专题11 概率统计-2020年高考数学（理）二轮专项复习

专题11 概率统计
统计是研究如何合理收集、整理、分析数据的学科，为人们制定决策提供依据．概率是研究随机现象规律的学科，为人们认识客观世界提供重要的思维模式和解决问题的方法．
统计一章介绍随机抽样、样本估计总体、线性回归的基本方法，通过对典型案例的讨论，了解和使用一些常用的统计方法，进一步体会运用统计方法解决实际问题的基本思想，认识统计方法在决策中的作用．概率一章介绍随机现象与概率的意义、古典概型及几何概型，学习某些离散型随机变量分布列及其期望、方差等内容，初步学会利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象的方法，并能用所学知识解决一些简单的实际问题，进一步体会概率模型的作用及运用概率思考问题的特点，初步形成用随机观念观察、分析问题的意识．
§11－1 概率(一)
【知识要点】
1．事件与基本事件空间：
随机事件：当我们在同样的条件下重复进行试验时，有的结果始终不会发生，它称为不可能事件；有的结果在每次试验中一定会发生，它称为必然事件；在试验中可能发生也可能不发生的结果称为随机事件，随机事件简称为事件．
基本事件与基本事件空间：在一次试验中我们常常要关心的是所有可能发生的基本结果，它们是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来描述，这样的事件称为基本事件．所有基本事件构成的集合叫做基本事件空间，常用W 表示．
2．频率与概率
频率：在相同的条件S下，重复n次试验，观察某个事件A是否出现，称n次试验中事件A的出现次数m为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率．
概率：一般的，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记做P(A)．显然有0≤P(A)≤1．
不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，随机事件的概率在(0，1)之间．
3．互斥事件的概率加法公式
事件的并：由事件A或B至少有一个发生构成的事件C称为事件A与B的并，记做C＝A∪B．
互斥事件：不可能同时发生的两个事件称为互斥事件．
互斥事件加法公式：如果事件A、B互斥，则事件A∪B发生的概率等于这两个事件分别发生的概率和，即P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
如果A1，A2，…，An两两互斥，那么事件A1∪A2∪…∪An发生的概率，等于这n个事件分别发生的概率和，即P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．
对立事件：不能同时发生且必有一个发生的两个事件叫做互为对立事件．事件A的对立事件记作，满足P()＝1－P(A)．
概率的一般加法公式(选学)：事件A和B同时发生构成的事件D，称为事件A与B的交(积)，记作D＝A∩B．在古典概型中，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
4．古典概型
古典概型：一次试验有下面两个特征：(1)有限性，在一次试验中可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性是均等的，则称这个试验为古典概型．古典概型的性质：对于古典概型，如果试验的n个基本事件为A1，A2，…，An，则有P(A1∪A2∪…∪An)＝1且
概率的古典定义：在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n(W )，随机事件A包含的基本事件数为n(A)，则p(A)＝，即
5．几何概型
几何概型：一次试验具有这样的特征：事件A理解为区域W的一个子区域A，A的概率只与子区域A的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与A的位置和形状无关，这样的试验称为几何概型．
几何概型的特点：(1)无限性：一次试验中可能出现的结果有无穷多个；(2)等可能性，每个基本事件发生的可能性相等．
几何概型中事件A的概率定义：，其中m W 表示区域W 的几何度量，m A表示子区域A的几何度量．
随机数：就是在一定范围内随机产生的数，并且得到这个范围内的每一个数的机会均等．计算机随机模拟法(蒙特卡罗方法)是利用模型来研究某种现象的性质的一种有效方法，可以节约大量的人力物力．
6．条件概率与事件的独立性
条件概率：一般的，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B｜A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率．一般把P(B｜A)读作“A发生的条件下B发生的概率”．在古典概型中，用n(A)表示事件A中基本事件的个数，则有P(B｜A)＝．
事件的独立性：设A、B为两个事件，如果P(B｜A)＝P(B)，则称事件A与事件B相互独立，并称事件A、B为相互独立事件．
若A、B为两个相互独立事件，则A与、与B、与也都相互独立．
若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)．
【复习要求】
1．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别．
2．了解两个互斥事件的概率加法公式．
3．理解古典概型及其概率计算公式，会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．
4．了解随机数的意义，了解几何概型的意义．
5．在具体情境中，了解条件概率，了解两个事件相互独立的概念及独立事件的概率乘法公式，并能解决一些简单的实际问题．
【例题分析】
例1 国家射击队的某队员射击一次，命中7－10环的概率如下表：
命中环数
10环
9环
8环
7环
…
概率
0.32
0.28
0.18
0.12

