专题06 平面向量-2020年高考数学（理）二轮专项复习

专题06 平面向量
平面向量是工具性的知识，向量的坐标化使得向量具有代数和几何两种形式，它把“数”和“形”很好地结合在一起，体现了重要的数学思想方法，在高考中，除了对向量本身的概念与运算的知识进行考察外，向量还与平面几何、三角几何、解析几何、立体几何等知识综合在一起考查，本专题应该掌握向量的基本概念、向量的运算方法与公式以及向量的应用．
§6－1 向量的概念与运算
【知识要点】
1．向量的有关概念与表示
(1)向量：既有方向又有大小的量，记作向量
自由向量：数学中所研究的向量是可以平移的，与位置无关，只要是长度相等，方向相同的向量都看成是相等的向量．
(2)向量的模：向量的长度，记作：
向量的夹角：两个非零向量a，b，作，则(AOB称为向量a，b的夹角，记作：〈a，b〉
零向量：模为0，方向任意的向量，记作：0
单位向量：模为1，方向任意的向量，与a共线的单位向量是：
(3)相等向量：长度相等，且方向相同的向量叫相等向量．
相反向量：长度相等，方向相反的向量．
向量共线：方向相同或相反的非零向量是共线向量，零向量与任意向量共线；共线向量也称为平行向量．记作a∥b
向量垂直；〈a，b)＝90°时，向量a与b垂直，规定：0与任意向量垂直．
2．向量的几何运算(注意：运算法则、运算律)

