专题04 导数-2020年高考数学（理）二轮专项复习

专题04 导数
导数的概念是微积分的核心概念之一，它有极其丰富的实际背景和广泛的应用．在本专题中，我们将复习导数的概念及其运算，体会导数的思想及其内涵；应用导数探索函数的单调性、极值等性质，感受导数在解决数学问题和实际问题中的作用．导数的相关问题主要围绕以下三个方面：导数的概念与运算，导数的应用，定积分与微积分基本定理．
§4－1 导数概念与导数的运算
【知识要点】
1．导数概念：
(1)平均变化率：对于函数y＝f(x)，定义为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率．换言之，如果自变量x在x0处有增量x，那么函数f(x)相应地有增量f(x0＋x)－f(x0)，则比值就叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋x之间的平均变化率．
(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)，即.
(3)函数y＝f(x)的导函数(导数)：当x变化时，f′(x)是x的一个函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，即.
2．导数的几何意义：
函数y＝f(x)在点x0处的导数(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝(x0)．
3．导数的运算：
(1)几种常见函数的导数：
①(C)′＝0(C为常数)；
②(xn)′＝nxn－1(x＞0，n∈Q*)；
③(sinx)′＝cosx；
④(cosx)′＝－sinx；
⑤(ex)′＝ex；
⑥(ax)′＝axlna(a＞0，且a≠1)；
⑦；
⑧(a＞0，且a≠1)．
(2)导数的运算法则：
①[u(x)±v(x)]′＝u′(x)±v′(x)；
②[u(x)v(x)]′＝u′(x)v(x)＋u(x)v′(x)；
③.
(3)简单的复合函数(仅限于形如f(ax＋b))的导数：
设函数y＝f(u)，u＝g(x)，则函数y＝f(u)＝f[g(x)]称为复合函数．其求导步骤是：＝·，其中表示f对u求导，表示g对x求导．f对u求导后应把u换成g(x)．
【复习要求】
1．了解导数概念的实际背景；
2．理解导数的几何意义；
3．能根据导数定义求函数y＝C，y＝x，y＝x2，y＝x3，的导数；
4．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数；
5．理解简单复合函数(仅限于形如f(ax＋b))导数的求法．
【例题分析】
例1 求下列函数的导数：
(1)y＝(x＋1)(x2－1)； (2)；
(3)y＝sin2x； (4)y＝ex·lnx．
解：(1)方法一：y′＝(x＋1)′(x2－1)＋(x＋1)(x2－1)′＝x2－1＋(x＋1)·2x＝3x2＋2x－1．
方法二：∵y＝(x＋1)(x2－1)＝x3＋x2－x－1，∴y′＝(x3＋x2－x－1)′＝3x2＋2x－1．
(2)方法一：
方法二：∵，∴.
(3)方法一：
y'＝(sin2x)'＝(2sinx· cosx)'＝2[(sinx)'·cosx＋sinx·(cosx)']＝2(cos2x－sin2x)＝2cos2x．
方法二：y'＝(sin2x)'·(2x)'＝cos2x·2＝2cos2x．
(4)＝．
【评析】理解和掌握求导法则和式子的结构特点是求导运算的前提条件．运用公式和求导法则求导数的基本步骤为：
①分析函数y＝f(x)的结构特征；
②选择恰当的求导法则和导数公式求导数；
③化简整理结果．
应注意：在可能的情况下，求导时应尽量减少使用乘法的求导法则，可在求导前利用代数、三角恒等变形等方法对函数式进行化简，然后再求导，这样可减少运算量．(如(1)(2)题的方法二较方法一简捷)．
对于(3)，方法一是使用积的导数运算公式求解，即使用三角公式将sin2x表示为sinx和cosx的乘积形式，然后求导数；方法二是从复合函数导数的角度求解．方法二较方法一简捷．
对利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数要熟练、准确．
例2 (1)求曲线y＝x2在点(1，1)处的切线方程；
(2)过点(1，－3)作曲线y＝x2的切线，求切线的方程．
【分析】对于(1)，根据导数的几何意义：函数y＝f(x)在点x0处的导数f '(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，可求出切线的斜率，进而由直线方程的点斜式求得切线方程．
对于(2)，注意到点(1，－3)不在曲线y＝x2上，所以可设出切点，并通过导数的几何意义确定切点的坐标，进而求出切线方程．
解：(1)曲线y＝x2在点(1，1)处的切线斜率为y′＝2x｜x＝1＝2，
从而切线的方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0．
(2)设切点的坐标为．