求该队员射击一次，
(1)射中9环或10环的概率；
(2)至少命中8环的概率；
(3)命中不足8环的概率．
【分析】射击运动员一次射击只能命中1个环数，命中不同的环数是互斥事件，射中9环或10环的概率等于射中9环与射中10环的概率和．命中不足8环所包含的事件较多，而其对立事件为“至少命中8环”，可先求其对立事件的概率，再通过P(A)＝1－P()求解．
解：设事件“射击一次，命中k环”为事件Ak(k∈N，k≤10)，则事件Ak彼此互斥．
(1)记“射击一次，射中9环或10环”为事件A，则
P(A)＝P(A10)＋P(A9)＝0.60．
(2)记“射击一次，至少命中8环”为事件B，则
P(B)＝P(A10)＋P(A9)＋P(A8)＝0.78．
(3)“射击一次，命中不足8环”为事件B的对立事件，则
P()＝1－P(B)＝0.22．
【评析】解决概率问题时，要先分清所求事件由哪些事件组成，分析是否是互斥事件，再决定用哪个公式．当用互斥事件的概率加法公式解题时，要学会不重不漏的将事件拆为几个互斥事件，要善于用对立事件解题．
例2 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(Ⅰ)求A1被选中的概率；
(Ⅱ)求B1和C1不全被选中的概率．
【分析】本题是一个古典概型的问题，可以直接用概率公式求解．
解：(Ⅰ)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间
W＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，
(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，
(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，
(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}
由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示“A1恰被选中”这一事件，则
M＝｛(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，
(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}
事件M由6个基本事件组成，因而
(Ⅱ)用N表示“B1，C1不全被选中”这一事件，则其对立事件表示“B1，C1全被选中”这一事件，
由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件由3个基本事件组成，
所以，由对立事件的概率公式得
【评析】古典概型解决概率问题时，选定基本事件空间并计算其所含基本事件的个数是重要的一步．本题中选定“从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果”为基本事件空间，计算时采用列举法，也可以利用乘法计数原理计算3×3×2＝18．本题第一问还可以选定“从通晓日语的3人中选出1人的可能结果”为基本事件空间，共有3个基本事件，选出A1只有一种可能，故所求概率为
例3 一个口袋中装有大小相同的2个红球，3个黑球和4个白球，从口袋中一次摸出一个球，摸出的球不再放回．
(1)连续摸球2次，求第一次摸出黑球，第二次摸出白球的概率；
(2)连续摸球2次，在第一次摸到黑球的条件下，求第二次摸到白球的概率；
(3)如果摸出红球，则停止摸球，求摸球次数不超过3次的概率．
【分析】本题是一个古典概型问题，因为基本事件空间中所含基本事件的个数较多，宜用排列组合公式计算，当然也可利用两个计数原理计数．本题第二问是条件概率问题．做第三问时，要分为三个事件：“第一次摸到红球”，“第一次摸到不是红球，第二次摸到红球”，“前两次摸到不是红球，第三次摸到红球”，显然三个事件是互斥事件．
解：(1)从袋中依次摸出2个球共有种结果，第一次摸出黑球、第二次摸出白球有3×4＝12种结果，则所求概率
(或)．
(2)设“第一次摸到黑球”为事件A，“第二次摸到白球”为事件B，则“第一次摸到黑球，且第二次摸到白球”为事件A∩B，又，P(A∩B)，所以或
(或)．
(3)第一次摸出红球的概率为，第二次摸出红球的概率为，第三次摸出红球的概率为，则摸球次数不超过3次的概率为
【评析】利用古典概型求解时，求基本事件的个数和事件发生的总数时求法要一致，若无序则都无序，若有序则都有序，分子和分母的标准要相同．在求事件个数时常用列举法(画树状图、列表、坐标系法)，有时也与排列组合联系紧密，计算时灵活多变，但要注意分类讨论，做到不重不漏．要正确识别条件概率问题，理解P(A)，P(A∩B)，P(B｜A)的含义．
例4 (1)两根相距6米的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，则灯与两端距离都大于2米的概率是______．
(2)甲乙两人约定在6点到7点之间在某处会面，并约好先到者等候另一人一刻钟，过时即可离去．则两人能会面的概率是______．
(3)正方体内有一个内切球，则在正方体内任取一点，这个点在球内的概率为______．
【分析】这三个题都可转化为几何概率问题求解．分别转化为线段长度、图形面积、几何体体积问题求解．

解：(1)本题可转化为：“在长为6m的线段上随机取点，恰好落在2m到4m间的概率为多少?”
易求得
(2)本题可转化为面积问题：即“阴影部分面积占总面积的多少?”，
解得
(3)本题可转化为体积问题：即“内切球的体积与正方体体积之比是多少?”．解得
【评析】几何概型也是一种概率模型，它具有等可能性和无限性两个特点．解题的关键是要建立模型，将实际问题转化为几何概率问题．基本步骤是：把基本事件空间转化为与之对应的区域W；把随机事件A转化为与之对应的区域A；利用概率公式计算．常用的几何度量包括：长度、面积、体积．
例5 设有关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0．
(Ⅰ)若a是从0，1，2，3四个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；
(Ⅱ)若a是从区间[0，3］任取的一个数，b是从区间[0，2］任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
【分析】本题第一问是古典概型问题，第二问由于a、b在实数区间选取，可以转化为几何概型问题求解．
解：设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．
当a≥0，b≥0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b．
(Ⅰ)基本事件共12个：
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A中包含9个基本事件，事件A发生的概率为
(Ⅱ)试验的全部结果所构成的区域为{(a，b)｜0≤a≤3，0≤b≤2}．
构成事件A的区域为{(a，b)｜0≤a≤3，0≤b≤2，a≥b｝．
所以所求的概率为
【评析】几何概型与古典概型的每个基本事件发生的可能性是均等的，只是几何概型的基本事件有无限个，而古典概型的基本事件有有限个．在具体问题中，不能因为古典概型的基本事件的个数多而误认为是几何概型．
例6 如图，用A、B、C三类不同的元件连结成两个系统N1、N2，当元件A、B、C都正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作，已知元件A、B、C正常工作的概率为0.80、0.90、0.90，分别求系统N1、N2正常工作的概率．

