2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第10讲 一次函数 学案
展开第10讲 一次函数
知识梳理
1. 一次函数的概念
一般地，如果（、是常数，），那么y叫做x的一次函数；特别的当时，一次函数变为即（是常数），这时y叫做x的正比例函数．
特别提示：正比例函数是一次函数，反之不一定成立，只有当b=0时，它才是正比例函数.
2. 一次函数的图象画法
一次函数y=kx+b（）的图象是经过点（0，b）和的一条直线；特别地，正比例函数y= kx（）的图象是经过点（0，0）和点（1，k）的一条直线．
特别提示：因为一次函数的图象是一条直线，所以画一次函数的图象只需选取两个点，过这两个点画一条直线即可．
3.一次函数的图象与性质
函数 | 系数取值 | 大致 图象 | 经过的象限 | 函数性质 |
y=kx(k≠0) | k>0 | 一、三 | y随x增大而增大 | |
k<0 | 二、四 | y随x增大而减小 | ||
y=kx+b(k≠0) | k>0，b>0 | 一、二、三 | y随x增大而增大 | |
k>0，b<0 | 一、三、四 | |||
k<0，b>0 | 一、二、四 | y随x增大而减小
| ||
k<0，b<0 |
| 二、三、四 | ||
特别提示： | ①确定直线的倾斜程度，当相等时，两直线平行；当不相等时，两直线相交．②确定直线与y轴交点的位置，当相同时，两直线交于y轴上同一点． | |||
4.确定一次函数表达式
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
(1)由题意设出函数的关系式；
(2)根据图象所过已知点或由函数与自变量的对应值列出关于待定系数的方程组；
(3)解关于待定系数的方程或方程组,求出待定系数的值；
(4)将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.
5 .一次函数的平移
正比例函数是特殊的一次函数，一次函数y＝kx＋b的图象可以由正比例函数y＝kx的图象平移得到：当__b＞0__时，向上平移b个单位；当__b＜0__时，向下平移|b|个单位．
6. 一次函数与方程（组）、一元一次不等式的关系
(1)．一元一次方程kx＋b＝0与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次方程kx＋b＝0的解是一次函数y＝kx＋b在__y＝0__时所对应的x的值．
(2)一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)与一次函数y＝kx＋b的关系：一元一次不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解即为一次函数y＝kx＋b在__y＞0(或y＜0)__时所对应的x的取值范围．
7. 一次函数的类型及解答步骤
（1）一次函数应用的常见类型
①根据实际问题给出的数据列相应的函数解析式解决实际问题；
②利用一次函数对实际问题中方案进行比较；
③结合实际问题的函数图象解决实际问题；
④两个以上的一次函数拼接成一个分段函数，分段求函数解析式，标清自变量的取值范围，找准所求的问题在哪段．
（2）用一次函数解决实际问题的一般步骤：
①设定实际问题中的变量；②建立一次函数关系式；③确定自变量的取值范围；④利用函数的性质解决问题；⑤作答．
3年模拟
1．（2020•顺德区模拟）函数y＝kx与y＝﹣kx+k的大致图象是（ D ）
A． B．
C． D．
2．（2020•深圳模拟）直线y＝kx沿y轴向下平移4个单位长度后与x轴的交点坐标是（﹣3，0），以下各点在直线y＝kx上的是（ C ）
A．（﹣4，0） B．（0，3） C．（3，﹣4） D．（﹣4，3）
故选：C．
3．（2020•龙岗区模拟）已知一次函数y＝kx+b的图象经过点（0，﹣1）与（﹣2，0），则不等式kx+b＞0的解集是（ A ）
A．x＜﹣2 B．x＞﹣2 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1
4．（2020•顺德区校级模拟）如图，已知函数y＝ax+b和y＝kx的图象交于点P，则根据图象可得，关于x、y的二元一次方程组的解是（ B ）
A． B．
C． D．
5．（2020•大鹏新区一模）如图，直线l经过第二、三、四象限，其解析式为y＝（m﹣2）x﹣m，则m的取值范围为 0＜m＜2 ．
