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初中数学 章节考点梳理 二次根式章节涉及的16个必考点全梳理 学案
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必考点一 二次根式的概念
掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
例题1 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．-x-2 B．x C．a2+1 D．x2-2
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
【解析】根据二次根式的定义可得a2+1中得被开方数无论x为何值都是非负数，选C．
【小结】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
变式1 在式子x2（x＞0），2，y+1（y＝﹣2），-2x（x＞0），33，x2+1，x+y中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次根式的定义作答．
【解析】x2（x＞0），2，x2+1符合二次根式的定义．
y+1（y＝﹣2），-2x（x＞0）无意义，不是二次根式．
33属于三次根式．
x+y不是根式．选B．
【小结】本题考查了二次根式的定义．一般形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，a表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
变式2 在式子π-3.14，a2+b2，a+5，-3y2，m2+1，|ab|中，是二次根式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据二次根式的定义形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，对被开方数的符号进行判断即可得．
【解析】在所列式子中是二次根式的有π-3.14，a2+b2，m2+1，|ab|这4个，选B．
【小结】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
变式3 下列各式中①38；②-(-b)；③a2；④1|x|+0.1；⑤x2+2x+1一定是二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得．
【解析】在①38；②-(-b)；③a2；④1|x|+0.1；⑤x2+2x+1一定是二次根式的是③④⑤，选C．
【小结】本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
必考点二 二次根式有意义的条件（求取值范围）
对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零．
例题2 若式子m-1m-2在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1且m≠2 C．m≥1且m≠2 D．m≠2
【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解析】∵m-1m-2在实数范围内有意义，∴m-1≥0m-2≠0，解得m≥1且m≠2．选C．
【小结】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
变式4 要使2x-1+13-x有意义，则x的取值范围为（ ）
A．12≤x≤3 B．12＜x≤3 C．12≤x＜3 D．12＜x＜3
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解析】要使2x-1+13-x有意义，则2x﹣1≥0，3﹣x＞0，解得：12≤x＜3．选C．
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
变式5 若使式子2-x≥x-1成立，则x的取值范围是（ ）
A．1.5≤x≤2 B．x≤1.5 C．1≤x≤2 D．1≤x≤1.5
【分析】直接利用二次根式的性质进而计算得出答案．
【解析】由题意可得：2-x≥0x-1≥02-x≥x-1，解得：1≤x≤1.5．选D．
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
变式6 等式a-3a-1=a-3a-1成立的条件是（ ）
A．a≠1 B．a≥3且a≠﹣1 C．a＞1 D．a≥3
【分析】观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a的范围
【解析】∵等式a-3a-1=a-3a-1成立，∴a-3≥0a-1＞0，∴a≥3．选D．
【小结】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
必考点三 次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）
对于解决此类型题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负数进行求解即可.
例题3 已知，x、y是有理数，且y=x-2+2-x-4，则2x+3y的立方根为 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而得立方根．
【解析】由题意得：x-2≥02-x≥0，解得：x＝2，则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．所以3-8=-2．
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
变式7 若a，b为实数，且b=a2-9+9-a2a+3+4，则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或7 D．7
【分析】先根据二次根式的基本性质：a有意义，则a≥0求出a的值，进一步求出b的值，从而求解．
【解析】∵b=a2-9+9-a2a+3+4，∴a2﹣9＝0且a+3≠0，解得a＝3，b＝0+4＝4，则a+b＝3+4＝7．选D．
【小结】考查了二次根式有意义的条件，解决此题的关键：掌握二次根式的基本性质：a有意义，则a≥0．
变式8 已知2x+y-3+x-2y-4=a+b-2020×2020-a-b，
（1）求a+b的值；
（2）求7x+y2020的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义即可求出答案．
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组求出x与y的值即可求出答案．
【解析】（1）由题意可知：a+b-2020≥02020-a-b≥0，解得：a+b＝2020．
（2）由于a+b-2020×2020-a-b=0，∴2x+y-3=0x-2y-4=0，∴解得：x=2y=-1
∴7x+y2020＝14+1＝15．
【小结】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
变式9 已知3x+y-z-8+x+y-z=x+y-2019+2019-x-y，求（z﹣y）2的值．
【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0．方程左边也为0，据此求得x、y、z的值；然后代入求值．
【解析】由题中方程等号右边知：x+y-2019有意义，则x+y﹣2019≥0，即x+y≥2019，2019-x-y有意义，则2019﹣x﹣y≥0，即x+y≤2019，即x+y≤2019x+y≤2019，∴x+y＝2019．
∴x+y-2019=0，2019-x-y=0．
∴原题中方程右边为0．
∴原题中方程左边也为0，即3x+y-z-8+x+y-z=0．
∵3x+y-z-8≥0，x+y-z≥0．∴3x+y﹣z﹣8＝0，x+y﹣z＝0．
又x+y＝2019，∴3x+y-z-8=0x+y-z=0x+y=2019，∴x=4y=2015z=2019．
∴（z﹣y）2＝（2019﹣2015）2＝42＝16．
【小结】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．
必考点四 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）
对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简.
例题4 已知a≠0且a＜b，化简二次根式-a3b的正确结果是（ ）
A．aab B．﹣aab C．a-ab D．﹣a-ab
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定ab的符号，然后根据a＜b来确定a、b各自的符号，再去根式化简．
【解析】由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，
∵a＜b，∴a＜0＜b，
所以原式＝|a|-ab=-a-ab，选D．
【小结】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是根据已知条件确定出a、b的符号，以确保二次根式的双重非负性．
变式10 与根式﹣x-1x的值相等的是（ ）
A．-x B．﹣x2-x C．--x D．-x
【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．
【解析】∵-1x有意义，∴x＜0，∴﹣x-1x＞0，∴﹣x-1x=-x•-x-x=-x，选D．
【小结】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x的取值范围，难度不大．
变式11 化简﹣a1a的结果是（ ）
A．a B．-a C．--a D．-a
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解析】∵1a≥0，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴﹣a1a=-a，选B．
【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，能够正确化简二次根式是解题的关键．
变式12 把代数式（a﹣1）11-a中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．-1-a B．a-1 C．1-a D．-a-1
【分析】根据二次根式的概念和性质化简即可．
【解析】（a﹣1）1(1-a)=-（1﹣a）11-a=-1-a．选A．
【小结】正确理解二次根式的性质与化简及概念是解决问题的关键．
必考点五 二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）
例题5 若1≤x≤4，则|1-x|-(x-4)2化简的结果为（ ）
A．2x﹣5 B．3 C．3﹣2x D．﹣3
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性化简即可求解．
【解析】∵1≤x≤4，
∴原式＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1﹣（4﹣x）＝x﹣1﹣4+x＝2x﹣5，选A．
【小结】本题主要考查绝对值及二次根式的非负性，根据绝对值及二次根式的非负性化简是解题的关键．
变式13 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简(a+1)2+(b-1)2-(a-b)2的结果是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置，确定出其取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质求出答案即可．
【解析】由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴(a+1)2+(b-1)2-(a-b)2＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣2，选A．
【小结】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，学会根据表示数的点在数轴上的位置判断含数式子的符号，掌握绝对值的化简及二次根式的性质是解决本题的关键．
变式14 若a、b、c为三角形的三条边，则(a+b-c)2+|b﹣a﹣c|＝（ ）
A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c） D．2a﹣2c
【分析】先利用二次根式的性质得到原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|，然后根据三角形三边的关系和绝对值的意义去绝对值后合并同类项．
【解析】∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|＝a+b﹣c+a+c﹣b＝2a．选B．
【小结】考查二次根式性质与化简：灵活应用二次根式性质进行化简．也考查了三角形三边之间的关系．
变式15 已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简a2+|a﹣c|+(b-c)2-|b|．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解析】由数轴可知：c＜a＜0＜b，∴a﹣c＞0，b﹣c＞0，
∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b＝﹣2c．
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
必考点六 最简二次根式的概念
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
例题6 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．8 B．2x2y C．ab2 D．3x2+y2
【分析】判断二次根式是否为最简二次根式需根据最简二次根式定义进行，或观察被开方数的每一个因数（或因式）指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【解析】A.8=22，可化简；B.2x2y=|x|2y，可化简；C.ab2=2ab2，可化简；
D.3x2+y2不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；选D．
【小结】本题主要考查了最简二次根式．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
变式16 在根式xy、12、ab2、x-y、x2y中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解析】根式xy、12、ab2、x-y、x2y中，最简二次根式有xy、ab2、x-y，共3个，选C．
【小结】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
变式17 若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为 2 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解析】若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
【小结】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
变式18 若2m+3和32m-n+1都是最简二次根式，则m+n＝ ﹣6 ．
【分析】根据最简二次根式定义，知m+3＝1，2m﹣n+1＝1，解方程组求得m和n的值，则m+n的值可得．
【解析】由题意可得：m+3=12m-n+1=1，解得：m=-2n=-4，∴m+n＝﹣6
【小结】考查最简二次根式的义、解二元一次方程组和简单整式加法运算，属于基础知识的考查.