根据导数的几何意义知，切线的斜率为y'＝2x|＝2x0，从而切线的方程为
因为这条切线过点(1，－3)，所以有，
整理得，解得x0＝－1，或x0＝3．
从而切线的方程为y－1＝－2(x＋1)，或y－9＝6(x－3)，
即切线的方程为2x＋y＋1＝0，或6x－y－9＝0．
【评析】用导数求曲线的切线方程，常依据的条件是：
①函数y＝f(x)在点x0处的导数f '(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，
即k＝f '(x0)；
②切点既在切线上又在曲线上，即切点的坐标同时满足切线与曲线的方程．
例3设函数f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f '(x)的最小值为－12．求a，b，c的值．
【分析】本题考查函数的奇偶性、二次函数的最值、导数的几何意义等基础知识，以及推理能力和运算能力．题目涉及到三个未知数，而题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a、b、c的值．
解：∵f(x)为奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c， ∴c＝0．
∵f '(x)＝3ax2＋b的最小值为－12， ∴b＝－12．
又直线x－6y－7＝0的斜率为，因此，f '(1)＝3a＋b＝－6， ∴a＝2．
综上,a＝2，b＝－12，c＝0．
例4 已知a＞0，函数，x∈(0，＋∞)．设，记曲线y＝f(x)在点M(x1，f(x1))处的切线为l．
(1)求l的方程；
(2)设l与x轴的交点是(x2，0)，证明：.
【分析】对于(1)，根据导数的几何意义，不难求出l的方程；对于(2)，涉及到不等式的证明，依题意求出用x1表示的x2后，将x2视为x1的函数，即x2＝g(x1)，结合要证明的结论进行推理．
解：(1)对f(x)求导数，得，由此得切线l的方程为：
．
(2)依题意，切线方程中令y＝0，得．
由，及，有x2＞0；
另一方面，，
从而有，当且仅当时，.
【评析】本题考查的重点是导数的概念和计算、导数的几何意义及不等式的证明．涉及的基础知识都比较基本，题目难度也不大，但把导数的相关知识与不等式等内容有机整合，具有一定新意，体现了导数作为工具分析和解决一些函数性质问题的方法．
本题中的(2)在证明时，还可用如下方法：
①作法，
②利用平均值不等式，．
例5 设函数，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝3．
(1)求f'(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；
(3)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝1和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．
解：(1)，
于是解得或因为a，b∈Z，所以
(2)证明：已知函数y1＝x，都是奇函数，
所以函数也是奇函数，其图象是以原点为中心的中心对称图形．
而，
可知，函数g(x)的图象按向量a＝(1，1)平移，即得到函数f(x)的图象，故函数f(x)的图象是以点(1，1)为中心的中心对称图形．
(3)证明：在曲线上任取一点．
由知，过此点的切线方程为．
令x＝1得，切线与直线x＝1交点为；
令y＝x得y＝2x0－1，切线与直线y＝x交点为(2x0－1，2x0－1)．
直线x＝1与直线y＝x的交点为(1，1)；
从而所围三角形的面积为．
所以，所围三角形的面积为定值2．
练习4－1
一、选择题：
1．(tanx)′等于( )
(A) (B) (C) (D)
2．设f(x)＝xlnx，若f '(x0)＝2，则x0等于( )
(A)e2 (B)e (C) (D)ln2
3．函数y＝ax2＋1的图象与直线y＝x相切，则a等于( )
(A) (B) (C) (D)1
4．曲线在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )
(A) (B)4e2 (C)2e2 (D)e2
二、填空题：
5．f '(x)是的导函数，则f '(－1)＝______．
6．若函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝x＋2，则f(1)＋f '(1)＝______．
7．过原点作曲线y＝ex的切线，则切点的坐标为______；切线的斜率为______．
8．设函数f(x)＝xekx(k≠0)，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是______．
三、解答题：
9．求下列函数的导数：
(1)y＝x－ex； (2)y＝x3＋cosx；
(3)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (4)