【分析】三个元件能否正常工作相互独立．当元件A、B、C同时正常工作时，系统N1正常工作；当元件A正常工作且元件B、C至少有一个正常工作时，系统N2正常工作，而B、C至少有一个正常工作的概率可通过其对立事件计算．
解：设元件A、B、C正常工作为事件A、B、C，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.9，P(C)＝0.9，且事件A、B、C相互独立．
(1)系统N1正常工作的概率为
p1＝P(A·B·C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝0.80×0.90×0.90＝0.648．
(2)元件B、C至少有一个正常工作的概率为
1－P(·)＝1－P()·P()＝1－0.1×0.1＝0.99，所以系统N2正常工作的概率为
p2＝P(A)·(1－P(·))＝0.80×0.99＝0.792．
【评析】本题以串、并联为背景，重点在正确理解题意．在计算几个事件同时发生的概率时，要先判断各个事件之间是否相互独立．独立事件、互斥事件、对立事件的概率各有要求，要依据题目特点，巧妙地选用相关方法．
例7 每次抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6)．
(1)连续抛掷3次，求向上的点数之和为3的倍数的概率；
(2)连续抛掷6次，求向上的点数为奇数且恰好出现4次的概率．
【分析】向上点数之和为3的倍数共有6种情况，计数时要不重不漏；向上点数为奇数的概率为，连续抛掷6次是独立重复试验．
解：(1)向上的点数之和为3的结果有1种情况，为6的结果共10种情况，为9的结果共25种情况，为12的结果共25种情况，为15的结果共10种情况，为18的结果共1种情况．
所以
(2)因为每次抛掷骰子，向上的点数为奇数的概率为P＝，
根据独立重复试验概率公式有
【评析】独立重复试验是一类重要的概率问题，要善于分析模型的特点，正确合理的解题．
例8 某学校进行交通安全教育，设计了如下游戏，如图，一辆车模要直行通过十字路口，此时前方交通灯为红灯，且该车模前面已有4辆车模依次在同一车道上排队等候(该车道只可以直行或左转行驶)．已知每辆车模直行的概率是，左转行驶的概率是，该路口红绿灯转换间隔时间均为1分钟．假设该车道上一辆直行去东向的车模驶出停车线需要10秒钟，一辆左转去北向的车模驶出停车线需要20秒钟，求：

(1)前4辆车模中恰有2辆车左转行驶的概率；
(2)该车模在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口的概率(汽车驶出停车线就算通过路口)．
【分析】该车模1分钟内通过路口包含2种情况：4辆车都直行，3辆车直行1辆车左转．
解：(1)设前4辆车模中恰有2辆左转行驶为事件A，则

(2)设该车在第一次绿灯亮起时的1分钟内通过该路口为事件B，其中4辆车模均
直行通过路口为事件B1，3辆直行1辆左转为事件B2，则事件B1、B2互斥．

【评析】善于从复杂的背景中发现线索，体会其实质．善于转化问题的叙述，恰当的分类．
练习11－1
一、选择题
1．下列随机事件的频率和概率的关系中哪个是正确的( )
A．频率就是概率
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数增加，频率一般会越来越接近概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
2．从装有2个黑球2个白球的口袋中任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球，都是白球
B．至少有一个白球，至少有一个红球
C．恰有一个白球，恰有两个白球
D．至少有一个白球，都是红球
3．独立工作的两套报警系统遇危险报警的概率均为0.4，则遇危险时至少有一套报警系统报警的概率是( )
A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.64
4．考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于( )
A． B． C． D．
二、填空题
5．甲、乙二人掷同一枚骰子各一次．如果谁掷的点数大谁就取胜，则甲取胜的概率为______．
6．设每门高射炮命中飞机的概率都是0.6．今有一敌机来犯，要有99％的把握击中敌机，至少需要______门高射炮．
7．在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中概率为______．
8．一个口袋中有4个白球，2个黑球．有放回的取出3个球，如果第一次取出的是白球，则第三次取出的是黑球的概率为______；不放回的取出3个球，在第一次取出的是白球的条件下，第二次取出的是黑球的概率为______．
三、解答题
9．已知集合A＝{－4．－2，0，1，3，5｝，在平面直角坐标系中点M(x，y)的坐标满足x∈A，y∈A．计算：(1)点M恰在第二象限的概率；(2)点M不在x轴上的概率；(3)点M恰好落在区域上的概率．



10．某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)，每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响；
(1)求两次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率；
(2)求男生发言次数不少于女生发言次数的概率．