必考点七 同类二次根式的概念
同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
例题7 下列二次根式：32，18，43，-125，0.48，其中不能与12合并的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先根据二次根式的性质化简各二次根式，找到不是同类二次根式即可得．
【解析】∵12=23，18=32，43=233，-125=-55，0.48=235，
∴不能与12合并的是18、-125这2个，选B．
【小结】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质和同类二次根式的概念．
变式19 若最简二次根式x+3与最简二次根式2x是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．
【解析】∵最简二次根式x+3与最简二次根式2x是同类二次根式，∴x+3＝2x，解得：x＝3，选D．
【小结】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出x+3＝2x是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
变式20 若最简二次根式3m+n，24m-2可以合并，则m﹣n的值为 ．
【分析】由题意可知，3m+n与24m-2同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解．
【解析】根据题意3m+n＝4m﹣2，即﹣m+n＝﹣2，所以m﹣n＝2．
【小结】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；同类二次根式可以合并．
变式21 若最简二次根式3x-102x+y-5和x-3y+11是同类二次根式．
（1）求x，y的值；（2）求x2+y2的值．
【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；
（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．
【解析】（1）根据题意知3x-10=22x+y-5=x-3y+11，解得：x=4y=3；
（2）当x＝4、y＝3时，x2+y2=42+32=25=5．
【小结】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
必考点八 二次根式的加减运算
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
例题8 计算：
（1）33-8+2-27 （2）7a7a-4a218a+7a2a
【分析】（1）根据二次根式的加减计算即可；
（2）根据二次根式的性质和加减计算解答即可．
【解析】（1）原式=33-22+2-33=-2，
（2）原式=7a7a-a2a+7a2a=7a7a+6a2a．
【小结】此题考查二次根式的加减，关键是根据二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
变式22 计算：
（1）212-613+348 （2）5x5+524x5-x20x
【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解析】（1）原式＝43-23+123＝143．
（2）原式=5x+5x-25x＝0
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
变式23 计算：
（1）23+312-48 （2）324x-（15x25-2x2）（x＞0）
【分析】（1）先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并即可；
（2）先将二次根式化简，再利用去括号法则去括号，再将被开方数相同的二次根式合并即可．
【解析】（1）原式＝23+63-43＝43；
（2）原式=32×2x-（15×x5-2x）＝3x-3x+2x＝2x．
【小结】本题主要考查二次根式的加减，解决此类问题的关键是要先将二次根式化简，此外还要注意，只有被开方数相同的二次根式才能合并，当被开方数不相同时是不能合并的．
变式24 计算
（1）27-45-20+75
（2）2a-3a2b+54a-2ba2b(a≥0，b＞0)
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案．
【解析】（1）原式＝33-35-25+53＝83-55；
（2）原式＝2a-3ab+10a-2ab＝12a-5ab．
【小结】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
必考点九 二次根式的乘除运算
掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
例题9 计算：313÷(25213)×(4125)．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解析】313÷(25213)×(4125)＝（1÷25×4）103÷73×75＝（1×52×4）103×37×75＝102．
【小结】本题主要考查了二次根式的乘法法则，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
变式25 计算：nmn3m3⋅(-1mn3m3)÷n2m3．
【分析】依据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【解析】nmn3m3⋅(-1mn3m3)÷n2m3
=nm×（-1m）÷1n3m3×n3m3×2m3n
=-nm22n33m3 =-nm2×|n|3m26mn ＝±n23m46mn．
【小结】本题主要考查了二次根式的乘除法法则，掌握二次根式的乘除法法则是解决问题的关键．
变式26 化简：2x3y2x3y3⋅(4x9xy)÷(4x2y3x2y)
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解析】原式=2x3y•2xy3y•4x•3xy÷（4x2yx3y）=82x33y2•y43x3y =22y3y3
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．
变式27 计算：2bab•（-32a3b）÷13ba（a＞0）
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解析】2bab•（-32a3b）÷13ba（a＞0）=-3b•a2b÷13ba＝﹣9a2ab=-9a2bab．
【小结】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
必考点十 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：
①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；
②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
例题10 （1）计算：3×12+6÷2-27；（2）化简：18x+2xx32+x÷x2．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解析】（1）原式=3×12+6÷2-33＝6+3-33＝6﹣23；
（2）原式＝32x+2x+x•2x＝32x+2x+2x＝52x．
【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
变式28 （1）计算：12×34+24÷6．（2）计算：(5+3)2-(5+2)(5-2)．
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】（1）原式=14×12×3+24÷6=32+2 =72；
（2）原式=5+215+3-(5-2)=8+215-3 =5+215．
【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
变式29 计算：（1）（23-1）2+（3+2）（3-2）；（2）48÷23-27×63+412．
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（2）先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解析】（1）原式＝12﹣43+1+3﹣4＝12﹣43；
（2）原式=1248÷3-1327×6+22＝2﹣32+22＝2-2．
【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
变式30 计算：（1）（3-2）（3+2）﹣（3-1）2+5； （2）（22x3-10x•15）÷6x3．
【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号，最后计算加减可得；
（2）先化简二次根式，再计算括号内二次根式的减法，最后将除法转化为乘法、约分即可得．
【解析】（1）原式＝（3﹣4）﹣（3﹣23+1）+5＝﹣1﹣3+23-1+5＝23；
（2）原式＝（236x-56x）÷6x3=-136x3•36x ＝﹣13．
【小结】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
必考点十一 二次根式的化简求值
例题11 若x，y是实数，且y=4x-1+1-4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，求出y的值，再把根式化成最简二次根式，合并后代入求出即可．
【解析】∵x，y是实数，且y=4x-1+1-4x+13，∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x=14，∴y=13，
∴（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）＝2xx+2xy-xx-5xy＝xx-3xy
=1414-314×13 =18-123．
【小结】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值的应用，解此题的关键是求出xy的值，题目比较好，难度适中．
变式31 已知x=15-3，y=15+3，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）yx+xy．
【分析】（1）先将x、y的值分母有理化，再计算出x+y、xy的值，继而代入x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy计算可得；
（2）将x+y、xy的值代入yx+xy=x2+y2xy=(x+y)2-2xyxy计算可得．
【解析】（1）∵x=15-3=5+32，y=15+3=5-32，∴x+y=5，xy=12，
则x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝5-32=72；
（2）yx+xy=x2+y2xy =(x+y)2-2xyxy =5-112 ＝8．
【小结】本题主要考查二次根式和分式的计算，解题的关键是掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算法则．
变式32 已知x=12(5+3)，x=12(5-3)，求x2﹣3xy+y2的值．
【分析】先由x、y的值计算出x﹣y、xy的值，再代入原式＝（x﹣y）2﹣xy计算可得．
【解析】∵x=12(5+3)，y=12(5-3)，
∴x﹣y=12(5+3)-12(5-3)=52+32-52+32=3，
xy=12(5+3)×12(5-3)=14×（5﹣3）=14×2=12，
则原式＝（x﹣y）2﹣xy＝（3）2-12＝3-12=52．
【小结】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与完全平方公式、平方差公式．
变式33 已知x=b2a+b-2a-b，y=b2a+b+2a-b，求x2﹣xy+y2的值．
【分析】根据分母有理化化简x与y，然后求出x+y与xy的表达式即可求出答案．
【解析】∵x=b2a+b-2a-b，y=b2a+b+2a-b，
∴x=2a+b+2a-b2，y=2a+b-2a-b2，
∴x+y=2a+b，xy=b2，
∴原式＝x2+2xy+y2﹣3xy＝（x+y）2﹣3xy＝2a+b-3b2＝2a-b2
【小结】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
必考点十二 分母有理化
二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的．
例题12 阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如53，23，23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：53=5×33×3=533
23=2×33×3=63
23+1=2×(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-12=3-1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简327
（2）化简25+3．
（3）化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12n+1+2n-1．
【分析】（1）分子分母分别乘3即可；
（2）分子分母分别乘5-3即可；
（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；
【解析】（1）327=3327×3=33
（2）化简25+3=2(5-3)(5+3)(5-3)=5-3
（3）化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12n+1+2n-1
=12（3-1+5-3+7-5+⋯+2n+1-2n-1）=12（2n+1-1）
【小结】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型．
变式34 阅读下面计算过程：
12+1=1×(2-1)(2+1)(2-1)=2-1；
13+2=1×(3-2)(3+2)(3-2)=3-2；
15+2=1×(5-2)(5+2)(5-2)=5-2．
求：（1）17+6的值．
（2）1n+1+n（n为正整数）的值．
（3）12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99的值．
【分析】（1）根据给定算式，在分式17+6的分母和分子上分别相乘（7-6），计算后即可得出结论；
（2）根据给定算式，在分式1n+1+n的分母和分子上分别相乘（n+1-n），计算后即可得出结论；
（3）根据（2）的结论即可得出12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99=（2-1）+（3-2）+（2-3）+…+（10-99），由此即可算出结论．
【解析】（1）17+6=1×(7-6)(7+6)(7-6)=7-6；
（2）1n+1+n=1×(n+1-n)(n+1+n)(n+1-n)=n+1-n；
（3）12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99=（2-1）+（3-2）+（2-3）+…+（10-99）＝10﹣1＝9．
【小结】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键．
变式35 观察下列格式，5-12-25-1，8-22-28-2，13-32-213-3，20-42-220-4⋯
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得n2+4-n2-2n2+4-n，然后分母有理化，求出结果即可．
【解析】（1）5-12-25-1=5-12-2(5+1)(5-1)(5+1)=5-12-5+12=-1，
8-22-28-2=8-22-8+22=-2，
13-32-213-3=13-32-13+32=-3，
20-42-220-4=20-42-20+42=-4，
（2）29-52-229-5=-5，
（3）n2+4-n2-2n2+4-n=n2+4-n2-n2+4+n2=-n．
【小结】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．
变式36 【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化