10．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，1)，B(2，－1)，且该曲线在点B处的切线方程为y＝x－3，求a、b、c的值．



11．求曲线在交点处的两条切线的夹角的大小．



§4－2 导数的应用
【知识要点】
1．利用导数判断函数的单调性：
(1)函数的单调性与其导函数的正负有如下关系：设函数f(x)在区间(a，b)内可导，
①如果恒有f '(x)＞0，那么函数f(x)在区间(a，b)内单调递增；
②如果恒有f '(x)＜0，那么函数f(x)在区间(a，b)内单调递减．
值得注意的是，若函数f(x)在区间(a，b)内有f '(x)≥0(或f '(x)≤0)，但其中只有有限个点使得f '(x)＝0，则函数f(x)在区间(a，b)内仍是增函数(或减函数)．
(2)一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值越大，说明这个函数在这个范围内变化得快．这时函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下)；反之，函数的图象就比较“平缓”．
2．利用导数研究函数的极值：
(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，x0是极大值点；如果对x0附近所有的点，都有f(x)＞f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，x0是极小值点．
(2)需要注意，可导函数的极值点必是导数为零的点，但导数为零的点不一定是极值点．如y＝x3在x＝0处的导数值为零，但x＝0不是函数y＝x3的极值点．也就是说可导函数f(x)在x0处的导数f '(x0)＝0是该函数在x0处取得极值的必要但不充分条件．
(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最值：f(x)在区间[a，b]上的最大值(或最小值)是f(x)在区间(a，b)内的极大值(或极小值)及f(a)、f(b)中的最大者(或最小者)．
(4)应注意，极值只是相对一点附近的局部性质，而最值是相对整个定义域内的整体性质．
【复习要求】
1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(对多项式函数一般不超过三次)；
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(对多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(对多项式函数一般不超过三次)；
3．会利用导数解决某些实际问题．
【例题分析】
例1 求下列函数的单调区间：
(1)f(x)＝x3－3x； (2)f(x)＝3x2－2lnx；
(3)．
解：(1)f(x)的定义域是R，且f '(x)＝3x2－3，
令f '(x)＝0，得x1＝－1，x2＝1．列表分析如下：
x
(－∞，－1)
－1
(－1，1)
1
(1，＋∞)
(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗

↘

↗
所以函数f(x)的减区间是(－1，1)，增区间是(－∞，－1)和(1，＋∞)．
(2)f(x)的定义域是(0，＋∞)，且，
令f′(x)＝0，得．列表分析如下：
x