11．3名志愿者在10月1日至10月5日期间参加社区服务工作，若每名志愿者在这5天中任选两天参加社区服务工作，且各名志愿者的选择互不影响．求
(1)这3名志愿者中在10月1日都参加社区服务工作的概率；
(2)这3名志愿者中在10月1日至多有1人参加社区服务工作的概率．




§11－2 概率(二)
【知识要点】
1．离散型随机变量及其分布列
随机变量：如果随机试验的可能结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化的，我们把这样的变量X叫做一个随机变量．如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，X取到每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率为P(X＝xi)＝pi，则称表
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
为离散型随机变量X的分布列．具有性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝1．
离散型随机变量在某个范围取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率和．
二点分布：如果随机变量的分布列为
X
1
0
P
p
q
其中0＜p＜1，q＝1－p，则称离散型随机变量X服从参数为p的二点分布．
二项分布：一般的，在相同条件下重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，称为n次独立重复试验．在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为
(其中p为在一次试验中事件A发生的概率，q＝1－p，k＝0，1，…，n).若将n次独立重复试验中事件A发生的次数设为X，则X的分布列为
X
0
1
…
k
…
n
P


…

…

称这样的离散型随机变量X服从参数为n、p的二项分布，记作X～B(n，p)．
超几何分布：一般的，设有总数为N件的两类物品，其中一类有M件，从所有物品中任取n件(n≤N)，这n件中所含这类物品件数X是一个离散型随机变量，它取值为m时的概率为≤l，其中l为n和M中较小的一个)．我们称离散型随机变量X的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X服从参数为N、M、n的超几何分布．
2．随机变量的数字特征及正态分布
离散型随机变量的数学期望(均值)与方差：若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的数学期望(或均值)，它反映了离散型随机变量的平均取值水平．称为随机变量X的方差，它反映了离散型随机变量X相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，其算数平方根为随机变量X的标准差，记作s (X)，方差(或标准差)越小表明X的取值相对于期望越集中，否则越分散．
均值与方差的性质：①E(aX＋b)＝aE(X)＋b②D(aX＋b)＝a2D(X)
若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝pq；
若X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝npq．
正态曲线：函数，其中m ∈R，s ＞0)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．其特点有：①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，关于x＝m 对称；③曲线在x＝m 处达到峰值；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当s 一定时，曲线随着m 的变化而沿x轴平移；⑥当m 一定时，曲线的形状由s 决定．s 越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；s 越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
正态分布：如果对于任意实数a＜b，随机变量X满足，则称X的分布为正态分布；随机变量X服从参数m 、s 的正态分布，记作N～(m ，s 2)．
正态分布的三个常用数据：
①P(m －s ＜X＜m ＋s )＝68.3％；②P(m －2s ＜X＜m ＋2s )＝95.4％；③P(m －3s ＜X＜m ＋3s )＝99.7％．
【复习要求】
①在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性．
②通过实例，理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．
③通过实例，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．
④通过实例，理解取有限值的离散型随机变量期望、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的期望、方差，并能解决一些实际问题．
⑤通过实际问题，认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【例题分析】
例1 一袋中装有编号为1、2、3、4、5、6的6个大小相同的小球，现从中随机取出3个球，以X表示取出球的最大号码，
(1)求X的分布列；(2)求X＞4的概率；(3)求E(X)．
【分析】随机变量X可能取的值为3、4、5、6，应用古典概型求得X取每一个值的概率，就可以写出分布列．
解：(1)随机变量X可能取的值为3、4、5、6，且
，，所求X的分布列为
X
3
4
5
6
P




(2)
(3)
【评析】离散型随机变量的分布列反映了一次试验的所有可能结果(X的所有可能取值)，以及取得每个结果(X的每一个值)的概率．书写分布列首先要根据具体情况正确分析X可取的所有值，然后利用排列组合及概率的有关知识求得每个xi所对应的概率pi，最后列成表格．要注意不同的X值所对应的事件之间是互斥的，求离散型随机变量在某一范围的概率等于它取这个范围内各个值的概率和．
例2 袋中装有大小相同的5个红球、5个白球，现从中任取4个球，其中所含红球的个数为X，写出X的分布列，并求X的期望．
【分析】袋中共有10个球，从中任取4个，所含红球的个数为0、1、2、3、4，每个事件的概率可以利用古典概型求解．
解：随机变量X可取的值有0、1、2、3、4，＝＝，，
，，
分布列为
X
0
1
2
3
4
P






【评析】本题的随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝4．
例3 某人练习射击，每次击中目标的概率为．
(1)用X表示击中目标的次数．①若射击1次，求X的分布列和期望；
②若射击6次，求X的分布列和期望；
(2)若他连续射击6次，设ξ为他第一次击中目标前没有击中目标的次数，求ξ的分布列；
(3)他一共只有6发子弹，若击中目标，则不再射击，否则子弹打完为止，求他射击次数h 的分布列．
【分析】射击问题常被看做是独立重复试验．ξ的取值为0到6，h 的取值为1到6．
解：(1)①X服从二点分布
X
0
1
P



