中考数学 专项训 练考点07 半角模型在三角形中应用(能力)

专题07 半角模型在三角形中应用1、已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的长；（2）将△COD绕点O旋转一定的角度到图2所示位置时，线段OH与AD有怎样的数量和位置关系，并证明你的结论．（1）证明：如图1中，∵△AOB和△COD均为等腰直角三角形，AB＝8，CD＝2，∴OA＝AB＝4，OD＝CD＝，∴AD＝＝＝， [来源:学科网]∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OC＝OD，OA＝OB，∵在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴BC＝AD＝，∵点H为线段BC的中点，∴OH＝BC＝； （2）解：结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，∵点H是BC中点，∴BH＝CH，∴△BEH≌△CHO（SAS），∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，∵OB＝OA，OC＝OD，∴△BEO≌△ODA（SAS），∴OE＝AD，∴OH＝OE＝AD由△BEO≌△ODA，知∠EOB＝∠DAO∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，∴OH⊥AD．   2、（1）问题发现如图1，在△OAB中，OA＝OB，∠AOB＝50°，D是OB上一点，将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，则AC与BD的数量关系是　   　．（2）类比探究如图2，将∠COD绕点O在平面内旋转，（1）中的结论是否成立，并就图2的情形说明理由．（3）拓展延伸∠COD绕点O在平面内旋转，当旋转到OD∥AB时，请直接写出∠BOD度数．解：问题发现（1）∵将点D绕点O顺时针旋转50°得到点C，∴OC＝OD，且OA＝OB，∴AC＝BD，故答案为：AC＝BD；（2）结论仍然成立，理由如下：∵将∠COD绕点O在平面内旋转，∴∠COD＝∠AOB，∴∠BOD＝∠AOC，且AO＝BO，CO＝DO，∴△AOC≌△BOD（SAS）∴AC＝BD；（3）∵OA＝OB，∠AOB＝50°，∴∠OAB＝∠OBA＝65°，当点D在点O左侧，∵OD∥AB，∴∠BOD+∠OBA＝180°，∴∠BOD＝115°，当点D在点O右侧，∵OD∥AB，∴∠BOD＝∠OBA＝65°．  3、如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC边的中点．将△ABC绕点A顺时针旋转a角（0°＜a＜180°），得到△AB′C′（如图2），连接DB'，EC'．（1）探究DB'与EC'的数量关系，并结合图2给予证明；（2）填空：①当旋转角α的度数为　   　时，则DB'∥AE；②在旋转过程中，当点B'，D，E在一条直线上，且AD＝时，此时EC′的长为　   　．解：（1）DB'＝EC'，理由如下：∵AB＝AC，D、E分别是AB、AC边的中点，∴AD＝AE，由旋转可得，∠DAE＝∠B'AC'＝90°，AB'＝AC'，∴∠DAB'＝∠EAC'，且AB'＝AC'，AD＝AE∴△ADB'≌△AEC'（SAS），∴DB′＝EC′，（2）①当DB′∥AE时，∠B'DA＝∠DAE＝90°，又∵AD＝AB'，∴∠AB'D＝30°，∴∠DAB'＝60°，∴旋转角α＝60°，故答案为60°，②如图3，当点B'，D，E在一条直线上，∵AD＝，∴AB'＝2，∵△ADE，△AB'C'是等腰直角三角形，∴B'C'＝AB'＝4，DE＝AD＝2，由（1）可知：△ADB'≌△AEC'，∴∠ADB'＝∠AEC'，B'D＝C'E，∵∠ADB'＝∠DAE+∠AED，∠AEC'＝∠AED+∠DEC'，∴∠DEC'＝∠DAE＝90°，∴B'C'2＝B'E2+C'E2，∴16＝（2+EC'）2+C'E2，∴CE＝﹣1，故答案为：﹣1．   4、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D为AC延长线上一点，连接DB，将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，连接AE．（1）如图①，当CD＝AC时，线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式是AB+AE＝　   　AD．（2）如图②，当CD≠AC时，（1）中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．（3）当点D在射线CA上时，其他条件不变，（1）中结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出线段AB、AE、AD三者之间的数量关系式．解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，∴CA＝BC，AC⊥BC，∠BAC＝45°∵AC＝CD，BC⊥AC，∴AB＝BD，∴∠BAC＝∠BDC＝45°，∴∠ABD＝90°，∵将DB绕点D逆时针旋转90°，得到线段DE，∴BD＝DE，∠BDE＝90°，∴DE＝AB＝BD，AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，且∠ABD＝90°，∴四边形ABDE是矩形，且AB＝BD，∴四边形ABDE是正方形，∴AB＝AE，AD＝AB，∴AB+AE＝AD，故答案为：；（2）结论仍然成立；如图②过点D作DF∥BC交AB的延长线于点F，∵BC∥DF，∴∠ADF＝∠ACB＝90°，∠F＝∠ABC＝45°，∴∠F＝∠DAF＝45°，∴AD＝DF，∴AF＝AD，∵∠ADF＝∠EDB＝90°，∴∠ADE＝∠BDF，且DE＝DB，AD＝DF，∴△ADE≌△FDB（SAS），∴AE＝BF，∴AB+AE＝AB+BF＝AF＝AD；（3）不成立，当点D在线段AC上时，如图③，过点D作DF∥BC，∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝AD，∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠ADE＝∠BDF，且AD＝DF，DE＝BD∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，∵AB﹣BF＝AF，∴AB﹣AE＝AD；当点D在CA的延长线上时，如图④，过点D作DF∥BC，交BA延长线于点F，∴∠AFD＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ADF＝90°，∴∠DAF＝∠AFD＝45°，∴AD＝DF，AF＝AD，∵∠EDB＝90°＝∠ADF，∴∠FDB＝∠EDA，且AD＝DF，DE＝BD∴△ADE≌△FDB（SAS）∴AE＝BF，∵AB+AF＝BF，∴AB+AD＝AE． 