(x)
－
0
＋
f(x)
↘

↗
所以函数f(x)的减区间是，增区间是．
(3)f(x)的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，求导数得
．
令f′(x)＝0，得x＝b－1．
①当b－1＜1，即b＜2时，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，b－1)
b－1
(b－1，1)
(1，＋∞)
(x)
－
0
＋
－
所以，当b＜2时，函数f(x)在(－∞，b－1)上单调递减，在(b－1，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．
②当b－1＞1，即b＞2时，f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，1)
(1，b－1)
b－1
(b－1，＋∞)
(x)
－
＋
0
－
所以，当b＞2时，f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，b－1)上单调递增，在(b－1，＋∞)上单调递减．
③当b－1＝1，即b＝2时，，所以f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递减．
【评析】求函数f(x)的单调区间的步骤是：
①确定f(x)的定义域(这一步必不可少，单调区间是定义域的子集)；
②计算导数f′(x)；
③求出方程f′(x)＝0的根；
④列表考察f′(x)的符号，进而确定f(x)的单调区间(必要时要进行分类讨论)．
例2求函数的极值．
解：y′＝x2－4＝(x＋2)(x－2)，令y′＝0，解得x1＝－2，x2＝2．
列表分析如下：
x
(－∞，－2)
－2
(－2，2)
2
(2，＋∞)
y'
＋
0
－
0
＋
y
↗
极大值
↘
极小值
↗
所以当x＝－2时，y有极大值；当x＝2时，y有极小值．
【评析】求函数f(x)的极值的步骤是：
①计算导数f′(x)；
②求出方程f′(x)＝0的根；
③列表考察f′(x)＝0的根左右值的符号：如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值．
例3 已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a．
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9．
令f′(x)＜0，解得x＜－1或x＞3．
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)因为f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，所以f(2)＞f(－2)．
因为在(－1，3)上f′(x)＞0，所以f(x)在[－1，2]上单调递增，又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，因此f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2，2]上的最大值和最小值．
于是有22＋a＝20，解得a＝－2．
故f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，因此f(－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f(x)在区间[－2，2]上的最小值为－7．
【评析】求函数f(x)在闭区间[a，b]上最值的方法：
①计算导数f′(x)；
②求出方程f′(x)＝0的根x1，x2，…；
③比较函数值f(x1)，f(x2)，…及f(a)、f(b)的大小，其中的最大(小)者就是f(x)在闭区间[a，b]上最大(小)值．
例4 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0，且g(－3)＝0，则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )
A．(－3，0)∪(3，＋∞) B．(－3，0)∪(0，3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0，3)
【分析】本题给出的信息量较大，并且还都是抽象符号函数．解答时，首先要标出重要的已知条件，从这些条件入手，不断深入研究．由f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)＞0你能产生什么联想?它和积的导数公式很类似，整理可得[f(x)g(x)]′＞0．令h(x)＝f(x)g(x)，则当x＜0时，h(x)是增函数．再考虑奇偶性，函数h(x)是奇函数．还有一个已知条件g(－3)＝0，进而可得h(－3)＝f(－3)g(－3)＝0，这样我们就可以画出函数h(x)的示意图，借助直观求解．
答案：D.
例5 求证：当x＞0时，1＋x＜ex．
分析：不等式两边都是关于x的函数，且函数类型不同，故可考虑构造函数f(x)＝1＋x－ex，通过研究函数f(x)的单调性来辅助证明不等式．
证明：构造函数f(x)＝1＋x－ex，则f′(x)＝1－ex．
当x＞0时，有ex＞1，从而f′(x)＝1－ex＜0，
所以函数f(x)＝1＋x－ex在(0，＋∞)上单调递减，
从而当x＞0时，f(x)＜f(0)＝0，
即当x＞0时，1＋x＜ex．
【评析】通过构造函数，利用函数的单调性证明不等式是常用方法之一，而借助导数研究函数单调性辅助证明不等式突出了导数的工具性作用．
例6用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果容器底面的长比宽多0.5 m，那么长和宽分别为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积．
解：设容器底面长方形宽为x m，则长为(x＋0.5)m，