②X服从二项分布，分布列为
X
0
1
2
3
4
5
6
P








(2)ξ的取值为0到6，ξ＝k(k＝0，1，…，5)表示第k＋1次击中目标，前k次都没击中目标，则P(ξ＝k)＝，ξ＝6表示射击6次都未击中目标，
．ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
6
P







(3)h 的取值为1到6．h ＝k(k＝1，2，…，5)表示第k次时第一次击中目标，
表示前5次都没有击中目标，．h 的分布列为
η
1
2
3
4
5
6
P






【评析】要书写分布列，必须先弄清随机变量X的含义以及取值情况，并准确定义事件“X＝k”．在计算满足二点分布和二项分布的随机变量的期望和方差时，可直接应用公式计算．
例4 甲乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量X和Y，且X和Y的分布列为
X
10
9
8
7
6
5
0
P
0.5
0.2
0.1
0.1
0.05
0.05
0

Y
10
9
8
7
6
5
0
P
0.1
0.1
0.1
0.1
0.2
0.2
0.2
计算X和Y的期望和方差，并以此为依据分析两人的技术水平．
【分析】先由分布列所提供的数据用期望和方差公式计算，再根据实际意义作出分析．
解：E(X)＝8.85，D(X)＝2.2275；E(Y)＝5.6，D(Y)＝10.24．由于E(X)＞E(Y)，说明甲射击的平均水平比乙高；由于D(X)＜D(Y)，说明甲射击的环数比较集中，发挥比较稳定，乙射击的环数比较分散，技术波动较大，不稳定，由此可以看出甲比乙的技术好．
【评析】正确记忆期望和方差的公式，在分布列中，期望是每个变量乘以它所对应的概率再相加，求方差要先求期望，再作差、平方、乘以相应概率再相加．科学对待计算结果，正确分析数据所表达的实际意义．
例5 设b和c分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量ξ表示方程x2＋bx＋c＝0实根的个数(重根按一个计)．
(1)求方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
(2)求在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋bx＋c＝0有实根的概率；
(3)若h ＝2ξ＋1，求ξ、h 的数学期望和方差；
【分析】本题概率问题是古典概型，要分别求出事件中所含元素的个数，第一问事件“二次方程有实根”等价于“D＝b2－4c≥0”，b、c的值都取自{1，2，3，4，5，6}；第二问是条件概率问题；第三问先求ξ的期望和方差，再由公式求h 的期望和方差．
解：(1)由题意知：设基本事件空间为W，记“方程x2＋bx＋c＝0没有实根”为事件A，“方程x2＋bx＋c＝0有且仅有一个实根”为事件B，“方程x2＋bx＋c＝0有两个相异实数”为事件C，W中基本事件总数为36个，A中的基本事件总数为17个，B中的基本事件总数为2个，C中的基本事件总数为17个．
又因为B，C是互斥事件，故所求概率
(2)记“先后两次出现的点数中有5”为事件D，“方程x2＋bx＋c＝0有实数”为事件E，由上面分析得
∩，∴
(Ⅱ)由题意ξ的可能取值为0，1，2，则

故ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P



所以


【评析】本题是一道概率的综合题，由07山东卷改编而得．在古典概型中解决条件概率问题时，概率公式是．具有线性关系的两个随机变量的期望和方差之间的关系是，．
例6 (1)设两个正态分布N(m 1，)(s 1＞0)和N(m 2，)(s 2＞0)的密度函数图象如图所示．则有( )

A．m 1＜m 2，s 1＜s 2
B．m 1＜m 2，s 1＞s 2
C．m 1＞m 2，s 1＜s 2
D．m 1＞m 2，s 1＞s 2
(2)已知随机变量X服从正态分布N(3，s 2)，已知P(X＞4)＝0．2，则P(2＜X≤3)＝______．
(3)假设某自动车床生产的弹簧的自由长度ξ服从N(1.5，0．022)，已知P(｜ξ－1.5｜＜3×0.02)＝0.997．质检员抽检到5件弹簧的自由长度分别为1.47，1.53，1.49，1.57，1．41，据此判断生产情况是否正常?
解：(1)选择A；(2)0.3；
(3)(1.5－3×0.02，1.5＋3×0.02)＝(1.44，1.56)，而1.41(1.44，1.56)，所以小概率事件“｜ξ－1.5｜≥3×0.02”发生，说明生产情况不正常.
【评析】正态分布的学习要明确三点：参数m ，s 的含义及对曲线形状的影响，正态曲线的性质，3s 原则．
例7 某地有A、B、C、D四人先后感染了甲型H1N1流感，其中只有A到过疫区，B肯定是受A感染的．对于C，因为难以判定他是受A还是受B感染的，于是假定他受A和受B感染的概率都是1/2，同样也假设D受A、B和C感染的概率都是1/3．在这种假定之下，B、C、D中直接受A感染的人数X就是一个随机变量，写出X的分布列(不要求写出计算过程)，并求X的均值(即数学期望)．
【分析】由题意分析得X可取的值为1、2、3，用“X＝k”(k＝1、2、3)表示被A直接感染的人数．四个人的传染情形共有6种：A→B→C→D，