(1)加法：平行四边形法则、三角形法则、多边形法则．
(2)减法：三角形法则．
(3)数乘：记作：l a．
它的长度是：｜l a｜＝｜l ｜·｜a｜
它的方向：①当l ＞0时，l a与a同向
②当l ＜0时，l a与a反向
③当l ＝0时，l a＝0
(4)数量积：
①定义：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉其物理背景是力在位移方向所做的功．
②运算律：1．(交换律)a·b＝b·a
2．(实数的结合律)l (a·b)＝(l a)·b＝a·(l b)
3．(分配律)(a＋b)·c＝a·c＋b·c
③性质：设a，b是非零向量，则：
a·b＝0a⊥b
a与b同向时，a·b＝｜a｜·｜b｜
a与b反向时，a·b＝－｜a｜·｜b｜
特殊地：a·a＝｜a｜2或
夹角：
|a·b|≤|a| |b|
3．向量的坐标运算
若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
(1)加法：a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)
(2)减法：a－b＝(x1－x2，y1－y2)
(3)数乘：l a＝(l x1，l y1)
(4)数量积：a·b＝x1x2＋y1y2
(5)若a＝(x，y)，则
(6)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
(7)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
(8)a在b方向上的正射影的数量为
4．重要定理
(1)平行向量基本定理：
若a＝l b，则a∥b，反之：若a∥b，且b≠0，则存在唯一的实数l 使得a＝l b
(2)平面向量基本定理：
如果e1和e2是平面内的两个不共线的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2使a＝a1e1＋a2e2
(3)向量共线和垂直的充要条件：
若在平面直角坐标系下，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
则：a∥bx1y2－x2y1＝0，a⊥bx1x2＋y1y2＝0
(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
【复习要求】
1．准确理解相关概念及表示，并进行简单应用；
2．掌握向量的加法、减法、数乘运算的方法、几何意义和坐标运算，了解向量的线性运算的法则、性质；会选择合适的方法解决平面向量共线等相关问题；
3．熟练掌握向量的数量积的运算、性质与运算律，会利用向量的数量积解决有关长度、角度、垂直、平行等问题．
【例题分析】
例1 向量a、b、c是非零的不共线向量，下列命题是真命题的个数有( )个
(1)(b·c)a－(c·a)b与c垂直，
(2)若a·c＝b·c，则a＝b，
(3)(a·b)c＝a(b·c)，
(4)a·b≤｜a｜｜b｜
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】(1)真命题，注意：向量的数量积是一个实数，因此[(b·c)a－(c·a)b]·c＝(b·c)(a·c)－(c·a)(b·c)＝0，所以c(b·c)a－(c·a)b与c垂直；
(2)假命题．a·c＝b·c≠a＝b；即向量的数量积不能两边同时消掉相同的向量，比如：向量a与向量b都是与向量c垂直且模长不等的向量，可以使得左边的式子成立，但是a、b这两个向量不相等；
(3)假命题．(a·b)c≠a(b·c)，实际上(a·b)c是与向量c方向相同或相反的一个向量，a(b·c)是与a方向相同或相反的一个向量，向量a、c的方向可以不同，左右两边的向量就不等；
(4)真命题．a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉，且cos〈a，b〉≤1，所以a·b≤｜a｜｜b｜．
解答：选C．
【评析】(1)我们在掌握向量的有关概念时要力求准确和完整，比如平行向量(共线向量)、零向量等，注意积累像这样的容易错误的判断并纠正自己的认识；
(2)向量的加减运算与数乘运算的结果仍然是一个向量，而向量的数量积运算结果是一个实数，要熟练掌握向量的运算法则和性质．
例2 已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c满足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c＝( )
A． B． C． D．
【分析】知道向量的具体坐标，可以进行向量的坐标运算；向量的平行与垂直的关系也可以用坐标体现，因此用待定系数法通过坐标运算求解．
解：不妨设c＝(m，n)，则a＋c＝(1＋m，2＋n)，a＋b＝(3，－1)，对于(c＋a)∥b，则有－3(1＋m)＝2(2＋n)；又c⊥(a＋b)，则有3m－n＝0，则有故选择D
【评析】平面向量的坐标运算，通过平面向量的平行和垂直关系的考查，很好地体现了平面向量的坐标运算在解决具体问题中的应用．此外，待定系数法是在解决向量的坐标运算中常用的方法．
例3 (1)已知向量，且A、B、C三点共线，求实数k的值．
(2)已知向量a＝(1，1)，b＝(2，－3)，若ka－2b与a垂直，求实数k的值．
【分析】(1)向量a与b(b≠0)共线存在实数m使a＝mb．
当已知向量的坐标时，a∥bx1y2－x2y1＝0．
(2)利用向量的数量积能够巧妙迅速地解决有关垂直的相关问题．
a·b＝0a⊥bx1x2＋y1y2＝0
解：(1)∵,
∴,
∵A、B、C三点共线，
∴，即(4－k)(－5)－(4＋k)(－7)＝0，解得：
(2)由(ka－2b)⊥a，得(ka－2b)·a＝ka2－2b·a＝2k－2·(2－3)＝0，所以k＝－1．
【评析】①向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数m使a＝mb；当已知向量的坐标时，a∥bx1y2－x2y1＝0．若判断(或证明)两个向量是否共线，只要判断(或证明)两个向量之间是否具有这样的线性关系即可；反之，已知两个向量具有平行关系时，也有线性等量关系成立．
②利用向量的共线定理来解决有关求参数、证明点共线或线段平行，以及利用向量的数量积解决垂直问题等是常见的题型，注意在解题过程中适当选择方法、正确使用公式，并注意数形结合．
例4 已知：｜a｜＝2，｜b｜＝5，〈a，b〉＝60°，求：
①a·b；②(2 a＋b)·b；③｜2a＋b｜；④2 a＋b与b的夹角q 的余弦值
【分析】利用并选择合适的公式来求数量积、模、夹角等：a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2
，若a＝(x，y)，则