依题意，容器的高为．
显然0＜x＜1.6，即x的取值范围是(0，1.6)．
记容器的容积为y m3，
则y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x x∈(0，1.6)．
对此函数求导得，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6．
令y′＞0，解得0＜x＜1；令y′＜0，解得1＜x＜1.6．
所以，当x＝1时，y取得最大值1.8，这时容器的长为1＋0.5＝1.5．
答：容器底面的长为1.5m、宽为1m时，容器的容积最大，最大容积为1.8m3．
【评析】解决实际优化问题的关键在于建立数学模型(目标函数)，通过把题目中的主要关系(等量和不等量关系)形式化，把实际问题抽象成数学问题，再选择适当的方法求解．
例7 已知f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，当x＝1时，f(x)取得极值－2．
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明对任意x1、x2∈(－1，1)，不等式｜f(x1)－f(x2)｜＜4恒成立．
【分析】对于(1)题目涉及到三个未知数，而题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a、c、d的值；对于(2)可通过研究函数f(x)的最值加以解决．
解：(1)由f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函数，知f(0)＝0，解得d＝0，
所以f(x)＝ax3＋cx(a≠0)，f′(x)＝3ax2＋c(a≠0)．
由当x＝1时，f(x)取得极值－2，得f(1)＝a＋c＝－2，且f′(1)＝3a＋c＝0，解得
a＝1，c＝－3，
所以f(x)＝x3－3x．
(2)令f′(x)＞0，解得x＜－1，或x＞1；令f′(x)＜0，解得－1＜x＜1，
从而函数f(x)在区间(－∞，－1)内为增函数，(－1，1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．
故当x∈[－1，1]时，f(x)的最大值是f(－1)＝2，最小值是f(1)＝－2，
所以，对任意x1、x2∈(－1，1)，|f(x1)－f(x2)|＜2－(－2)＝4．
【评析】使用导数判断函数的单调性，进而解决极值(最值)问题是常用方法，较为简便．
例8 已知函数f(x)＝xlnx．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若对所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)的导数f′(x)＝1＋lnx．
令f′(x)＞0，解得； 令f′(x)＜0，解得．
从而f(x)在单调递减，在单调递增．
所以，当时，f(x)取得最小值．
(2)解法一：令g(x)＝f(x)－(ax－1)，则g′(x)＝f′(x)－a＝1－a＋lnx，
①若a≤1，当x＞1时，g′(x)＝1－a＋lnx＞1－a≥0，
故g(x)在(1，＋∞)上为增函数，
所以，x≥1时，g(x)≥g(1)＝1－a≥0，即f(x)≥ax－1．
②若a＞1，方程g′(x)＝0的根为x0＝ea－1，
此时，若x∈(1，x0)，则g′(x)＜0，故g(x)在该区间为减函数．
所以，x∈(1，x0)时，g(x)＜g(1)＝1－a＜0，
即f(x)＜ax－1，与题设f(x)≥ax－1相矛盾．
综上，满足条件的a的取值范围是(－∞，1]．
解法二：依题意，得f(x)≥ax－1在[1，＋∞)上恒成立，
即不等式对于x∈[1，＋∞)恒成立．
令，则．
当x＞1时，因为，
故g(x)是(1，＋∞)上的增函数，所以g(x)的最小值是g(1)＝1，
从而a的取值范围是(－∞，1]．
例9 已知函数，其中n∈N*，a为常数．
(1)当n＝2时，求函数f(x)的极值；
(2)当a＝1时，证明：对任意的正整数n，当x≥2时，有f(x)≤x－1．
解：(1)由已知得函数f(x)的定义域为{x｜x＞1}，
当n＝2时，，所以．
①当a＞0时，由f(x)＝0得，
此时．
当x∈(1，x1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；
当x∈(x1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
②当a≤0，f′(x)＜0恒成立，所以f(x)无极值．
综上所述，n＝2时，
当a＞0时，f(x)在处取得极小值，极小值为．
当a≤0时，f(x)无极值．
(2)证法一：因为a＝1，所以．
当n为偶数时，令，
则．
所以当x≥2时，g(x)单调递增，又g(2)＝0，
因此恒成立，
所以f(x)≤x－1成立．
当n为奇数时，要证f(x)≤x－1，由于，所以只需证ln(x－1)≤x－1，
令h(x)＝x－1－ln(x－1)，
则．
所以，当x≥2时，h(x)＝x－1－ln(x－1)单调递增，又h(2)＝1＞0，
所以，当x≥2时，恒有h(x)＞0，即ln(x－1)＜x－1成立．
综上所述，结论成立．
证法二：当a＝1时，.
当x≥2时，对任意的正整数n，恒有，
故只需证明1＋ln(x－1)≤x－1．
令h(x)＝x－1－[1＋ln(x－1)]＝x－2－ln(x－1)，x∈[2，＋∞)，
则，
当x≥2时，h′(x)≥0，故h(x)在[2，＋∞)上单调递增，
因此当x≥2时，h(x)≥h(2)＝0，即1＋ln(x－1)≤x－1成立．
故当x≥2时，有，
即f(x)≤x－1．
练习4－2
一、选择题：
1．函数y＝1＋3x－x3有( )
(A)极小值－2，极大值2 (B)极小值－2，极大值3
(C)极小值－1，极大值1 (D)极小值－1，极大值3
2．f '(x)是函数y＝f(x)的导函数，y＝f '(x)图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是( )