6．（2020•梅州模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝3x和y＝﹣x的图象分别是直线l1和l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l1于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A4，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，点A2020的的坐标为 （31010，﹣31010） ．
（31010，﹣31010）
【解析】当x＝1时，y＝3，∴点A1的坐标为（1，3）；
当y＝﹣x＝3时，x＝﹣3，∴点A2的坐标为（﹣3，3）；
同理可得：A3（﹣3，﹣9），A4（9，﹣9），A5（9，27），A6（﹣27，27），A7（﹣27，﹣81），A8（81，﹣81），A9（81，243），…，
∴A4n+1（32n，32n+1），A4n+2（﹣32n+1，32n+1），
A4n+3（﹣32n+1，﹣32n+2），A4n+4（32n+2，﹣32n+2）（n为自然数）．
∵2020＝504×4+4，∴点A2020的坐标为（3504×2+2，﹣3504×2+2），即（31010，﹣31010）．
故答案为（31010，﹣31010）．
7．（2020•禅城区一模）已知直线y＝2x+2的图象如图所示；
（1）直线与y轴交点A的坐标是 （0，2） ，与x轴交点B的坐标 （﹣1，0） ；
（2）将直线AB沿x轴负半轴方向平移1个单位后得到直线CD，求直线与y轴的交点D的坐标．
解：（1）∵y＝2x+2，
∴当x＝0，y＝2，即点A的坐标为（0，2）；
当y＝0时，0＝2x+2，解得：x＝﹣1，即点B的坐标为（﹣1，0）．
故答案为：（0，2），（﹣1，0）；
（2）∵将直线AB沿x轴负半轴方向平移1个单位后得到直线CD，直线AB：y＝2x+2，
∴直线CD的解析式为y＝2（x+1）+2，即y＝2x+4，
∴当x＝0，y＝4，即点D的坐标为（0，4）．
8．（2020•金平区模拟）某服装店同时购进A、B两种款式的运动服共300套，进价和售价如表中所示，设购进A款运动服x套（x为正整数），该服装店售完全部A、B两款运动服获得的总利润为y元．
运动服款式 | A款 | B款 |
进价（元/套） | 60 | 80 |
售价（元/套） | 100 | 150 |
（1）求y与x的函数关系式；
（2）该服装店计划投入2万元购进A、B这两款运动服，则至少购进多少套A款运动服？若售完全部的A、B两款运动服，则服装店可获得的最大利润是多少元？
解：（1）由题意可得，y＝（100﹣60）x+（150﹣80）（300﹣x）＝﹣30x+21000，
即y＝﹣30x+21000；
（2）由题意得，60x+80（300﹣x）≤20000，
解得，x≥200，∴至少要购进A款运动服200套．
又∵y＝﹣30x+21000，﹣30＜0，∴y随x的增大而减小，
∴当x＝200时，y有最大值，此时y＝15000，
答：至少购进200套A款运动服，若售完全部A、B两款运动服，则服装店可获得的最大利润是15000元．
9．（2020•番禺区模拟）为更新果树品种，某果园计划新购进A、B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种苗的单价为7元/棵，购买B种苗所需费用y（元）与购买数量x（棵）之间存在如图所示的函数关系．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若在购买计划中，B种苗的数量不少于22棵但不超过35棵，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
解：（1）当0≤x≤20时，设y与x的函数关系式为y＝k1x，20k1＝160，解得，k1＝8，
即当0≤x≤20时，y与x的函数关系式为y＝8x，当20＜x≤45时，设y与x的函数关系式是y＝k2x+b，，解得，即当20＜x≤45时，y与x的函数关系式是y＝6.4x+32，
综上可知：y与x的函数关系式为；
（2）设购买B种树苗x棵，
则22≤x≤35，设总费用为W元，
当20＜x≤35时，
W＝7（45﹣x）+（6.4x+32）＝﹣0.6x+347，
∵﹣0.6＜0，∴W随x的增大而减小，
故当x＝35时，W取得最小值，此时W＝326，45﹣x＝10，
答：当购买A种树苗10棵，B种树苗35棵时总费用最低，最低费用是326元．