通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的
例如：化简13+2
【解析】13+2=1×(3-2)(3+2)(3-2)=3-2
材料二：化简a±2b的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn=b，那么a±2b=m2+n2±2mn=(m±n)2=m±n
例如：化简3±22
【解析】3±22=(2)2+12±22=(2±1)2=2±1
【理解应用】
（1）填空：化简5+35-3的结果等于 ；
（2）计算：
①7-210；
②12+1+13+2+12+3+⋯+12018+2017+12019+2018．
【分析】（1）根据分母有理化法则计算；
（2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简；
②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可．
【解析】（1）原式=(5+3)(5+3)(5+3)(5-3)=8+2152=4+15，
（2）①7-210=(5)2+(2)2-210=(5-2)2=5-2；
②原式=2-1+3-2+4-3+⋯+2019-2018=2019-1．
【小结】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题关键．
必考点十三 复合二次根式的化简
例题13 阅读理解题，下面我们观察：
（2-1）2＝（2）2﹣2×1×2+12＝2﹣22+1＝3﹣22．
反之3﹣22=2﹣22+1＝（2-1）2，所以3﹣22=（2-1）2，
所以3-22=2-1．
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解3+22；
（2）化简：4+23；
（3）化简：5-26．
【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可．
【解析】（1）3+22=12+22+(2)2=(1+2)2；
（2）4+23=(3+1)2=3+1；
（3）5-26=(3-2)2=3-2．
【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
变式37 观察下式：（2-1）2＝（2）2﹣2•2•1+12＝2﹣22+1＝3﹣22
反之，3﹣22=2﹣22+1＝（2-1）2
根据以上可求：3-22=2-22+1=(2-1)2=2-1
求：（1）5+26；（2）你会算4-12吗？
【分析】根据二次根式的性质以及完全平方公式即可求出答案．
【解析】（1）原式=2+26+3=(2+3)2=2+3．
（2）原式=3-23+1=(3-1)2=3-1
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
变式38 阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将a+2b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=b，则a+2b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得a+2b，化简：
例如：∵5+26=3+2+26=（3）2+（2）2+26=（3+2）2．∴5+26=(3+2)2=3+2．
请你仿照上例将下列各式化简：（1）4+23；（2）7-210．
【分析】（1）利用完全平方公式把4+23化为（1+3）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把7﹣210化为（5-2）2然后利用二次根式的性质化简即可．
【解析】（1）∵4+23=1+3+23=12+(3)2+23=（1+3）2，∴4+23=(1+3)2=1+3；
（2）7-210=(5)2+(2)2-2×5×2=(5-2)2=5-2．
【小结】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
变式39 先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如m+2n的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(a)2+(b)2=m，a×b=n，那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）
例如：化简7+43：
首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(4)2+(3)2=7，4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
问题：①填空：4+23= ，9+45= ；②化简：19-415（请写出计算过程）．
【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．
【解析】①4+23=(3)2+23+12=(3+1)2=3+1，
9+45=(5)2+45+22=(5+2)2=5+2，
②19-415=(15)2-415+22=(15-2)2=15-2．
【小结】本题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键．
必考点十四 含二次根式的数式规律题
例题14 观察下列各式：
1+112+122=1+11-12=112
1+122+132=1+12-13=116
1+132+142=1+13-14=1112
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）1+142+152= 1120
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1) ；
（3）利用上述规律计算：5049+164（仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解析】（1）1+142+152=1+14-15=1120；故答案为：1120；
（2）1+1n2+1(n+1)2=1+1n-1n+1=1+1n(n+1)；故答案为：1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；
（3）5049+164=1+172+182=1156．
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
变式40 观察下列各式：
1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，…
请利用你所发现的规律，
（1）计算
1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+192+1102
（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．
【分析】（1）根据所给等式可得规律，然后再计算即可；
（2）根据所给等式可得规律，然后再利用含n的式子表示即可．
【解析】（1）原式＝1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯⋯+1+19×10
＝1+1-12+1+12-13+1+13-14+⋯⋯+1+19-110＝9+1-110＝9910；
（2）第n个等式：1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)．
【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是认真观察等式，确定所给规律．
变式41 观察下列各式：①1+13=213，②2+14=314；③3+15=415，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式： ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： ；
（3）请证明（2）中的结论．
【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
【解析】（1）4+16=516；
（2）n+1n+2=（n+1）1n+2；
（3）n+1n+2=n2+2nn+2+1n+2 =n2+2n+1n+2 =(n+1)2n+2 ＝（n+1）1n+2．
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．
变式42 观察下列各式及其验算过程：
2+23=223，验证：2+23=2×3+23=233=223；
3+38=338，验证：3+38=3×8+38=338=338
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4+415的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【分析】（1）利用已知，观察2+23=223，3+38=338，可得4+415的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
【解析】（1）∵2+23=223，3+38=338，
∴4+415=4415=4215=81515，
验证：4+415=6415=81515，正确；
（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，
∴n+nn2-1=nnn2-1，验证：n+nn2-1=n3n2-1=nnn2-1；正确；
【小结】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．
二次根式章节巩固练习
1．下列式子是二次根式的是（ ）
A．-7 B．38 C．a D．x2+1
【分析】二次根式的被开方数是非负数，根指数是2，根据以上内容判断即可．
【解析】A、-7无意义，故本选项不符合题意；
B、38的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；
C、当a＜0时，根式无意义，故本选项不符合题意；
D、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
选D．
【小结】本题考查了二次根式的定义．一般形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，a表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式
B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式
C．同类二次根式一定都是最简二次根式
D．两个最简二次根式不一定是同类二次根式
【分析】根据同类二次根式的概念判断．
【解析】A、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、同类二次根式不一定都是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，故本选项符合题意；
选D．
【小结】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3．代数式x+4x-2中，x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣4 B．x＞2 C．x≥﹣4且x≠2 D．x＞﹣4且x≠2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+4≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．
【解析】由题意得：x+4≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣4且x≠2，选C．
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
4．下列各式中，互为有理化因式的是（ ）
A．a+b，a-b B．5-2，5-2 C．x-1，x-1 D．-a+b，a-b
【分析】利用有理化因式判断即可．
【解析】x-1与x-1互为有理化因式，选C．
【小结】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式定义是解本题的关键．
5．已知n是一个正整数，45n是整数，则n的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．15 D．45
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解析】由于45n＝32×5n，∴45n=35n，
由于45n是整数，∴n的最小值为5，选B．
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
6．实数a在数轴上的位置如图所示，则(a-3)2+(a-10)2化简后为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解析】由数轴上点的位置，得4＜a＜8．
(a-3)2+(a-10)2=a﹣3+10﹣a＝7，选A．
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质化简是解题关键．
7．若x+1x=7，则x+1x的值是（ ）
A．3 B．±3 C．5 D．±5
【分析】先（x+1x）2＝x+2+1x=7+2＝9，再开平方，可得结论．
【解析】∵x+1x=7，∴（x+1x）2＝x+2+1x=7+2＝9，
∵x+1x＞0，∴x+1x=3，选A．
【小结】本题考查了二次根式的化简求值，本题熟练掌握完全平方公式是关键，并注意二次根式的双重非负性．
8．我们把形如ax+b（a，b为有理数，x为最简二次根式）的数叫做x型无理数，如25+3是5型无理数，则(2+6)2是（ ）
A．2型无理数 B．3型无理数 C．6型无理数 D．12型无理数
【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式＝43+8，然后利用新定义对各选项进行判断．
【解析】(2+6)2=2+212+6＝43+8，所以(2+6)2是3型无理数．选B．
【小结】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
9．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（ ）
A．166cm2 B．40 cm2 C．86cm2 D．（26+4）cm2
【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，易得大正方形的面积，利用分割法求得余下部分的面积．
【解析】从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2两个小正方形，大正方形的边长是16+24=4+26，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+26）2﹣16﹣24＝16+166+24﹣16﹣24＝166（cm2）．选A．
【小结】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
10．如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|-k2-12k+36的结果是（ ）
A．3k﹣11 B．k+1 C．1 D．11﹣3k
【分析】由于三角形的三边长分别为1、k、4，根据三角形的三边关系，1+4＞k，即k＜5，4﹣1＜k，所以k＞3，根据k的取值范围，再对代数式进行化简．
【解析】∵三角形的三边长分别为1、k、4，∴1+4＞k4-1＜k，解得，3＜k＜5，所以，2k﹣5＞0，k﹣6＜0，
∴|2k﹣5|-k2-12k+36=2k﹣5-(k-6)2=2k﹣5﹣[﹣（k﹣6）]＝3k﹣11．选A．
【小结】化简a2，要根据二次根式的性质，先将a2化为|a|，然后根据a的符号，去绝对值符号进行化简．
11．在根式3，4x，35，0.25，20，最简二次根式的个数有 1 个．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解析】最简二次根式有3这1个，
【小结】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
12．如果最简二次根式3a-4与16-a可以合并，那么使5a-2x有意义的x的取值范围是 x≤252 ．