3．函数f(x)＝ax3－x在R上为减函数，则a的取值范围是( )
(A)a＜0 (B)a≤0 (C) (D)
4．设a∈R，若函数f(x)＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则a的取值范围是( )
(A)a＜－1 (B)a＞－1 (C) (D)
二、填空题：
5．函数f(x)＝x3－3ax2＋2bx在x＝1处取得极小值－1，则a＋b＝______．
6．函数y＝x(1－x2)在[0，1]上的最大值为______．
7．已知函数f(x)＝2x3－6x2＋a在[－2，2]上的最小值为－37，则实数a＝______．
8．有一块边长为6m的正方形铁板，现从铁板的四个角各截去一个相同的小正方形，做成一个长方体形的无盖容器，为使其容积最大，截下的小正方形边长为______m．
三、解答题：
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象过点P(1，2)，且在点P处的切线斜率为8．
(1)求a，b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间；
(3)求函数f(x)在区间[－1，1]上的最大值与最小值．






10．当时，证明：tanx＞x．





11．已知函数f(x)＝ex－e－x．
(1)证明：f(x)的导数f '(x)≥2；
(2)若对所有x≥0都有f(x)≥ax，求a的取值范围．







专题04 导数参考答案
练习4－1
一、选择题：
1．C 2．B 3．B 4．D
二、填空题：
5．3 6．4 7．(1，e)；e 8．y＝x
三、解答题：
9．(1)y'＝1－ex；(2)y'＝3x2－sinx；(3)y'＝3x2＋12x＋11；(4)
10．略解：因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(1，1)，B(2，－1)两点，所以
a＋b＋c＝1．①
4a＋2b＋c＝－1．②
因为y'＝2ax＋b，所以y'｜x＝2＝4a＋b．故4a＋b＝1．③
联立①、②、③，解得a＝3，b＝－11，c＝9．
11．解：由，
所以(x－2)(x2＋4x＋8)＝0，故x＝2，所以两条曲线只有一个交点(2，0)．
对函数求导数，得y′＝－x，
从而曲线在点(2，0)处切线的斜率是－2．
对函数求导数，得，
从而曲线在点(2，0)处切线的斜率是3．
设两条切线的夹角为a ，则，
所以两条切线的夹角的大小是45°．
练习4－2
一、选择题：
1．D 2．C 3．B 4．A
二、填空题：
5． 6． 7．3 8．1
三、解答题：
9．解：(1)a＝4，b＝－3．
(2)函数f(x)的单调增区间为(－∞，－3)，；减区间为．
(3)函数f(x)在[－1，1]上的最小值为，最大值为6．
10．证明：设f(x)＝tanx－x，．
则，
所以函数f(x)＝tanx－x在区间内单调递增．
又f(0)＝0，从而当时，f(x)＞f(0)恒成立，
即当时，tanx＞x．
11．解：(1)f(x)的导数f '(x)＝ex＋e－x．
由于，故f '(x）≥2，当且仅当x＝0时，等号成立．
(2)令g(x)＝f(x)－ax，则
g'(x)＝f'(x)－a＝ex＋e－x－a，
①若a≤2，当x＞0时，g'(x)＝ex＋e－x－a＞2－a≥0，
故g(x)在(0，＋∞)上为增函数，
所以，x≥0时，g(x)≥g(0)，即f(x)≥ax．
②若a＞2，方程g'(x)＝0的正根为，
此时，若x∈(0，x1)，则g′(x)＜0，故g(x)在该区间为减函数．
所以，x∈(0，x1)时，g(x)＜g(0)＝0，即f(x)＜ax，与题设f(x)≥ax相矛盾．
综上，满足条件的a的取值范围是(－∞，2]．
习题4
一、选择题：
1．B 2．B 3．A 4．D 5．C
二、填空题：
6．1 7．－2 8．5；－15 9．y＝－3x 10．
三、解答题：
11．(1)f '(x)＝(1＋kx)ekx，令(1＋kx)ekx＝0，得．