每种情况发生的可能性都相等，所以A传染1人有两种情况，传染2人有三种情况，传染3人有一种情况．“x＝1”表示A传染B，没有传染给C、D；“x＝2”表示A传染给B、C，没有传染给D，或A传染给B、D，没有传染给C；“x＝3”表示A传染给B、C、D．于是有
解：X可取的值为1、2、3，其中，分布列为
X
1
2
3
P



E(X)＝
【评析】本题是一道背景很新的题目，密切贴近现实情境．在求每个事件的概率时，利用已知条件用列举法分析事件构成成为解题的关键．
例8 在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投篮3次；在A处投篮每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次．某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率q2，该同学选择在A处投一球，以后都在B处投．用ξ表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为
ξ
0
2
3
4
5
P
0.03
P1
P2
P3
P4
(1)求q2的值；(2)求随机变ξ量的数学期望Eξ；
(3)试比较该同学都选择在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小．
【分析】分布列中“ξ＝0”的概率为0.03，即事件“三次都没投进”的概率是0.03，由此可求出q2，从而求出pi(i＝1，2，3，4)．
解：(1)P(ξ＝0)＝(1－q1)(1－q2)2＝0.03，而q1＝0.25，解得q2＝0.8.
(2)p1＝P(ξ＝2)＝(1－q1)(1－q2)q2＝0.24，p2＝P(ξ＝3)＝q1(1－q2)2＝0.01，
p3＝P(ξ＝4)＝(1－q1)q22＝0.48，p4＝P(ξ＝5)＝q1q2＋q1(1－q2)q2＝0.24，所求期望
Eξ＝0×0.03＋2×0.24＋3×0.01＋4×0.48＋5×0.24＝3.63.
(3)设该同学按上述方法投篮超过3分为事件C，选择一直在B处投篮超过3分为事件D，
则P(C)＝p3＋p4＝0.72，P(D)＝＋(1－q2)q2＝0.896，故P(D)＞P(C)，所以该同学都选择在B处投篮得分超过3分的概率大于选择上述方式投篮得分超过3分的概率.
【评析】深入理解离散型随机变量的分布列，挖掘题目信息.合理应用概率的加法公式、乘法公式、对立事件的概率公式解决概率问题.
练习11－2
一、选择题
1．某试验成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验成功的次数，则P(X＝0)等于( )
A．0 B． C． D．
2．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任取一球，直到取出白球为止．设所需取球次数为X，则X的可能值为( )
A．1，2，…，6 B．1，2，…，7 C．1，2，…，11 D．1，2，3，…
3．已知随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1.6，则a－b的值为( )
X
0
1
2
3
P
0.1
a
b
0.1
A．0.1 B．0.2
C．－0.2 D．－0.4
4．设掷一颗骰子所得的点数为随机变量X，则( )
A．E(X)＝3.5，D(X)＝3.52 B．
C．E(X)＝3.5，D(X)＝3.5 D．
二、填空题
5．一批产品有8件正品和4件次品，现从中任取3件，其中次品数X的分布列如下表，完成下表．
X

P

6．设随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且E(X)＝2．4，D(X)＝1.44，则p＝______，n＝______．
7．一只青蛙从数轴的原点出发，当投下的硬币正面朝上时，它沿数轴的正方向跳动两个单位；当投下的硬币反面朝上时，它沿数轴的负方向跳动一个单位．若青蛙跳动四次停止，设停止时青蛙所在数轴上对应点的坐标为X，则E(X)＝______．
8．已知随机变量X服从正态分布X～N(2，s 2)，P(X≤4)＝0.84，则P(X＜0)＝______．
三、解答题
9．某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生．在研究学习过程中，要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报)，每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言．设每人每次被选中与否均互不影响．
(Ⅰ)求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；
(Ⅱ)设ξ为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望．



10．一个口袋中装有若干个均匀的红球和白球．若从中任取一个球，则取到红球的概率为
；若从中任取两个球，则恰好都是白球的概率为
(Ⅰ)求口袋中红球、白球的个数．
(Ⅱ)从口袋中依次不放回的取球检查，遇到下列情况之一则停止取球：①已经取出全部红球；②取球次数达到4次．用ξ表示停止取球时取到球的个数，求ξ的分布列和数学期望Eξ．



11．某人向一目标射击4次，每次击中目标的概率为．该目标分为3个不同的部分，第一、二、三部分面积之比为1∶3∶6．击中目标时，击中任何一部分的概率与其面积成正比．
(Ⅰ)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
(Ⅱ)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”，求P(A)．



§11－3 统 计
【知识要点】
1．随机抽样
总体、个体、样本：把所考察对象的某一个数值指标的全体构成的集合看成总体，构成总体的每一个元素称为个体，从总体中抽出若干个体所组成的集合叫做样本．
随机抽样：抽样时，保证每一个个体都可能被抽到，且每个个体被抽到的机会均等，满足这样条件的抽样为随机抽样．
简单随机抽样：从元素个数为N的总体中，不放回的抽取容量为n的样本，如果每一次抽样时，总体中的各个个体有相同的可能性被抽到，这种抽样方法叫简单随机抽样．
系统抽样：当总体个数很大时，可将总体分成均匀的若干部分，然后按照预先制定的规则从每一部分抽取一个个体得到所需要的样本，这种抽样的方式叫做系统抽样．
分层抽样：当总体由有明显差异的几部分组成时，将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样．
三种抽样方法的比较
类别
共同点
各自特点
联系
适用范围
简单随机抽样
(1)抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等
(2)每次抽出个体后不再将它放回，即不放回抽样
从总体中逐个抽取

