专题08 解析几何-2020年高考数学（理）二轮专项复习

专题08 解析几何
平面解析几何主要介绍用代数知识研究平面几何的方法．为此，我们要关注：将几何问题代数化，用代数语言描述几何要素及其关系，将几何问题转化为代数问题，处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题．
在此之中，要不断地体会数形结合、函数与方程及分类讨论等数学思想与方法．要善于应用初中平面几何、高中三角函数和平面向量等知识来解决直线、圆和圆锥曲线的综合问题．
§8－1 直角坐标系
【知识要点】
1．数轴上的基本公式
设数轴的原点为O，A，B为数轴上任意两点，OB＝x2，OA＝x1，称x2－x1叫做向量的坐标或数量，即数量AB＝x2－x1；数轴上两点A，B的距离公式是
d(A，B)＝|AB｜＝|x2－x1|．
2．平面直角坐标系中的基本公式
设A，B为直角坐标平面上任意两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点之间的距离公式是
A，B两点的中点M(x，y)的坐标公式是
3．空间直角坐标系
在空间直角坐标系O－xyz中，若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，A，B两点之间的距离公式是

【复习要求】
1．掌握两点间的距离公式，中点坐标公式；会建立平面直角坐标系，用坐标法(也称为解析法)解决简单的几何问题．
2．了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置，并掌握两点间的距离公式．
【例题分析】
例1 解下列方程或不等式：
(1)｜x－3｜＝1；(2)|x－3｜≤4；(3)1＜|x－3｜≤4．
略解：(1)设直线坐标系上点A，B的坐标分别为x，3，
则｜x－3｜＝1表示点A到点B的距离等于1，如图8－1－1所示，

图8－1－1
所以，原方程的解为x＝4或x＝2．
(2)与(1)类似，如图8－1－2，

图8－1－2
则｜x－3｜≤4表示直线坐标系上点A到点B的距离小于或等于4，
所以，原不等式的解集为{x｜－1≤x≤7}．
(3)与(2)类似，解不等式1＜｜x－3｜，得解集{x|x＞4，或x＜2｝，
将此与不等式|x－3｜≤4的解集{x|－1≤x≤7｝取交集，
得不等式1＜|x－3｜≤4的解集为{x｜－1≤x＜2，或4＜x≤7｝．
【评析】解绝对值方程或不等式时，如果未知数x的次数和系数都为1，那么可以利用绝对值的几何意义来解绝对值方程或不等式．｜x－a｜的几何意义：表示数轴(直线坐标系)上点A(x)到点B(a)的距离．
例2 已知矩形ABCD及同一平面上一点P，求证：PA2＋PC2＝PB2＋PD2．
解：如图8－1－3，以点A为原点，以AB为x轴，向右为正方向，以AD为y轴，向上为正方向，建立平面直角坐标系．

图8－1－3
设AB＝a，AD＝b，则 A(0，0)，B(a，0)，C(a，b)，D(0，b)，
设P(x，y)，
则
＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，

＝x2＋y2＋(x－a)2＋(y－b)2，
所以PA2＋PC2＝PB2＋PD2．
【评析】坐标法是解析几何的一个基本方法,非常重要．坐标法中要注意坐标系的建立，理论上，可以任意建立坐标系，但是坐标系的位置会影响问题解决的复杂程度，适当的坐标系可以使解题过程较为简便．
例3 已知空间直角坐标系中有两点A(1，2，－1)，B(2，0，2)．
(1)求A，B两点的距离；
(2)在x轴上求一点P，使｜PA|＝｜PB|；
(3)设M为xOy平面内的一点，若|MA｜＝｜MB｜，求M点的轨迹方程．
解：(1)由两点间的距离公式，得
(2)设P(a，0，0)为x轴上任一点，由题意得
，
即a2－2a＋6＝a2－4a＋8，解得a＝1，所以P(1，0，0)．
(3)设M(x，y，0)，则有
整理可得x－2y－1＝0．
所以，M点的轨迹方程为x－2y－1＝0．
【评析】由两点间的距离公式建立等量关系，体现了方程思想的应用．
练习8－1
一、选择题
1．数轴上三点A，B，C的坐标分别为3，－1，－5，则AC＋CB等于( )
A．－4 B．4 C．－12 D．12
2．若数轴上有两点A(x)，B(x2)(其中x∈R)，则向量的数量的最小值为( )
A． B．0 C． D．
3．在空间直角坐标系中，点(1，－2，3)关于yOz平面的对称点是( )
A．(1，－2，－3) B．(1，2，3) C．(－1，－2，3) D．(－1，2，3)
4．已知平面直角坐标内有三点A(－2，5)，B(1，－4)，P(x，y)，且｜AP|＝｜BP|，则实数x，y满足的方程为( )
A．x＋3y－2＝0 B．x－3y＋2＝0
C．x＋3y＋2＝0 D．x－3y－2＝0
二、填空题
5．方程｜x＋2｜＝3的解是______；不等式｜x＋3｜≥2的解为______．
6．点A(2，3)关于点B(－4，1)的对称点为______．
7．方程｜x＋2｜－｜x－3｜＝4的解为______．
8．如图8－1－4，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝3，|DC｜＝4，|DD1|＝2，A1C的中点为M，则点B1的坐标是______，点M的坐标是______，M关于点B1的对称点为______．