【分析】根据已知得出3a﹣4＝16﹣a，求出a的值再根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】∵最简二次根式3a-4与16-a可以合并，∴3a﹣4＝16﹣a，解得：a＝5，
∴5a-2x=25-2x，
要使25-2x有意义，必须25﹣2x≥0，解得：x≤252，
【小结】本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出方程和不等式是解此题的关键．
13．若式子(x-2)2=2﹣x成立，则x的取值范围为 x≤2 ．
【分析】根据二次根式的性质可得x﹣2≤0，再解即可．
【解析】由题意得：x﹣2≤0，解得：x≤2，
【小结】此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握a2=|a|．
14．若y=x2-4+4-x2+3，则yx＝ 9或19 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可求x＝±2，进一步求得y的值，再代值计算即可求解．
【解析】∵y=x2-4+4-x2+3，∴x＝±2，∴y＝3，
∴yx＝32＝9或yx＝3﹣2=19．
【小结】考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式有意义的条件求得x＝±2．
15．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则yx+xy= 52 ．
【分析】先化简yx+xy，再代入求值即可．
【解析】∵x+y＝﹣5，xy＝4，∴x＜0，y＜0，
yx+xy=-（xyx+xyy）=-xy(x+y)xy，
∵x+y＝﹣5，xy＝4，∴原式=-xy(x+y)xy=-4×(-5)4=52．
【小结】本题考查了二次根式的化简求值，化简二次根式是解题的关键．
16．若m满足等式m-2020+|2019﹣m|＝m，则m﹣20192的值为 2020 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得m≥2020，再利用绝对值的性质计算m-2020+|2019﹣m|＝m即可．
【解析】∵m﹣2020≥0，∴m≥2020，
∴m-2020+|2019﹣m|＝m，
m-2020+m﹣2019＝m，
m-2020=2019，
∴m﹣2020＝20192，
m﹣20192＝2020，
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式中的被开方数是非负数确定m的取值范围．
17．计算题：
（1）212÷1250×1234-352；
（2）先化简，再求值．（6xyx+3yxy3）﹣（4xxy+36xy），其中x=32，y＝27．
【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可；
（2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．
【解析】（1）原式＝2×2×1212÷50×34-352
＝2×3102-352
=352-352
＝0；
（2）原式＝6xyx+3yxy3-4xxy-36xy
＝6xy+3xy-4xyxy-6xy
＝（3-4xy）xy
=3y-4xyxy，
当x=32，y＝27时，原式=81-627812=2522．
【小结】本题主要考查了二次根式的化简计算，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
18．计算
（1）18-92-3+63+（3-2）0+(1-2)2；
（2）（23+6）（23-6）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算得出答案．
【解析】（1）原式=32-322-1-2+1+2-1=322-1；
（2）原式＝（23）2﹣（6）2＝6．
【小结】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19．已知x-3y+|x2-9|(x+3)2=0，求x+yx-y-x-yx+y的值；
【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出x，y的值，进而利用二次根式的性质化简得出答案．
【解析】∵x-3y+|x2-9|(x+3)2=0，∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，且x+3≠0，
解得：x＝3，y＝1，
故x+yx-y-x-yx+y=3+13-1-3-13+1=(3+1)22-(3-1)22 ＝2+3-（2-3）＝23．
【小结】此题主要考查了非负数的性质以及分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
20．已知a，b，c满足等式|a-7|+（c﹣42）2=b-5+5-b（1）求a，b，c的值．
（2）判断以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可得b的值，再根据绝对值和偶次方的非负性可得a和c的值．
（2）先计算两条较短边的长度之和大于第三边，则可判断a，b，c为边能构成三角形；再根据勾股定理逆定理可证明此三角形是直角三角形；然后根据直角三角形的面积计算公式求得面积即可．
【解析】（1）∵|a-7|+（c﹣42）2=b-5+5-b
∴b﹣5≥0，5﹣b≥0，∴b＝5
∴|a-7|+（c﹣42）2＝0
∴a-7=0，c﹣42=0
∴a=7，b＝5，c＝42．
（2）∵a=7，b＝5，c＝42．
∴a+b=7+5＞42．
∴以a，b，c为边能构成三角形；
∵a2+b2＝7+25＝32，c2=(42)2=32，
∴a2+b2＝c2
∴此三角形是直角三角形．
此三角形的面积为：12×7×5=572．
【小结】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性、三角形的三边关系和勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
21．阅读材料：把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn=y，则把x±2y变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得x±2y化简．
例如：化简3+22
解析：∵3+22=1+2+22=12+（2）2+2×1×2=（1+2）2
∴3+22=(1+2)2=1+2；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）5+26；
（2）7-43．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【解析】（1）∵5+26=3+2+26
＝（3）2+（2）2+2×3×2
＝（3+2）2，
∴5+26=(3+2)2=3+2；
（2）∵7﹣43=4+3﹣43=22+（3）2﹣2×2×3
＝（2-3）2，
∴7-43=(2-3)2=2-3．
【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
22．材料阅读：
在二次根式的运算中，经常会出现诸如12，23-2的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：12=2(2)2=22；23-2=2×(3+2)(3-2)×(3+2)=23+22(3)2-(2)2=23+223-2=23+22．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：2=21=(2)22=22；3-13=(3-1)×(3+1)3×(3+1)=(3)2-12(3)2+3=3-13+3=23+3．
根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）运用分母有理化，化简：15-2-55；
（2）运用分子有理化，比较7-6与6-5的大小，并说明理由；
（3）计算：11+2+12+3+13+4+14+5+⋯+199+100的值．
【分析】（1）先分母有理化，然后合并即可；
（2）先利用分母有理化比较它们的倒数的大小，从而得到它们的大小关系；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【解析】（1）原式=5+2(5-2)(5+2)-5×55×5=5+2-5 ＝2；
（2）7-6＜6-5．
理由如下：
∵17-6=7+6，16-5=6+5，
而7+6＞6+5，
∵17-6＞16-5，
∴7-6＜6-5；
（3）原式=2-1+3-2+4-3+⋯+100-99=100-1＝10﹣1＝9．
【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
必考点一 二次根式的概念
掌握二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
例题1 下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．-x-2 B．x C．a2+1 D．x2-2
【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式可得答案．
【解析】根据二次根式的定义可得a2+1中得被开方数无论x为何值都是非负数，选C．
【小结】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．
变式1 在式子x2（x＞0），2，y+1（y＝﹣2），-2x（x＞0），33，x2+1，x+y中，二次根式有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据二次根式的定义作答．
【解析】x2（x＞0），2，x2+1符合二次根式的定义．
y+1（y＝﹣2），-2x（x＞0）无意义，不是二次根式．
33属于三次根式．
x+y不是根式．选B．
【小结】本题考查了二次根式的定义．一般形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，a表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
变式2 在式子π-3.14，a2+b2，a+5，-3y2，m2+1，|ab|中，是二次根式的有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】根据二次根式的定义形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，对被开方数的符号进行判断即可得．
【解析】在所列式子中是二次根式的有π-3.14，a2+b2，m2+1，|ab|这4个，选B．
【小结】本题主要考查二次根式的定义，解题的关键是掌握形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．
变式3 下列各式中①38；②-(-b)；③a2；④1|x|+0.1；⑤x2+2x+1一定是二次根式的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式，据此逐一判断即可得．
【解析】在①38；②-(-b)；③a2；④1|x|+0.1；⑤x2+2x+1一定是二次根式的是③④⑤，选C．
【小结】本题考查了二次根式的定义．理解被开方数是非负数，给出一个式子能准确的判断其是否为二次根式，并能根据二次根式的定义确定被开方数中的字母取值范围．
必考点二 二次根式有意义的条件（求取值范围）
对于二次根式有意义的条件求取值范围类题型，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数以及分式分母不为零．
例题2 若式子m-1m-2在实数范围内有意义，则m的取值范围是（ ）
A．m≥1 B．m≤1且m≠2 C．m≥1且m≠2 D．m≠2
【分析】分别根据二次根式及分式有意义的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．
【解析】∵m-1m-2在实数范围内有意义，∴m-1≥0m-2≠0，解得m≥1且m≠2．选C．
【小结】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键．
变式4 要使2x-1+13-x有意义，则x的取值范围为（ ）
A．12≤x≤3 B．12＜x≤3 C．12≤x＜3 D．12＜x＜3
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解析】要使2x-1+13-x有意义，则2x﹣1≥0，3﹣x＞0，解得：12≤x＜3．选C．
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
变式5 若使式子2-x≥x-1成立，则x的取值范围是（ ）
A．1.5≤x≤2 B．x≤1.5 C．1≤x≤2 D．1≤x≤1.5
【分析】直接利用二次根式的性质进而计算得出答案．
【解析】由题意可得：2-x≥0x-1≥02-x≥x-1，解得：1≤x≤1.5．选D．
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．
变式6 等式a-3a-1=a-3a-1成立的条件是（ ）
A．a≠1 B．a≥3且a≠﹣1 C．a＞1 D．a≥3
【分析】观察等式右边，根据二次根式有意义和分式的分母不为0的条件列出不等式组，求出a的范围
【解析】∵等式a-3a-1=a-3a-1成立，∴a-3≥0a-1＞0，∴a≥3．选D．
【小结】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
必考点三 次根式有意义的条件（被开方数互为相反数）
对于解决此类型题目关键从被开方数中找出一对相反数，利用二次根式的被开方数是非负数进行求解即可.
例题3 已知，x、y是有理数，且y=x-2+2-x-4，则2x+3y的立方根为 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x＝2，进而可得y的值，然后计算出2x+3y的值，进而得立方根．
【解析】由题意得：x-2≥02-x≥0，解得：x＝2，则y＝﹣4，
2x+3y＝2×2+3×（﹣4）＝4﹣12＝﹣8．所以3-8=-2．
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
变式7 若a，b为实数，且b=a2-9+9-a2a+3+4，则a+b的值为（ ）
A．﹣1 B．1 C．1或7 D．7
【分析】先根据二次根式的基本性质：a有意义，则a≥0求出a的值，进一步求出b的值，从而求解．
【解析】∵b=a2-9+9-a2a+3+4，∴a2﹣9＝0且a+3≠0，解得a＝3，b＝0+4＝4，则a+b＝3+4＝7．选D．
【小结】考查了二次根式有意义的条件，解决此题的关键：掌握二次根式的基本性质：a有意义，则a≥0．
变式8 已知2x+y-3+x-2y-4=a+b-2020×2020-a-b，
（1）求a+b的值；
（2）求7x+y2020的值．
【分析】（1）根据二次根式有意义即可求出答案．
（2）根据二次根式有意义的条件列出方程组求出x与y的值即可求出答案．
【解析】（1）由题意可知：a+b-2020≥02020-a-b≥0，解得：a+b＝2020．
（2）由于a+b-2020×2020-a-b=0，∴2x+y-3=0x-2y-4=0，∴解得：x=2y=-1
∴7x+y2020＝14+1＝15．
【小结】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．
变式9 已知3x+y-z-8+x+y-z=x+y-2019+2019-x-y，求（z﹣y）2的值．
【分析】首先根据二次根式的被开方数是非负数推知：原题中方程右边为0．方程左边也为0，据此求得x、y、z的值；然后代入求值．
【解析】由题中方程等号右边知：x+y-2019有意义，则x+y﹣2019≥0，即x+y≥2019，2019-x-y有意义，则2019﹣x﹣y≥0，即x+y≤2019，即x+y≤2019x+y≤2019，∴x+y＝2019．
∴x+y-2019=0，2019-x-y=0．
∴原题中方程右边为0．
∴原题中方程左边也为0，即3x+y-z-8+x+y-z=0．
∵3x+y-z-8≥0，x+y-z≥0．∴3x+y﹣z﹣8＝0，x+y﹣z＝0．
又x+y＝2019，∴3x+y-z-8=0x+y-z=0x+y=2019，∴x=4y=2015z=2019．
∴（z﹣y）2＝（2019﹣2015）2＝42＝16．
【小结】考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．
必考点四 二次根式的性质与化简（根据被开方数为非负数）
对于解决此类型的题目关键根据被开方数为非负数确定相关字母的符号，利用二次根式的性质即可化简.