解：①∵｜a｜＝2，｜b｜＝5，〈a，b〉＝60°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝5；
②(2a＋b)·b＝2a·b＋b·b＝10＋25＝35；
③
④
【评析】向量的数量积是一个非常好的工具，利用向量的数量积可以解决求长度、角度、距离等相关问题，同时用向量的数量积解决垂直相关问题也是常见的题型，注意使用正确的公式．
例5 已知向量a＝(sinq ，cosq －2sinq )，b＝(1，2)．
(Ⅰ)若a∥b，求tanq 的值；
(Ⅱ)若｜a｜＝｜b｜，0＜q ＜p，求q 的值．
【分析】已知向量的坐标和平行关系与模长，分别用坐标公式刻画．
解：(Ⅰ)因为a∥b，所以2sinq ＝cosq －2sinq ，
于是4sinq ＝cosq ，故．
(Ⅱ)由｜a｜＝｜b｜知，sin2q ＋(cosq －2sinq )2＝5，所以1－2sin2q ＋4sin2q ＝5．
从而－2sin2q ＋2(1－cos2q )＝4，即sin2q ＋cos2q ＝－1，
于是
又由0＜q ＜p知，，所以，或
因此，或．
例6 设a、b、c是单位向量，且a·b＝0，则(a－c)·(b－c)的最小值为( )
(A)－2 (B) (C)－1 (D)
【分析】由向量的模长以及夹角，考虑从数量积的运算寻找解决问题的突破口
解：∵a，b，c是单位向量，
∴(a－c)·(b－c)＝a·b－(a＋b)·c＋c2

故选D．
例7 在△ABC，已知，求角A，B，C的大小．
【分析】熟悉向量的数量积的形式，再结合三角公式来解决问题
解：设BC＝a，AC＝b，AB＝c
由得，所以
又A∈(0，p)，因此
由得，于是
所以，因此
，即
由知，所以，从而
，或，即，或，故
，或
【评析】向量往往是一步工具性的知识应用，继而转化为三角函数、不等式、解三角形等知识，因此，熟练准确掌握向量的基本概念、基本运算法则、性质，以及灵活选择合适的公式非常必要．
练习6－1
一、选择题
1．平面向量a，b共线的充要条件是( )
A．a，b方向相同
B．a，b两向量中至少有一个为零向量
C．l ∈R，b＝l a
D．存在不全为零的实数l 1，l 2，l 1a＋l 2b＝0
2．已知平面向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，l a＋b与a垂直，则l 是( )
A．－1 B．1 C．－2 D．2
3．已知四边形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且，则顶点D的坐标为( )
A． B． C．(3，2) D．(1，3)
4．设△ABC的三个内角A，B，C，向量，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C＝( )
A． B． C． D．
二、填空题
5．设a＝(2k＋2，4)，b＝(8，k＋1)，若a与b共线，则k值为______．
6．已知向量，若，则 m＝______．
7．已知M(3，－2)，N(－5，－1)，，则P点坐标为______．
8．已知a2＝1，b2＝2，(a－b)·a＝0，则a和b的夹角是______．
三、解答题
9．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，求实数x的值．



10．已知向量a与b同向，b＝(1，2)，a·b＝10．
(1)求向量a的坐标；
(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)a．



11．若向量a与b的夹角为60°，｜b｜＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，求向量a的模．