图8－1－4
三、解答题
9．求证：平行四边形ABCD满足AB2＋BC2＋CD2＋DA2＝AC2＋BD2．



10．求证：以A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形．



11．在平面直角坐标系中，设A(1，3)，B(4，5)，点P在x轴上，求|PA|＋｜PB｜的最小值．


§8－2 直线的方程
【知识要点】
1．直线方程的概念
如果以一个方程的解为坐标的点都在某条直线上，且这条直线上点的坐标都是这个方程的解，那么这个方程叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．
2．直线的倾斜角和斜率
x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角．并规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角．因此，倾斜角a 的取值范围是0°≤a ＜180°．
我们把直线y＝kx＋b中的系数k叫做这条直线的斜率．设A(x1，y1)，B(x2，y2)为直线y＝kx＋b上任意两点，其中x1≠x2，则斜率
倾斜角为90°的直线的斜率不存在，倾斜角为a 的直线的斜率k＝tana (a ≠90°)．
3．直线方程的几种形式
点斜式：y－y1＝k(x－x1)；
斜截式：y＝kx＋b；
两点式：
一般式：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)．
4．两条直线相交、平行与重合的条件
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则
(1)l1与l2相交A1B2－A2B1≠0或
(2)l1与l2平行
(3)l1与l2重合
当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，截距分别为b1，b2，则
l1与l2相交k1≠k2；
l1∥l2k1＝k2，b1≠b2；
l1与l2重合k1＝k2，b1＝b2．
5．两条直线垂直的条件
设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1⊥l2A1A2＋B1 B2＝0．
当直线l1与l2的斜率存在时，设斜率分别为k1，k2，则l1⊥l2k1k2＝－1．
6．点到直线的距离
点P(x1，y1)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d的计算公式
【复习要求】
1．理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式．根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式：点斜式、两点式及一般式，体会斜截式与一次函数的关系．
2．掌握两条直线平行与垂直的条件，点到直线的距离公式．能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标．
【例题分析】
例1(1)直线的斜率是______，倾斜角为______；
(2)设A(2，3)，B(－3，2)，C(－1，－1)，过点C且斜率为k的直线l与线段AB相交，则斜率k的取值范围为______．
略解：(1)直线可以化简为
所以此直线的斜率为，倾斜角
(2)如图8－2－1，设直线AC的倾斜角为a ，

图8－2－1
因为此直线的斜率为，所以
设直线BC的倾斜角为b ，因为此直线的斜率为
所以
因为直线l与线段AB相交，所以直线l的倾斜角q 满足a ≤q ≤b ，
由正切函数图象，得tanq ≥tana 或tanq≤tanb，
故l斜率k的取值范围为．
【评析】(1)求直线的斜率常用方法有三种：
①已知直线的倾斜角a，当a≠90°时，k＝tana；
②已知直线上两点的坐标(x1，y1)，(x2，y2)，当x1≠x2时，k＝；
③已知直线的方程Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，k＝．
(2)已知直线的斜率k求倾斜角a 时，要注意当k>0时，a ＝arctank；当k