例题4 已知a≠0且a＜b，化简二次根式-a3b的正确结果是（ ）
A．aab B．﹣aab C．a-ab D．﹣a-ab
【分析】首先根据二次根式有意义的条件确定ab的符号，然后根据a＜b来确定a、b各自的符号，再去根式化简．
【解析】由题意：﹣a3b≥0，即ab≤0，
∵a＜b，∴a＜0＜b，
所以原式＝|a|-ab=-a-ab，选D．
【小结】本题主要考查了二次根式的化简，解决此题的关键是根据已知条件确定出a、b的符号，以确保二次根式的双重非负性．
变式10 与根式﹣x-1x的值相等的是（ ）
A．-x B．﹣x2-x C．--x D．-x
【分析】将原式进行化简后即可确定正确的选项．
【解析】∵-1x有意义，∴x＜0，∴﹣x-1x＞0，∴﹣x-1x=-x•-x-x=-x，选D．
【小结】考查了二次根式的性质与化简和二次根式有意义的条件，解题的关键是了解原式有意义是x的取值范围，难度不大．
变式11 化简﹣a1a的结果是（ ）
A．a B．-a C．--a D．-a
【分析】首先根据二次根式有意义的条件判断a的取值范围，再根据二次根式的性质进行化简即可．
【解析】∵1a≥0，∴a＞0，∴﹣a＜0，∴﹣a1a=-a，选B．
【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，能够正确化简二次根式是解题的关键．
变式12 把代数式（a﹣1）11-a中的a﹣1移到根号内，那么这个代数式等于（ ）
A．-1-a B．a-1 C．1-a D．-a-1
【分析】根据二次根式的概念和性质化简即可．
【解析】（a﹣1）1(1-a)=-（1﹣a）11-a=-1-a．选A．
【小结】正确理解二次根式的性质与化简及概念是解决问题的关键．
必考点五 二次根式的性质与化简（根据字母取值范围或数轴）
例题5 若1≤x≤4，则|1-x|-(x-4)2化简的结果为（ ）
A．2x﹣5 B．3 C．3﹣2x D．﹣3
【分析】根据绝对值及二次根式的非负性化简即可求解．
【解析】∵1≤x≤4，
∴原式＝|1﹣x|﹣|x﹣4|＝x﹣1﹣（4﹣x）＝x﹣1﹣4+x＝2x﹣5，选A．
【小结】本题主要考查绝对值及二次根式的非负性，根据绝对值及二次根式的非负性化简是解题的关键．
变式13 实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简(a+1)2+(b-1)2-(a-b)2的结果是（ ）
A．﹣2 B．0 C．﹣2a D．2b
【分析】根据实数a和b在数轴上的位置，确定出其取值范围，再利用二次根式和绝对值的性质求出答案即可．
【解析】由数轴可知﹣2＜a＜﹣1，1＜b＜2，
∴a+1＜0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，
∴(a+1)2+(b-1)2-(a-b)2＝|a+1|+|b﹣1|﹣|a﹣b|＝﹣（a+1）+（b﹣1）+（a﹣b）＝﹣2，选A．
【小结】本题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，以及二次根式的性质，学会根据表示数的点在数轴上的位置判断含数式子的符号，掌握绝对值的化简及二次根式的性质是解决本题的关键．
变式14 若a、b、c为三角形的三条边，则(a+b-c)2+|b﹣a﹣c|＝（ ）
A．2b﹣2c B．2a C．2（a+b﹣c） D．2a﹣2c
【分析】先利用二次根式的性质得到原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|，然后根据三角形三边的关系和绝对值的意义去绝对值后合并同类项．
【解析】∵a、b、c为三角形的三条边，∴a+b＞c，a+c＞b，
∴原式＝|a+b﹣c|+|a+c﹣b|＝a+b﹣c+a+c﹣b＝2a．选B．
【小结】考查二次根式性质与化简：灵活应用二次根式性质进行化简．也考查了三角形三边之间的关系．
变式15 已知实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，化简a2+|a﹣c|+(b-c)2-|b|．
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解析】由数轴可知：c＜a＜0＜b，∴a﹣c＞0，b﹣c＞0，
∴原式＝|a|+|a﹣c|+|b﹣c|﹣|b|＝﹣a+（a﹣c）+（b﹣c）﹣b＝﹣2c．
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
必考点六 最简二次根式的概念
最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
例题6 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
A．8 B．2x2y C．ab2 D．3x2+y2
【分析】判断二次根式是否为最简二次根式需根据最简二次根式定义进行，或观察被开方数的每一个因数（或因式）指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．
【解析】A.8=22，可化简；B.2x2y=|x|2y，可化简；C.ab2=2ab2，可化简；
D.3x2+y2不能化简，符合最简二次根式的条件，是最简二次根式；选D．
【小结】本题主要考查了最简二次根式．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．
变式16 在根式xy、12、ab2、x-y、x2y中，最简二次根式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
【解析】根式xy、12、ab2、x-y、x2y中，最简二次根式有xy、ab2、x-y，共3个，选C．
【小结】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．
变式17 若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为 2 ．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解析】若二次根式5a+3是最简二次根式，则最小的正整数a为2，
【小结】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
变式18 若2m+3和32m-n+1都是最简二次根式，则m+n＝ ﹣6 ．
【分析】根据最简二次根式定义，知m+3＝1，2m﹣n+1＝1，解方程组求得m和n的值，则m+n的值可得．
【解析】由题意可得：m+3=12m-n+1=1，解得：m=-2n=-4，∴m+n＝﹣6
【小结】考查最简二次根式的义、解二元一次方程组和简单整式加法运算，属于基础知识的考查.
必考点七 同类二次根式的概念
同类二次根式的概念：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，同类二次根式可以合并．
例题7 下列二次根式：32，18，43，-125，0.48，其中不能与12合并的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先根据二次根式的性质化简各二次根式，找到不是同类二次根式即可得．
【解析】∵12=23，18=32，43=233，-125=-55，0.48=235，
∴不能与12合并的是18、-125这2个，选B．
【小结】本题主要考查同类二次根式，解题的关键是掌握二次根式的性质和同类二次根式的概念．
变式19 若最简二次根式x+3与最简二次根式2x是同类二次根式，则x的值为（ ）
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝3
【分析】根据同类二次根式的定义得出方程，求出方程的解即可．
【解析】∵最简二次根式x+3与最简二次根式2x是同类二次根式，∴x+3＝2x，解得：x＝3，选D．
【小结】本题考查了同类二次根式和最简二次根式，能根据同类二次根式的定义得出x+3＝2x是解此题的关键，几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式．
变式20 若最简二次根式3m+n，24m-2可以合并，则m﹣n的值为 ．
【分析】由题意可知，3m+n与24m-2同类二次根式，即被开方数相同，由此可列方程求解．
【解析】根据题意3m+n＝4m﹣2，即﹣m+n＝﹣2，所以m﹣n＝2．
【小结】本题考查同类二次根式的概念：化为最简二次根式后，被开方数相同的根式称为同类二次根式；同类二次根式可以合并．
变式21 若最简二次根式3x-102x+y-5和x-3y+11是同类二次根式．
（1）求x，y的值；（2）求x2+y2的值．
【分析】（1）根据同类二次根式的定义：①被开方数相同；②均为二次根式；列方程解组求解；
（2）根据x，y的值和算术平方根的定义即可求解．
【解析】（1）根据题意知3x-10=22x+y-5=x-3y+11，解得：x=4y=3；
（2）当x＝4、y＝3时，x2+y2=42+32=25=5．
【小结】此题主要考查了同类二次根式和算术平方根的定义，属于基础题，解答本题的关键是掌握被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．
必考点八 二次根式的加减运算
二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
例题8 计算：
（1）33-8+2-27 （2）7a7a-4a218a+7a2a
【分析】（1）根据二次根式的加减计算即可；
（2）根据二次根式的性质和加减计算解答即可．
【解析】（1）原式=33-22+2-33=-2，
（2）原式=7a7a-a2a+7a2a=7a7a+6a2a．
【小结】此题考查二次根式的加减，关键是根据二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变解答．
变式22 计算：
（1）212-613+348 （2）5x5+524x5-x20x
【分析】（1）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
（2）根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解析】（1）原式＝43-23+123＝143．
（2）原式=5x+5x-25x＝0
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
变式23 计算：
（1）23+312-48 （2）324x-（15x25-2x2）（x＞0）
【分析】（1）先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并即可；
（2）先将二次根式化简，再利用去括号法则去括号，再将被开方数相同的二次根式合并即可．
【解析】（1）原式＝23+63-43＝43；
（2）原式=32×2x-（15×x5-2x）＝3x-3x+2x＝2x．
【小结】本题主要考查二次根式的加减，解决此类问题的关键是要先将二次根式化简，此外还要注意，只有被开方数相同的二次根式才能合并，当被开方数不相同时是不能合并的．
变式24 计算
（1）27-45-20+75
（2）2a-3a2b+54a-2ba2b(a≥0，b＞0)
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案；
（2）直接利用二次根式的性质分别化简计算得出答案．
【解析】（1）原式＝33-35-25+53＝83-55；
（2）原式＝2a-3ab+10a-2ab＝12a-5ab．
【小结】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键．
必考点九 二次根式的乘除运算
掌握二次根式的乘除法法则是解决此类题的关键，①两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变；②两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.