若k＞0，则当时，f '(x)＜0，函数f(x)单调递减；当时，f '(x)＞0，函数f(x)单调递增．
若k＜0，则当时，f '(x)＞0，函数f(x)单调递增；当时，f '(x)＜0，函数f(x)单调递减．
(2)若k＞0，则当且仅当，即k≤1时，函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增；若k＜0，则当且仅当，即k≥－1时，函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增．
综上，函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增时，k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．
12．解：(1)f '(x)＝6x2＋6ax＋3b，
因为函数f(x)在x＝1及x＝2取得极值，则有f '(1)＝0，f '(2)＝0．
即解得a＝－3，b＝4．
(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，
f '(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．
当x∈(0，1)时，f '(x)＞0；当x∈(1，2)时，f '(x)＜0；当x∈(2，3)时，f '(x)＞0．
所以，当x＝1时，f(x)取得极大值f(1)＝5＋8c，又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c．
则当x∈[0，3]时，f(x)的最大值为f(3)＝9＋8c．
因为对于任意的x∈[0，3]，有f(x)＜c2恒成立，
所以 9＋8c＜c2，解得c＜－1或c＞9，
因此c的取值范围为(－∞，－1)∪(9，＋∞)．
13．解：对函数f(x)求导得：f '(x)＝eax(ax＋2)(x－1)．
(1)当a＝2时，f '(x)＝e2x(2x＋2)(x－1)．
令f '(x)＞0，解得x＞1或x＜－1；
令f '(x)＜0，解得－1＜x＜1．
所以，f(x)单调增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)；f(x)单调减区间为(－1，1)．
(2)令f '(x)＝0，即(ax＋2)(x－1)＝0，解得，或x＝1．
由a＞0时，列表分析得：
x



1
(1，＋∞)
f'(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
↗
极大值
↘
极小值
↗
当时，因为，所以，从而f(x)＞0．
对于时，由表可知函数在x＝1时取得最小值，
所以，当x∈R时，．
由题意，不等式对x∈R恒成立，
所以得，解得0＜a≤ln3．
14．(1)解：对函数f(x)求导数，得．
依题意有f '(－1)＝0，故．
从而．
f(x)的定义域为，当时，f '(x)＞0；
当时，f '(x)＜0；
当时，f′(x)＞0．
从而，f(x)分别在区间内单调递增，在区间内单调递减．
(2)解：f(x)的定义域为(－a，＋∞)，．
方程2x2＋2ax＋1＝0的判别式＝4a2－8．
①若＜0，即，在f(x)的定义域内f '(x)＞0，故f(x)无极值．
②若＝0，则或
若
当时，f '(x)＝0，
当或时，f '(x)＞0，所以f(x)无极值．
若，f '(x)＞0，f(x)也无极值．
③若＞0，即或，则2x2＋2ax＋1＝0有两个不同的实数根
．
当时，x1＜－a，x2＜－a，从而f′(x)在f(x)的定义域内没有零点，故f(x)无极值．
当时，x1＞－a，x2＞－a，f '(x)在f(x)的定义域内有两个不同的零点，所以f(x)在x＝x1，x＝x2处取得极值．
综上，f(x)存在极值时，a的取值范围为．
f(x)的极值之和为f(x1)＋f(x2)＝ln(x1＋a)＋x12＋ln(x2＋a)＋x22
＝ln[(x1＋a)(x2＋a)]＋(x1＋x2)2－2x1x2＝ln＋a2－1＞1－ln2＝ln．