总体个数较少
系统抽样
将总体均分成几部分，按预先制定的规则在各部分抽取
在起始部分抽样时采用简单随机抽样
总体个数较多
分层抽样
将总体分成几层，分层进行抽取
分层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样
总体由差异明显的几部分组成
2．用样本的频率分布估计总体的频率分布
常用频率分布表、频率分布直方图、频率分布折线图、茎叶图等统计图表来表示样本数据，观察样本数据的特征，从而估计总体的分布情况．
频率分布(表)直方图的画法步骤：
(1)计算极差(用样本数据的最大值减去最小值)
(2)决定组数与组距(组数×组距＝极差)
(3)决定分点
(4)列频率分布表
(5)绘制频率分布直方图
易见直方图中各个小长方形面积等于相应各组的频率，所有小长方形面积之和等于1．
频率分布折线图：连结频率分布直方图各个长方形上边的中点，就得到频率分布折线图．
总体密度曲线：随着样本容量的增加，分组的组距不断缩小，相应的频率分布折线图就会越来越接近于一条光滑曲线，这条光滑曲线就叫做总体密度曲线．总体密度曲线精确地反映了一个总体在各个区域内取值的规律．
茎叶图：茎指中间的一列数，叶是从茎的旁边生长出来的数．在样本数据较少时，茎叶图表示数据的效果较好．它的突出优点是：统计图中没有原始数据的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到；茎叶图可随时记录，方便表示．
3．用样本的数字特征估计总体的数字特征
样本数据的平均数：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么叫做这n个数的平均数．
标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，其中
．
方差：标准差的平方s2叫做方差．
4．两个变量间的关系
散点图：两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，这些点对应的图形叫做散点图．
线性相关：若两个变量的散点图中所有点看上去都在一条直线附近波动，则这两个变量可近似看成具有线性相关关系．
回归直线方程：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心一条直线附近，则这条直线叫做这些数据点的回归直线方程，记作＝bx＋a，其中b叫回归系数．
最小二乘法：假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数组
，，…，，求得
，这时离差最小，所求回归直线方程是.这种求回归直线的方法称为最小二乘法．
【复习要求】
1．会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，了解分层抽样和系统抽样方法．
2．了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点．
3．理解样本数据标准差的意义和作用，会计算样本数据平均数、标准差，并给出合理解释．
4．会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想．
5．会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．
【例题分析】
例1 某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组(1－5号，6－10号，…，196－200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是______，若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取______人．

【分析】由已知系统抽样的组距为5，所以相邻组间的号码相差5；由饼形图可知200名职工中，50岁以上人数：40－50岁人数：40岁以下人数＝2∶3∶5，总样本为40人，分层抽样抽取每层人数比例为2∶3∶5．
解：37；20
【评析】系统抽样的特征是等距，也就是只要在一组内选定号码，其余各组的号码随之选定，所选相邻号码的间隔为组距．分层抽样的特征是按比例抽取，也就是每一层所选人数占总选出人数的比例与每层人数占总人数的比例相等．抽样是统计分析的重要部分，最常用的抽样方法是简单随机抽样、系统抽样和分层抽样，抽样时每个个体被抽到的可能性相等．简单随机抽样常用抽签法和随机数表法．
例2 对某电子元件进行寿命追踪调查，情况如下：
寿命(h)
[100，200)
[200，300)
[300，400)
[400，500)
[500，600)
个数(个)
20
30
80
40
30
(1)列出频率分布表；
(2)画出频率分布直方图；
(3)估计电子元件寿命在[100，400)以内的概率；
(4)估计电子元件寿命在400h以上的概率．
【分析】按要求列表、绘图，并用样本的分布估计总体的分布．
解：(1)频率分布表
(2)(画图)；
(3)P＝0.10＋0.15＋0.40＝0.65；
(4)P＝1－0.65＝0.35．

寿命(h)
频数
频率
[100，200)
20
0.10
［200，300)
30
0.15
[300，400)
80
0.40
[400，500)
40
0.20
[500，600)
30
0.15
合计
200
1.00

【评析】频率分布表和频率分布直方图是用统计的方法对样本数据加以概括和总结．列频数分布表时，要区分频数和频率的意义，画频率分布直方图时要注意横、纵坐标代表的意义和单位．频率分布指的是一个样本数据在各拿小范围内所占比例的大小，常用样本数据落在某个范围的频率估计总体落在这个范围的概率．频率分布直方图中众数是最高矩形中点的横坐标，中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．
例3 (海南)从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度(单位：mm)，结果如下：
甲品种：271 273 280 285 285 287 292 294 295 301 303 303 307
308 310 314 319 323 325 325 328 331 334 337 352
乙品种：284 292 295 304 306 307 312 313 315 315 316 318 318
320 322 322 324 327 329 331 333 336 337 343 356
由以上数据设计了如下茎叶图