§6－2 向量的应用
【知识要点】
1．向量的基本概念与运算与平面几何联系解决有关三角形的形状、解三角形的知识；
2．以向量为载体考查三角函数的知识；
3．在解析几何中用向量的语言来表达平行、共线、垂直、中点以及定比分点等信息，实际上还是考查向量的运算方法与公式．
【复习要求】
会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．
例1若，求证三角形ABC是正三角形，
【分析】给出的是一个连等的等式，考虑移项进行向量的运算，进而得到正三角形的某些判定的结论．
证明，即与BC边上的中线垂直，所以AB＝AC，同理BC＝BA，可以得到该三角形是等边三角形；
例2 已知四边形ABCD中，若，判断四边形ABCD的形状．
【分析】已知向量的数量积的对称式，可以从运算和几何意义上分别研究．
解答1从几何意义上设
若k＞0，则∠ABC，∠BCD，∠CDA，∠DAB都是钝角，与四边形内角和为360°矛盾，舍；同理k＜0时，也不可能，故k＝0，即四边形ABCD为矩形．
解答2从运算上，
同理；
于是，同理，得到四边形ABCD是平行四边形；
∴
∴，∴四边形ABCD为矩形．
【评析】利用数量积解决三角形的形状时，常常涉及向量的夹角问题，注意向量的数量积的正负对向量夹角的约束，另外，一些对称式告诉我们几何图形应该具有一个规则的形状，不因为改变字母而变化形状，我们可以直观判断形状．
例3 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量，n＝(cosA，sinA)．若m⊥n，且acosB＋bcosA＝csinC，求角A，B的大小．
【分析】在三角形中，借助垂直向量的条件可以得到A角的三角方程，从而求出三角形的内角A，已知的等式左右两边是边的齐次式，可以借助三角形的正弦定理、三角公式等知识求三角形的其余内角．
解：∵ ，即，∴三角形内角
∵acosB＋bcosA＝csinC，∴sinAcosB＋sinBcosA＝sin2C，即sin(A＋B)＝sin2C，sinC＝1，
∴
【评析】向量的知识经常被用在三角形或者解析几何等知识里，结合相关的知识点进行考查，常见的有中点的表达(比如等都说明M是AB中点)、定比分点的表达、平行(或共线)或垂直的表达等，要注意分析并积累向量语言表达的信息．
例4 已知△ABC的三个顶点的直角坐标分别为A(3，4)、B(0，0)、C(c，0)．
(1)若，求c的值；
(2)若c＝5，求sin∠A的值．
【分析】(1)利用点的坐标求向量的坐标，利用向量数量积的坐标公式转化为代数问题进行运算求解即可．(2)向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，我们不仅可以数形结合，还可以利用解三角形的其他知识，如①利用数量积求出cosA进而求sinA；②余弦定理正弦定理
解：(1)
由可得－3(c－3)＋16＝0解得
(2)[法一]当c＝5时，可得AB＝5，，BC＝5，△ABC为等腰三角形，
过B作BD⊥AC交AC于D，可求得故
[法二]

【评析】向量的数量积有代数和几何两种运算公式，为我们沟通了更多的等量关系，使用时不仅可以数形结合，还可以和解三角形的其他知识——余弦定理、正弦定理一起来解决有关三角形的问题．
例5 若等边△ABC的边长为，平面内一点M满足，则
______．
解析：建立直角坐标系，因为三角形是正三角形，故设C(0，0)，，利用向量坐标运算，求得，从而求得，运用数量积公式解得为－2．
另外，还可以通过向量的几何运算求解．
解：
，
得到
【评析】注意向量有两套运算公式，有坐标时用代数形式运算，没有坐标时用向量的几何形式运算，同时注意向量在解三角形中的几何运用，以及向量的代数化手段的重要性．
例6 已知向量a＝(cosa，sina)，b＝(cosb ，sinb )，c＝(－1，0)
(Ⅰ)求向量b＋c的长度的最大值；
(Ⅱ)设，且a⊥(b＋c)，求cosb 的值．
【分析】关于向量的模一方面有坐标的计算公式和平方后用向量的数量积运算的公式，另一方面有几何意义，可以数形结合；
解：(1)解法1：b＋c＝(cosb －1，sinb )，则
｜b＋c｜2＝(cosb －1)2＋sin2b ＝2(1－cosb )．
∵－1≤cosb ≤1，∴0≤｜b＋c｜2≤4，即0≤｜b＋c｜≤2．
当cosb ＝－1时，有｜b＋c｜＝2，所以向量b＋c的长度的最大值为2．
解法2：∵｜b｜＝1，｜c｜＝1，｜b＋c｜≤｜b｜＋｜c｜＝2
当cosb ＝－1时，有｜b＋c｜＝(－2，0)，即｜b＋c｜＝2，
b＋c的长度的最大值为2．
(2)解法1：由已知可得b＋c＝(cosb －1，sinb )，
a·(b＋c)＝cosa cosb ＋sina sinb －cosa ＝cos(a －b )－cosa ．
∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cos(a －b )＝cosa ．
由，得，即
∴或b ＝2kp，(k∈Z)，于是cosb ＝0或cosb ＝1．
解法2：若，则，又由b＝(cosb ，sinb )，c＝(－1，0)得

