB平分∠MON，

∴∠NOB∠MON＝24°，∵AB∥ON，

∴∠OBA＝∠NOB＝24°，

∴∠OBE＝180°﹣∠OBA＝180°﹣24°＝156°．

6．（2020•惠来县模拟）如图，已知锐角△ABC，AB＞BC．

（1）只规作图：求作△ABC的角平分线BD；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）点E在AB边上且BC＝BE，请连接DE，求证：∠BED＝∠C．

（1）解：如图，线段BD即为所求；

（2）证明：∵BD平分∠ABC，

∴∠EBD＝∠CBD，

∵BE＝BC，BD＝BD，

∴△BDE≌△BDC（SAS），∴∠BED＝∠C．

7．（2020•梅州模拟）如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．

（1）用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD、BC于点E和点F（保留作图痕迹，不写作法）；

（2）连接BE、DF，若AB＝4，AD＝8，求四边形BEDF的周长．

解：（1）如图，直线EF即为所求．

（2）∵EF垂直平分线段BD，

∴BE＝ED，BF＝DF，∠BEF＝∠DEF，

∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，

∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，

∴BE＝DE＝DF＝BF，设BE＝x，

在Rt△BAE中，AB＝4，AE＝8﹣x，

可得42+（8﹣x）2＝x2，∴x＝5，

∴BE+DE+DF+BF＝20，

∴四边形BEDF的周长为20．

8．（2020•南沙区一模）如图，AB为⊙O的直径，点C为弧AB中点，连接AC、BC．

（1）利用尺规作图，作出∠BAC的角平分线，分别交BC、⊙O于点D、E，连接BE．（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若BE＝2，求AD的长度．

解：（1）如图，AE即为所求；

（2）∵点C为弧AB中点，∴，

∴AC＝BC，∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，延长BE、AC交于点F，

由（1）作图可知：

∠BAE＝∠CAE，∠AEB＝90°，

∴AE垂直平分BF，∴BF＝2BE＝4，

又∵∠DAC＝∠FBC，∠ACD＝∠BCF＝90°，AC＝BC，∴△ACD≌△BCF（ASA），

∴AD＝BF＝4．

9．（2020•澄海区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点M在BA的延长线上．

（1）按下列要求作图，并在图中标明相应的字母（尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法和证明）；

①作∠MAC的平分线AN；

②在AN上截取AD＝BC，连结CD．

（2）在（1）的条件下，判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．

解：（1）①如图，AN为所求的图形；

②如图，AD为所作；

（2）四边形ABCD是平行四边形．

理由如下：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，∵AN平分∠MAC，

∴∠CAD＝∠MAD，

∵∠CAD+∠MAD＝∠ABC+∠ACB，

∴∠MAD＝∠ABC，∴AD∥BC，∵AD＝BC，

∴四边形ABCD是平行四边形．

10．（2020•顺德区四模）如图，点E是▱ABCD对角线BD上的一点．

（1）请用尺规作图法，过点E作EG∥CD；（不要求写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，在直线EG上截取EF＝CD且点F在点E的下方，连接AE、BF、CF，若∠ABE+∠BFC＝180°，求证：四边形ABFE是菱形

（1）解：如图，直线EG即为所求．

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∵EF∥CD，EF＝CD，

∴EF＝AB，EF∥AB，

∴四边形EFCD，四边形ABFE是平行四边形，

∴BD∥CF，

∴∠DBF+∠BFC＝180°，

∵∠ABE+∠BFC＝180°，

∴∠ABE＝∠DBF，

∵AB∥EF，

∴∠ABE＝∠BEF，

∴∠BEF＝∠EBF，

∴FE＝FB，

∴四边形ABFE是菱形．