例题9 计算：313÷(25213)×(4125)．
【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可．
【解析】313÷(25213)×(4125)＝（1÷25×4）103÷73×75＝（1×52×4）103×37×75＝102．
【小结】本题主要考查了二次根式的乘法法则，掌握二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
变式25 计算：nmn3m3⋅(-1mn3m3)÷n2m3．
【分析】依据二次根式的乘除法法则进行计算即可．
【解析】nmn3m3⋅(-1mn3m3)÷n2m3
=nm×（-1m）÷1n3m3×n3m3×2m3n
=-nm22n33m3 =-nm2×|n|3m26mn ＝±n23m46mn．
【小结】本题主要考查了二次根式的乘除法法则，掌握二次根式的乘除法法则是解决问题的关键．
变式26 化简：2x3y2x3y3⋅(4x9xy)÷(4x2y3x2y)
【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．
【解析】原式=2x3y•2xy3y•4x•3xy÷（4x2yx3y）=82x33y2•y43x3y =22y3y3
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的运算，本题属于基础题型．
变式27 计算：2bab•（-32a3b）÷13ba（a＞0）
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解析】2bab•（-32a3b）÷13ba（a＞0）=-3b•a2b÷13ba＝﹣9a2ab=-9a2bab．
【小结】此题主要考查了二次根式的乘除运算，正确化简二次根式是解题关键．
必考点十 二次根式的混合运算
二次根式的混合运算可以说是二次根式乘、除法、加、减法的综合应用，在进行二次根式的混合运算时应注意以下几点：
①观察式子的结构，选择合理的运算顺序，二次根式的混合运算与实数运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号先算括号内的；
②在运算过程中，每个根式可以看作是一个“单项式”，多个不同类的二次根式的和可以看作是“多项式”；
例题10 （1）计算：3×12+6÷2-27；（2）化简：18x+2xx32+x÷x2．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法则运算；
（2）先进行二次根式的除法法则运算，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解析】（1）原式=3×12+6÷2-33＝6+3-33＝6﹣23；
（2）原式＝32x+2x+x•2x＝32x+2x+2x＝52x．
【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
变式28 （1）计算：12×34+24÷6．（2）计算：(5+3)2-(5+2)(5-2)．
【分析】（1）利用二次根式的乘除法则运算；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算．
【解答】（1）原式=14×12×3+24÷6=32+2 =72；
（2）原式=5+215+3-(5-2)=8+215-3 =5+215．
【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
变式29 计算：（1）（23-1）2+（3+2）（3-2）；（2）48÷23-27×63+412．
【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式计算；
（2）先利用二次根式的乘除法则运算，然后化简后合并即可．
【解析】（1）原式＝12﹣43+1+3﹣4＝12﹣43；
（2）原式=1248÷3-1327×6+22＝2﹣32+22＝2-2．
【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
变式30 计算：（1）（3-2）（3+2）﹣（3-1）2+5； （2）（22x3-10x•15）÷6x3．
【分析】（1）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再去括号，最后计算加减可得；
（2）先化简二次根式，再计算括号内二次根式的减法，最后将除法转化为乘法、约分即可得．
【解析】（1）原式＝（3﹣4）﹣（3﹣23+1）+5＝﹣1﹣3+23-1+5＝23；
（2）原式＝（236x-56x）÷6x3=-136x3•36x ＝﹣13．
【小结】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则．
必考点十一 二次根式的化简求值
例题11 若x，y是实数，且y=4x-1+1-4x+13，求（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）的值．
【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，求出y的值，再把根式化成最简二次根式，合并后代入求出即可．
【解析】∵x，y是实数，且y=4x-1+1-4x+13，∴4x﹣1≥0且1﹣4x≥0，解得：x=14，∴y=13，
∴（23x9x+4xy）﹣（x3+25xy）＝2xx+2xy-xx-5xy＝xx-3xy
=1414-314×13 =18-123．
【小结】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的化简求值的应用，解此题的关键是求出xy的值，题目比较好，难度适中．
变式31 已知x=15-3，y=15+3，求下列各式的值：
（1）x2﹣xy+y2；
（2）yx+xy．
【分析】（1）先将x、y的值分母有理化，再计算出x+y、xy的值，继而代入x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy计算可得；
（2）将x+y、xy的值代入yx+xy=x2+y2xy=(x+y)2-2xyxy计算可得．
【解析】（1）∵x=15-3=5+32，y=15+3=5-32，∴x+y=5，xy=12，
则x2﹣xy+y2＝（x+y）2﹣3xy＝5-32=72；
（2）yx+xy=x2+y2xy =(x+y)2-2xyxy =5-112 ＝8．
【小结】本题主要考查二次根式和分式的计算，解题的关键是掌握二次根式与分式的混合运算顺序和运算法则．
变式32 已知x=12(5+3)，x=12(5-3)，求x2﹣3xy+y2的值．
【分析】先由x、y的值计算出x﹣y、xy的值，再代入原式＝（x﹣y）2﹣xy计算可得．
【解析】∵x=12(5+3)，y=12(5-3)，
∴x﹣y=12(5+3)-12(5-3)=52+32-52+32=3，
xy=12(5+3)×12(5-3)=14×（5﹣3）=14×2=12，
则原式＝（x﹣y）2﹣xy＝（3）2-12＝3-12=52．
【小结】本题主要考查二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的运算法则与完全平方公式、平方差公式．
变式33 已知x=b2a+b-2a-b，y=b2a+b+2a-b，求x2﹣xy+y2的值．
【分析】根据分母有理化化简x与y，然后求出x+y与xy的表达式即可求出答案．
【解析】∵x=b2a+b-2a-b，y=b2a+b+2a-b，
∴x=2a+b+2a-b2，y=2a+b-2a-b2，
∴x+y=2a+b，xy=b2，
∴原式＝x2+2xy+y2﹣3xy＝（x+y）2﹣3xy＝2a+b-3b2＝2a-b2
【小结】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．
必考点十二 分母有理化
二次分母有理化就是通过分子和分母同时乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程，混合运算中进行二次根式的除法运算，一般都是通过分母有理化而进行的．
例题12 阅读下列材料，然后回答问题．
在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如53，23，23+1一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：53=5×33×3=533
23=2×33×3=63
23+1=2×(3-1)(3+1)(3-1)=2(3-1)(3)2-12=3-1
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
（1）化简327
（2）化简25+3．
（3）化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12n+1+2n-1．
【分析】（1）分子分母分别乘3即可；
（2）分子分母分别乘5-3即可；
（3）分母有理化后，合并同类二次根式即可；
【解析】（1）327=3327×3=33
（2）化简25+3=2(5-3)(5+3)(5-3)=5-3
（3）化简：13+1+15+3+17+5+⋯+12n+1+2n-1
=12（3-1+5-3+7-5+⋯+2n+1-2n-1）=12（2n+1-1）
【小结】本题考查二次根式的化简、分母有理化等知识，解题的关键是熟练掌握分母有理化的方法，属于中考常考题型．
变式34 阅读下面计算过程：
12+1=1×(2-1)(2+1)(2-1)=2-1；
13+2=1×(3-2)(3+2)(3-2)=3-2；
15+2=1×(5-2)(5+2)(5-2)=5-2．
求：（1）17+6的值．
（2）1n+1+n（n为正整数）的值．
（3）12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99的值．
【分析】（1）根据给定算式，在分式17+6的分母和分子上分别相乘（7-6），计算后即可得出结论；
（2）根据给定算式，在分式1n+1+n的分母和分子上分别相乘（n+1-n），计算后即可得出结论；
（3）根据（2）的结论即可得出12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99=（2-1）+（3-2）+（2-3）+…+（10-99），由此即可算出结论．
【解析】（1）17+6=1×(7-6)(7+6)(7-6)=7-6；
（2）1n+1+n=1×(n+1-n)(n+1+n)(n+1-n)=n+1-n；
（3）12+1+13+2+14+3+⋯+1100+99=（2-1）+（3-2）+（2-3）+…+（10-99）＝10﹣1＝9．
【小结】本题考查了分母有理化，根据给定算式找出利用平方差公式寻找有理化因式是解题的关键．
变式35 观察下列格式，5-12-25-1，8-22-28-2，13-32-213-3，20-42-220-4⋯
（1）化简以上各式，并计算出结果；
（2）以上格式的结果存在一定的规律，请按规律写出第5个式子及结果
（3）用含n（n≥1的整数）的式子写出第n个式子及结果，并给出证明的过程．
【分析】（1）分别把每个式子的第二项进行分母有理化，观察结果；
（2）根据（1）的结果写出第5个式子及结果；
（3）根据（1）的规律可得n2+4-n2-2n2+4-n，然后分母有理化，求出结果即可．
【解析】（1）5-12-25-1=5-12-2(5+1)(5-1)(5+1)=5-12-5+12=-1，
8-22-28-2=8-22-8+22=-2，
13-32-213-3=13-32-13+32=-3，
20-42-220-4=20-42-20+42=-4，
（2）29-52-229-5=-5，
（3）n2+4-n2-2n2+4-n=n2+4-n2-n2+4+n2=-n．
【小结】本题主要考查分母有理化的知识点，解答本题的关键是找出上述各式的变化规律，此题难度一般．
变式36 【阅读材料】
材料一：把分母中的根号化去，使分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化
通常把分子、分母乘以同一个不等于0的式子，以达到化去分母中根号的目的
例如：化简13+2