∵a⊥(b＋c)，∴a·(b＋c)＝0，即cosb (cosb －1)＝0
∴sinb ＝1－cosb ，平方后sin2b ＝(1－cosb )2＝1－cos2b ，化简得cosb (cosb －1)＝0
解得cosb ＝0或cosb ＝1，经检验，cosb ＝0或cosb ＝1即为所求
例7 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
(2)若m⊥p，边长c＝2，角求△ABC的面积．
【分析】已知向量的坐标和位置关系，考虑用坐标运算入手，结合三角形的条件解决问题
证明：(1)∵m∥n，∴asinA＝bsinB，
即，其中R是三角形ABC外接圆半径，a＝b，
∴△ABC为等腰三角形．
解(2)由题意可知m⊥p，m·p＝0，即a(b－2)＋b(a－2)＝0，∴a＋b＝ab，
由余弦定理可知，4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，
即(ab)2－3ab－4＝0，∴ab＝4(舍去ab＝－1)
∴
例8 已知向量，其中
(1)求a·b及｜a＋b｜；
(2)若f(x)＝a·b－2l ｜a＋b｜的最小值是，求l 的值．
【分析】只要借助向量的数量积以及模的坐标公式代入，继而转化为三角函数与函数的有关知识．
解：(1)

或
(2)f(x)＝a·b－2l ｜a＋b｜＝cos2x－4l cosx＝2cos2x－4l cosx－1＝2(cosx－l )2－2l 2－1
∵
①当l ≤0时；f(x)的最小值是－1，不可能是，舍；
②当0＜l ＜1时，f(x)的最小值是，解得
③当l ≥1时，f(x)的最小值是，解得，舍；
∴
【评析】向量的知识经常和三角函数、函数、不等式等的知识联系在一起进行考查，向量仅仅是一步坐标运算，继而转化为其他知识，因此使用公式时要准确，为后续解题做好准备．
练习6－2
一、选择题
1．若为a，b，c任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是( )
A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) B．(a＋b)·c＝a·c＋b·c
C．m(a＋b)＝ma＋mb D．(a·b)c＝a(b·c)
2．设，且a∥b，则a 的值是( )
A． B．
C． D．
3．在△ABC中，，且a·b＞0，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
4．已知：△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P，且，则点P与△ABC的位置关系是( )
A．P在△ABC内部 B．P在△ABC外部
C．P在AB边上或其延长线上 D．P在AC边上
二、填空题
5．若向量a，b满足｜a｜＝1，｜b｜＝2，且a与b的夹角为，则｜a＋b｜＝______．
6．已知向量a＝(cosq ，sinq )，向量，则｜2a－b｜的最大值是______．
7．若，且(a＋2b)⊥(2a－b)，则x＝______．
8．已知向量，且，则向量＝______
三、解答题
9．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，｜b｜＝1，求｜a＋2b｜．



10．P在y轴上，Q在x轴的正半轴上，H(－3，0)，M在直线PQ上，
．当点P在y轴移动时，求点M的轨迹C方程．



11．已知向量a＝(sinq ，1)，
(1)若a⊥b，求q ；
(2)求｜a＋b｜的最大值．



习题6
一、选择题
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2 a＋3b＝( )
A．(－5，－10) B．(－4，－8) C．(－3，－6) D．(－2，－4)
2．给出下列五个命题：
①｜a｜2＝a2；②；③(a·b)2＝a2·b2；
④(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；⑤若a·b＝0，则a＝0或b＝0；
其中正确命题的序号是( )
A．①②③ B．①④ C．①③④ D．②⑤
3．函数y＝2x＋1的图象按向量a平移得到函数y＝2x＋1的图象，则( )
A．a＝(－1，－1) B．a＝(1，－1) C．a＝(1，1) D．a＝(－1，1)
4．若a2＝1，b2＝2，(a－b)·a＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．已知在△ABC中，则O为△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
二、填空题
6．已知p＝(1，2)，q＝(－1，3)，则p在q方向上的正射影长为______；
7．如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：

①．
②．
③．
④．
其中真命题的代号是______(写出所有真命题的代号)．
8．给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°．如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动．若，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是______．