5、如图（1），将正方形ABCD与正方形GECF的顶点C重合，当正方形GECF的顶点G在正方形ABCD的对角线AC上时，的值为　   　．如图（2），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（0°＜a＜45°），猜测AG与BE之间的数量关系，并说明理由．如图（3），将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转a角（45°＜a＜90°）使得B、E、G三点在一条直线上，此时tan∠GAC＝，AG＝6，求△BCE的面积． 解：（1）如图①中，∵AC＝BC，CG＝EC，∴AG＝AC﹣CG＝BC﹣EC＝BE，∴＝，故答案为：． （2）结论：＝．如图②中，所示，连接CG．∵∠ACG＝∠BCE，＝＝，∴△ACG∽△BEC，∴＝， （3）如图③中，连接CG，、∵△ACG∽△BEC，∴∠GAC＝∠EBC∠AGC＝∠BEC＝90°，∵AG＝6，∴BE＝，∵tan∠EBC＝tan∠GAC＝，∴∠EBC＝30°，在Rt△BEC中，tan∠EBC＝∴EC＝，∴，   6、已知，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB上一点（不与点A．B重合），连接CD，将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，连接BE．（1）如图1，求证：∠EBD＝90°（2）如图2，连接DE与BC相交于点F，G在AC上，连接DG．若AG：CG＝7：5．BD＝2AD，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有正切值为的角．（1）证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵将CD绕点C逆时针旋转90°得到CE，∴∠DCE＝90°，CD＝CE，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABC+∠CBE＝90°，∴∠EBD＝90°；（2）解：由（1）得：△ACD≌△BCE，∠EBD＝90°，∴AD＝BE，∵BD＝2AD，∴BD＝2BE，∴tan∠BDE＝＝；作DM⊥AC于M，如图2所示：则DM∥BC，△ADM是等腰直角三角形，∴＝＝2，AM＝DM，∴CM＝2AM＝2DM，∴tan∠BCE＝tan∠ACD＝＝；[来源:学科网]∵AG：CG＝7：5，[来源:学科网]∴设AG＝7x，则CG＝5x，AC＝12x，DM＝AM＝AC＝4x，∴MG＝AG﹣AM＝3x，∴DG＝＝＝5x，∴DG＝CG，∴∠GDC＝∠ACD，∴tan∠GDC＝tan∠ACD＝；综上所述，图2中所有正切值为的角为∠BDE、∠ACD、∠BCE、∠GDC．   7、已知：在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD⊥BC，点D为BC的中点．（1）如图1，求∠B的度数；（2）如图2，点E为AC上一点，连接DE并延长至点F，连接CF，过点C作CH⊥DF，垂足为点H，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明；（3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接BP，使得∠BPD＝∠F，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当BP：PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的长．（1）∵AD⊥BC，D为BC中点，∴AB＝AC，∴∠C＝∠B，∵∠BAC＝2∠B，∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠B+2∠B+∠B＝180°，∴∠B＝45°；（2）∠F＝2∠FDC，理由如下：在DH上取一点N使HN＝HF，∵CH⊥DF，HN＝HF，∴CN＝CF，∴∠F＝∠CNF，∵DH＝CF+HF，DH＝DN+HN，∴CF＝DN，∵CN＝CF，CF＝DN，∴CN＝DN，∴∠FDC＝∠NCD，∵∠CNF＝∠FDC+∠NCD，∴∠F＝2∠FDC；（3）连接PC交DF于K，过点C作CM⊥EG于M，由（2）知∠F＝2∠FDC，设∠FDC＝α，则∠F＝2α，∵∠BPD＝∠F，∴∠BPD＝2α，∵AD⊥BC，D为BC中点，∴BP＝CP，∠PCD＝∠PBD，∵∠BPD＝2α，∴∠PCD＝∠PBD＝90°﹣2α，∴∠PKD＝∠PCD+∠FDC＝90°﹣α，∵AD⊥BC，∴∠ADF＝90°﹣∠FDC＝90°﹣α，∴∠PKD＝∠ADF，∴PK＝PD，由EF沿着EC折叠可知∠FEC＝∠GEC，∴CM＝CH，由（1）知∠ABC＝45°，AD⊥BC，∴∠BAD＝45°，∵∠BAC＝2∠ABC，[来源:Z*xx*k.Com]∴∠DAC＝45°，∴∠AED＝45°+α，∴∠FEC＝∠CEG＝∠AED＝45°+α，∴∠HEG＝90°+2α，∵∠DEG＝90°﹣2α，∴∠EGC＝90°﹣α，[来源:学科网]∵∠EKC＝∠PKD＝90°﹣α，∴∠EGC＝∠EKC，又∵∠GMC＝∠KHC＝90°，∴△GMC≌△KHC（AAS），∴GC＝CK，由BP：PD＝12：5，设BP＝12x，PD＝5x∴GC＝CK＝CP﹣PK＝BP﹣PK＝12x﹣5x＝7x∵GC﹣PD＝3∵7x﹣5x＝3∴x＝1.5∴GC＝7x＝10.5