【解析】13+2=1×(3-2)(3+2)(3-2)=3-2
材料二：化简a±2b的方法：如果能找到两个实数m，n，使m2+n2＝a，并且mn=b，那么a±2b=m2+n2±2mn=(m±n)2=m±n
例如：化简3±22
【解析】3±22=(2)2+12±22=(2±1)2=2±1
【理解应用】
（1）填空：化简5+35-3的结果等于 ；
（2）计算：
①7-210；
②12+1+13+2+12+3+⋯+12018+2017+12019+2018．
【分析】（1）根据分母有理化法则计算；
（2）①根据完全平方公式、二次根式的性质化简；
②先把原式分母有理化，再合并同类二次根式即可．
【解析】（1）原式=(5+3)(5+3)(5+3)(5-3)=8+2152=4+15，
（2）①7-210=(5)2+(2)2-210=(5-2)2=5-2；
②原式=2-1+3-2+4-3+⋯+2019-2018=2019-1．
【小结】本题考查的是分母有理化、二次根式的化简，掌握分母有理化法则、二次根式的性质是解题关键．
必考点十三 复合二次根式的化简
例题13 阅读理解题，下面我们观察：
（2-1）2＝（2）2﹣2×1×2+12＝2﹣22+1＝3﹣22．
反之3﹣22=2﹣22+1＝（2-1）2，所以3﹣22=（2-1）2，
所以3-22=2-1．
完成下列各题：
（1）在实数范围内因式分解3+22；
（2）化简：4+23；
（3）化简：5-26．
【分析】（1）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（2）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可；
（3）利用二次根式的性质结合完全平方公示直接化简得出即可．
【解析】（1）3+22=12+22+(2)2=(1+2)2；
（2）4+23=(3+1)2=3+1；
（3）5-26=(3-2)2=3-2．
【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确理解二次根式化简的意义是解题关键．
变式37 观察下式：（2-1）2＝（2）2﹣2•2•1+12＝2﹣22+1＝3﹣22
反之，3﹣22=2﹣22+1＝（2-1）2
根据以上可求：3-22=2-22+1=(2-1)2=2-1
求：（1）5+26；（2）你会算4-12吗？
【分析】根据二次根式的性质以及完全平方公式即可求出答案．
【解析】（1）原式=2+26+3=(2+3)2=2+3．
（2）原式=3-23+1=(3-1)2=3-1
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
变式38 阅读下面的解答过程，然后作答：
有这样一类题目：将a+2b化简，若你能找到两个数m和n，使m2+n2＝a且mn=b，则a+2b可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得a+2b，化简：
例如：∵5+26=3+2+26=（3）2+（2）2+26=（3+2）2．∴5+26=(3+2)2=3+2．
请你仿照上例将下列各式化简：（1）4+23；（2）7-210．
【分析】（1）利用完全平方公式把4+23化为（1+3）2，然后利用二次根式的性质化简即可．
（2）利用完全平方公式把7﹣210化为（5-2）2然后利用二次根式的性质化简即可．
【解析】（1）∵4+23=1+3+23=12+(3)2+23=（1+3）2，∴4+23=(1+3)2=1+3；
（2）7-210=(5)2+(2)2-2×5×2=(5-2)2=5-2．
【小结】本题主要考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟记掌握完全平方公式．
变式39 先阅读下列解答过程，然后再解答：
形如m+2n的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得(a)2+(b)2=m，a×b=n，那么便有：m±2n=(a±b)2=a±b（a＞b）
例如：化简7+43：
首先把7+43化为7+212，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：(4)2+(3)2=7，4×3=12，
所以7+43=7+212=(4+3)2=2+3．
问题：①填空：4+23= ，9+45= ；②化简：19-415（请写出计算过程）．
【分析】①②仿照例题、根据完全平方公式、二次根式的性质解答即可．
【解析】①4+23=(3)2+23+12=(3+1)2=3+1，
9+45=(5)2+45+22=(5+2)2=5+2，
②19-415=(15)2-415+22=(15-2)2=15-2．
【小结】本题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式、二次根式的性质是解题的关键．
必考点十四 含二次根式的数式规律题
例题14 观察下列各式：
1+112+122=1+11-12=112
1+122+132=1+12-13=116
1+132+142=1+13-14=1112
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想：
（1）1+142+152= 1120
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式： 1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1) ；
（3）利用上述规律计算：5049+164（仿照上式写出过程）
【分析】（1）根据提供的信息，即可解答；
（2）根据规律，写出等式；
（3）根据（2）的规律，即可解答．
【解析】（1）1+142+152=1+14-15=1120；故答案为：1120；
（2）1+1n2+1(n+1)2=1+1n-1n+1=1+1n(n+1)；故答案为：1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)；
（3）5049+164=1+172+182=1156．
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本题的关键是关键信息，找到规律．
变式40 观察下列各式：
1+112+122=1+11×2，1+122+132=1+12×3，1+132+142=1+13×4，…
请利用你所发现的规律，
（1）计算
1+112+122+1+122+132+1+132+142+⋯+1+192+1102
（2）根据规律，请写出第n个等式（n≥1，且n为正整数）．
【分析】（1）根据所给等式可得规律，然后再计算即可；
（2）根据所给等式可得规律，然后再利用含n的式子表示即可．
【解析】（1）原式＝1+11×2+1+12×3+1+13×4+⋯⋯+1+19×10
＝1+1-12+1+12-13+1+13-14+⋯⋯+1+19-110＝9+1-110＝9910；
（2）第n个等式：1+1n2+1(n+1)2=1+1n(n+1)．
【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，关键是认真观察等式，确定所给规律．
变式41 观察下列各式：①1+13=213，②2+14=314；③3+15=415，…
（1）请观察规律，并写出第④个等式： ；
（2）请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律： ；
（3）请证明（2）中的结论．
【分析】（1）认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第④个等式；
（2）根据规律写出含n的式子即可；
（3）结合二次根式的性质进行化简求解验证即可．
【解析】（1）4+16=516；
（2）n+1n+2=（n+1）1n+2；
（3）n+1n+2=n2+2nn+2+1n+2 =n2+2n+1n+2 =(n+1)2n+2 ＝（n+1）1n+2．
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律进行求解即可．
变式42 观察下列各式及其验算过程：
2+23=223，验证：2+23=2×3+23=233=223；
3+38=338，验证：3+38=3×8+38=338=338
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想4+415的变形结果并进行验证．
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证．
【分析】（1）利用已知，观察2+23=223，3+38=338，可得4+415的值；
（2）由（1）根据二次根式的性质可以总结出一般规律；
【解析】（1）∵2+23=223，3+38=338，
∴4+415=4415=4215=81515，
验证：4+415=6415=81515，正确；
（2）由（1）中的规律可知3＝22﹣1，8＝32﹣1，15＝42﹣1，
∴n+nn2-1=nnn2-1，验证：n+nn2-1=n3n2-1=nnn2-1；正确；
【小结】此题主要考查二次根式的性质与化简，善于发现题目数字之间的规律，是解题的关键．
二次根式章节巩固练习
1．下列式子是二次根式的是（ ）
A．-7 B．38 C．a D．x2+1
【分析】二次根式的被开方数是非负数，根指数是2，根据以上内容判断即可．
【解析】A、-7无意义，故本选项不符合题意；
B、38的根指数是3，不是2，故本选项不符合题意；
C、当a＜0时，根式无意义，故本选项不符合题意；
D、该式子符合二次根式的定义，故本选项符合题意；
选D．
【小结】本题考查了二次根式的定义．一般形如a（a≥0）的代数式叫做二次根式．当a≥0时，a表示a的算术平方根；当a小于0时，非二次根式（在一元二次方程中，若根号下为负数，则无实数根）．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．被开方数不同的二次根式一定不是同类二次根式
B．只有被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式
C．同类二次根式一定都是最简二次根式
D．两个最简二次根式不一定是同类二次根式
【分析】根据同类二次根式的概念判断．
【解析】A、被开方数不同的二次根式可以是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B、化简后被开方数完全相同的二次根式才是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C、同类二次根式不一定都是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、两个最简二次根式不一定是同类二次根式，故本选项符合题意；
选D．
【小结】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
3．代数式x+4x-2中，x的取值范围是（ ）
A．x≥﹣4 B．x＞2 C．x≥﹣4且x≠2 D．x＞﹣4且x≠2
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x+4≥0，根据分式有意义的条件可得x﹣2≠0，再解即可．
【解析】由题意得：x+4≥0，且x﹣2≠0，
解得：x≥﹣4且x≠2，选C．
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．
4．下列各式中，互为有理化因式的是（ ）
A．a+b，a-b B．5-2，5-2 C．x-1，x-1 D．-a+b，a-b
【分析】利用有理化因式判断即可．
【解析】x-1与x-1互为有理化因式，选C．
【小结】此题考查了分母有理化，熟练掌握有理化因式定义是解本题的关键．
5．已知n是一个正整数，45n是整数，则n的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．15 D．45
【分析】根据二次根式的性质即可求出答案．
【解析】由于45n＝32×5n，∴45n=35n，
由于45n是整数，∴n的最小值为5，选B．
【小结】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型．