9．已知向量a＝(2，4)，b＝(1，1)，若向量b⊥(a＋l b)，则实数l 的值______；若，则向量a与c的夹角为______；
10．已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，a·b＝－2，则｜a＋b｜＝______．
三、解答题
11．已知
(1)证明：a⊥b；
(2)若ka－b与3a－kb平行，求实数k；
(3)若ka－b与ka＋b垂直，求实数k．



12．设向量a＝(cos23°，cos67°)，b＝(cos68°，cos22°)，u＝a＋tb，(t∈R)．
(1)求a·b
(2)求u的模的最小值．



13．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，
(1)求cosC；
(2)若，且a＋b＝9，求c．



14．已知函数f(x)＝kx＋b的图象与x，y轴相交于点A，B，，分别是与x，y轴正半轴同方向的单位向量)函数g(x)＝x2－x－6，(1)求k，b的值；(2)当x满足f(x)＞g(x)时，求函数的最小值．



15．已知向量a＝(x2，x＋1)，b＝(1－x，t)，若f(x)＝a·b在区间(－1，1)上是增函数，求t的取值范围．


专题06 平面向量参考答案
练习6－1
一、选择题
1．D 2．A 3．A 4．C
二、填空题
5．3或－5 6．4 7． 8．45°
三、解答题
9．由已知，所以，得x＝－1．
10．(1)由已知设a＝(l ，2l )且l ＞0，a·b＝l ＋4l ＝10，l ＝2，所以a＝(2，4)；
(2)(b·c)a＝(2－2)a＝0．
11．6．
练习6－2
一、选择题
1．D． 2．C． 3．C． 4．D．
二、填空题
5． 6．4 7．－6或9 8．
三、解答题
9． 由已知｜a｜＝2，｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12
∴.
10．解答：设M(x，y)，∵M在直线PQ上,
∵
∴，即y2＝4x．(除原点．)
11．解：(Ⅰ)若a⊥b，则sinq ＋cosq ＝0，由此得，所以
(Ⅱ)由a＝(sinq ，1)，b＝(1，cosq )得


当时，｜a＋b｜取得最大值，即当时，｜a＋b｜最大值为
习题6
一、选择题
1．B 2．B 3．A 4．B 5．D
二、填空题
6． 7．①、②、④ 8．2 9．l ＝－3；90° 10．
三、解答题
11．(2)k＝±；(3)k＝±1．
12．答案：(1)，(2)
13．解答：(1)∵，∴，又∵sin2C＋cos2C＝1 解得
∵tanC＞0，∴C是锐角． ∴
(2)∵．
又∵a＋b＝9 ∴a2＋2ab＋b2＝81．∴a2＋b2＝41．
∴c2＝a2＋b2－2abcosC＝36．∴c＝6．
14．略解：(1)由已知得，B(0，b)，则，于是∴k＝1，b＝2．
(2)由f(x)＞g(x)，得x＋2＞x2－x－6，即(x＋2)(x－4)＜0，得－2＜x＜4，

由于x＋2＞0，则，其中等号当且仅当x＋2＝1，即x＝－1时成立
∴的最小值是－3．
15．略解：解法1：依定义f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，则f '(x＝－3x2＋2x＋t．
若f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x)≥0．
∴f '(x)≥0t≥3x2－2x，在区间(－1，1)上恒成立，考虑函数g(x)＝3x2－2x，
由于g(x)的图象是对称轴为，开口向上的抛物线，故要使t≥3x2－2x在区间(－1，1)上恒成立t≥g(－1)，即t≥5．
而当t≥5时，f'(x)在(－1，1)上满足f′(x)＞0，即f(x)在(－1，1)上是增函数．故t的取值范围是t≥5．
解法2：依定义f(x)＝x2(1－x)＋t(x＋1)＝－x3＋x2＋tx＋t，f '(x)＝－3x2＋2x＋t．
若f(x)在(－1，1)上是增函数，则在(－1，1)上可设f '(x)≥0．
∵f '(x)的图象是开口向下的抛物线，
∴当且仅当f '(1)＝t－1≥0，且f '(－1)＝t－5≥0时，f '(x)在(－1，1)上满足f '(x)＞0，即f(x)在(－1，1)上是增函数．故t的取值范围是t≥5．