6．实数a在数轴上的位置如图所示，则(a-3)2+(a-10)2化简后为（ ）
A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定
【分析】根据二次根式的性质，可得答案．
【解析】由数轴上点的位置，得4＜a＜8．
(a-3)2+(a-10)2=a﹣3+10﹣a＝7，选A．
【小结】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质化简是解题关键．
7．若x+1x=7，则x+1x的值是（ ）
A．3 B．±3 C．5 D．±5
【分析】先（x+1x）2＝x+2+1x=7+2＝9，再开平方，可得结论．
【解析】∵x+1x=7，∴（x+1x）2＝x+2+1x=7+2＝9，
∵x+1x＞0，∴x+1x=3，选A．
【小结】本题考查了二次根式的化简求值，本题熟练掌握完全平方公式是关键，并注意二次根式的双重非负性．
8．我们把形如ax+b（a，b为有理数，x为最简二次根式）的数叫做x型无理数，如25+3是5型无理数，则(2+6)2是（ ）
A．2型无理数 B．3型无理数 C．6型无理数 D．12型无理数
【分析】先利用完全平方公式计算，再化简得到原式＝43+8，然后利用新定义对各选项进行判断．
【解析】(2+6)2=2+212+6＝43+8，所以(2+6)2是3型无理数．选B．
【小结】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
9．如图，从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2的两个小正方形，则余下的面积为（ ）
A．166cm2 B．40 cm2 C．86cm2 D．（26+4）cm2
【分析】根据已知部分面积求得相应正方形的边长，从而得到大正方形的边长，易得大正方形的面积，利用分割法求得余下部分的面积．
【解析】从一个大正方形中裁去面积为16cm2和24cm2两个小正方形，大正方形的边长是16+24=4+26，留下部分（即阴影部分）的面积是（4+26）2﹣16﹣24＝16+166+24﹣16﹣24＝166（cm2）．选A．
【小结】此题主要考查了二次根式的应用，正确求出阴影部分面积是解题关键．
10．如果一个三角形的三边长分别为1、k、4．则化简|2k﹣5|-k2-12k+36的结果是（ ）
A．3k﹣11 B．k+1 C．1 D．11﹣3k
【分析】由于三角形的三边长分别为1、k、4，根据三角形的三边关系，1+4＞k，即k＜5，4﹣1＜k，所以k＞3，根据k的取值范围，再对代数式进行化简．
【解析】∵三角形的三边长分别为1、k、4，∴1+4＞k4-1＜k，解得，3＜k＜5，所以，2k﹣5＞0，k﹣6＜0，
∴|2k﹣5|-k2-12k+36=2k﹣5-(k-6)2=2k﹣5﹣[﹣（k﹣6）]＝3k﹣11．选A．
【小结】化简a2，要根据二次根式的性质，先将a2化为|a|，然后根据a的符号，去绝对值符号进行化简．
11．在根式3，4x，35，0.25，20，最简二次根式的个数有 1 个．
【分析】利用最简二次根式定义判断即可．
【解析】最简二次根式有3这1个，
【小结】此题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键．
12．如果最简二次根式3a-4与16-a可以合并，那么使5a-2x有意义的x的取值范围是 x≤252 ．
【分析】根据已知得出3a﹣4＝16﹣a，求出a的值再根据二次根式有意义的条件得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解析】∵最简二次根式3a-4与16-a可以合并，∴3a﹣4＝16﹣a，解得：a＝5，
∴5a-2x=25-2x，
要使25-2x有意义，必须25﹣2x≥0，解得：x≤252，
【小结】本题考查了同类二次根式，二次根式有意义的条件和解一元一次不等式等知识点，能根据题意得出方程和不等式是解此题的关键．
13．若式子(x-2)2=2﹣x成立，则x的取值范围为 x≤2 ．
【分析】根据二次根式的性质可得x﹣2≤0，再解即可．
【解析】由题意得：x﹣2≤0，解得：x≤2，
【小结】此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握a2=|a|．
14．若y=x2-4+4-x2+3，则yx＝ 9或19 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可求x＝±2，进一步求得y的值，再代值计算即可求解．
【解析】∵y=x2-4+4-x2+3，∴x＝±2，∴y＝3，
∴yx＝32＝9或yx＝3﹣2=19．
【小结】考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式有意义的条件求得x＝±2．
15．已知x+y＝﹣5，xy＝4，则yx+xy= 52 ．
【分析】先化简yx+xy，再代入求值即可．
【解析】∵x+y＝﹣5，xy＝4，∴x＜0，y＜0，
yx+xy=-（xyx+xyy）=-xy(x+y)xy，
∵x+y＝﹣5，xy＝4，∴原式=-xy(x+y)xy=-4×(-5)4=52．
【小结】本题考查了二次根式的化简求值，化简二次根式是解题的关键．
16．若m满足等式m-2020+|2019﹣m|＝m，则m﹣20192的值为 2020 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得m≥2020，再利用绝对值的性质计算m-2020+|2019﹣m|＝m即可．
【解析】∵m﹣2020≥0，∴m≥2020，
∴m-2020+|2019﹣m|＝m，
m-2020+m﹣2019＝m，
m-2020=2019，
∴m﹣2020＝20192，
m﹣20192＝2020，
【小结】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是根据二次根式中的被开方数是非负数确定m的取值范围．
17．计算题：
（1）212÷1250×1234-352；
（2）先化简，再求值．（6xyx+3yxy3）﹣（4xxy+36xy），其中x=32，y＝27．
【分析】（1）先进行二次根式的乘除运算，再进行二次根式的加减运算即可；
（2）先化简每个二次根式，再合并同类二次根式，最后代入计算即可．
【解析】（1）原式＝2×2×1212÷50×34-352
＝2×3102-352
=352-352
＝0；
（2）原式＝6xyx+3yxy3-4xxy-36xy
＝6xy+3xy-4xyxy-6xy
＝（3-4xy）xy
=3y-4xyxy，
当x=32，y＝27时，原式=81-627812=2522．
【小结】本题主要考查了二次根式的化简计算，二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与加减运算区分，避免互相干扰．
18．计算
（1）18-92-3+63+（3-2）0+(1-2)2；
（2）（23+6）（23-6）．
【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；
（2）直接利用乘法公式计算得出答案．
【解析】（1）原式=32-322-1-2+1+2-1=322-1；
（2）原式＝（23）2﹣（6）2＝6．
【小结】此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．
19．已知x-3y+|x2-9|(x+3)2=0，求x+yx-y-x-yx+y的值；
【分析】直接利用绝对值以及偶次方的性质得出x，y的值，进而利用二次根式的性质化简得出答案．
【解析】∵x-3y+|x2-9|(x+3)2=0，∴x﹣3y＝0，x2﹣9＝0，且x+3≠0，
解得：x＝3，y＝1，
故x+yx-y-x-yx+y=3+13-1-3-13+1=(3+1)22-(3-1)22 ＝2+3-（2-3）＝23．
【小结】此题主要考查了非负数的性质以及分母有理化，正确化简二次根式是解题关键．
20．已知a，b，c满足等式|a-7|+（c﹣42）2=b-5+5-b（1）求a，b，c的值．
（2）判断以a，b，c为边能否构成三角形？若能构成三角形，此三角形是什么形状的三角形？并求出此三角形的面积；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据二次根式的被开方数的非负性可得b的值，再根据绝对值和偶次方的非负性可得a和c的值．
（2）先计算两条较短边的长度之和大于第三边，则可判断a，b，c为边能构成三角形；再根据勾股定理逆定理可证明此三角形是直角三角形；然后根据直角三角形的面积计算公式求得面积即可．
【解析】（1）∵|a-7|+（c﹣42）2=b-5+5-b
∴b﹣5≥0，5﹣b≥0，∴b＝5
∴|a-7|+（c﹣42）2＝0
∴a-7=0，c﹣42=0
∴a=7，b＝5，c＝42．
（2）∵a=7，b＝5，c＝42．
∴a+b=7+5＞42．
∴以a，b，c为边能构成三角形；
∵a2+b2＝7+25＝32，c2=(42)2=32，
∴a2+b2＝c2
∴此三角形是直角三角形．
此三角形的面积为：12×7×5=572．
【小结】本题考查了二次根式有意义的条件、绝对值和偶次方的非负性、三角形的三边关系和勾股定理逆定理等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
21．阅读材料：把根式x±2y进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn=y，则把x±2y变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得x±2y化简．
例如：化简3+22
解析：∵3+22=1+2+22=12+（2）2+2×1×2=（1+2）2
∴3+22=(1+2)2=1+2；
请你仿照上面的方法，化简下列各式：
（1）5+26；
（2）7-43．
【分析】（1）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案；
（2）直接利用完全平方公式将原式变形进而得出答案．
【解析】（1）∵5+26=3+2+26
＝（3）2+（2）2+2×3×2
＝（3+2）2，
∴5+26=(3+2)2=3+2；
（2）∵7﹣43=4+3﹣43=22+（3）2﹣2×2×3
＝（2-3）2，
∴7-43=(2-3)2=2-3．
【小结】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式是解题关键．
22．材料阅读：
在二次根式的运算中，经常会出现诸如12，23-2的计算，需要运用分式的基本性质，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”，例如：12=2(2)2=22；23-2=2×(3+2)(3-2)×(3+2)=23+22(3)2-(2)2=23+223-2=23+22．
类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”，例如：2=21=(2)22=22；3-13=(3-1)×(3+1)3×(3+1)=(3)2-12(3)2+3=3-13+3=23+3．
根据上述知识，请你完成下列问题：
（1）运用分母有理化，化简：15-2-55；
（2）运用分子有理化，比较7-6与6-5的大小，并说明理由；
（3）计算：11+2+12+3+13+4+14+5+⋯+199+100的值．
【分析】（1）先分母有理化，然后合并即可；
（2）先利用分母有理化比较它们的倒数的大小，从而得到它们的大小关系；
（3）先分母有理化，然后合并即可．
【解析】（1）原式=5+2(5-2)(5+2)-5×55×5=5+2-5 ＝2；
（2）7-6＜6-5．
理由如下：
∵17-6=7+6，16-5=6+5，
而7+6＞6+5，
∵17-6＞16-5，
∴7-6＜6-5；
（3）原式=2-1+3-2+4-3+⋯+100-99=100-1＝10﹣1＝9．
【小结】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍.
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