根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论：
①_________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________；
②_________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________．
【分析】抽样数据比较分散，很难观察数据的分布特征，通过茎叶图展现了样本数据的分布．通过茎叶图可观察出平均数、众数、中位数，数据分布的对称性等等，由于茎叶图保留了原始数据，还可计算平均数、方差、标准差．
解：(可任选两个作答)(1)乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度；
(2)甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散(或乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中)；
(3)甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm，乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm；
(4)乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间(均值附近)，甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值(352)外，也大致对称，其分布较均匀；
【评析】茎叶图是统计图表的一种，它具有统计图表的一般功能：通过样本的数据分布推断总体的分布，通过样本的数字特征估计总体的数字特征．本题中的统计结论，是指用样本的特征估计总体特征得到的结论．
例4 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的学生人数依次记为A1、A2、…、Am(如A2表示身高(单位：cm)在[150，155)内的学生人数)．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160～180cm(含160cm，不含180cm)的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是______．

图1 图2
【分析】条形图的横坐标是身高，纵坐标为每个身高区间内的人数．条形图没有提供具体的数据信息．程序框图的算法含义是统计[160，180)内学生人数，即求A4＋A5＋A6＋A7的和．
解：i＜8或i≤7．
【评析】设计算法利用计算机完成数据的统计工作，是实际统计工作中经常应用的．除了可以完成计数工作外，还可排序、求最值，利用公式进行各种计算等等．将算法和统计一起考查是新课程的一个特色．
例5 甲乙两位运动员在相同的条件下分别射击10次，记录各次命中环数如下：
甲：8，8，6，8，6，5，9，10，7，4
乙：9，5，7，8，7，6，8，6，8，7
(1)分别计算他们射击环数的平均数及标准差；
(2)判断他们设计水平谁高，谁的射击情况更稳定?
【分析】平均数、标准差分别反映了两个选手的射击水平和稳定程度，平均数越高说明选手射击水平越高，标准差越小说明选手发挥越稳定．
解：(1)甲的平均数为7.1，标准差为1.758；乙的平均数为7.1，标准差为1.136；
(2)从平均值上看，两人的水平相当；从标准差上看，乙的情况更稳定．
【评析】平均数反映的是平均水平的高低，方差和标准差反映的是数据的离散程度．如果样本数据中每个数都增加数a，则它的平均数也增加a，但是它的标准差不变，因为数据的离散程度没有变化．由于方差与原始数据的单位不同，而且可能夸大了偏离程度，实际解决问题中常采用标准差．
例6 假定关于某设备的使用年限x和所支出费用y(万元)，有如下的统计资料
使用年限x
2
3
4
5
6
维修费用y
2.2
3.8
5.5
6.5
7.0
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)根据上表数据，用最小二乘法求出线性回归方程；
(3)估计使用10年时，维修费用是多少?
【分析】利用描点法画出散点图，用公式
求得回归直线方程，取x＝10求得结果．
解：(1)散点图如图

(2)y＝0.08＋1.23x
(3)12.38
【评析】判断两个变量有无相关关系时，散点图直观简便，这是一道应用问题，通过回归直线方程分析使用年限和维修费用的关系．
例7 某工厂有工人1000名，其中250名工人参加过短期培训(称为A类工人)，另外750名工人参加过长期培训(称为B类工人)，现用分层抽样方法(按A类、B类分二层)从该工厂的工人中共抽查100名工人，调查他们的生产能力(此处生产能力指一天加工的零件数)．
(Ⅰ)求甲、乙两工人都被抽到的概率，其中甲为A类工人，乙为B类工人；
(Ⅱ)从A类工人中的抽查结果和从B类工人中的抽查结果分别如下表1和表2．
表1：
生产能力分组
[100，110)
[110，120)
[120，130)
[130，140)
[140，150)
人数
4
8
x
5
3
表2
生产能力分组
[110，120)
[120，130)
[130，140)
[140，150)
人数
6
y
36
18
(i)先确定x，y，再在答题纸上完成下列频率分布直方图．就生产能力而言，A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪个更小?(不用计算，可通过观察直方图直接回答结论)

图1 A类工人生产能力的频率分布直方图

图2 B类工人生产能力的频率分布直方图
(ii)分别估计A类工人和B类工人生产能力的平均数，并估计该工厂工人的生产能力的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．
【分析】(1)相互独立事件同时发生的概率用乘法公式(2)画出直方图，从图中分析数据信息．
解：(Ⅰ)甲乙被抽到的概率都是，而且事件“甲工人被抽到”与“乙工人被抽到”相互独立，所以甲、乙两工人都被抽到的概率
A类工人中和B类工人中分别抽查25名和75名．
(Ⅱ)(i)由4＋8＋x＋5＋3＝25，得x＝5；6＋y＋36＋18＝75，得y＝15．
频率分布直方图如下

图1 A类工人生产能力的频率分布直方图

图2 B类工人生产能力的频率分布直方图
从直方图可以判断：B类工人中个体间的差异程度更小．


.
A类工人生产能力的平均数，B类工人生产能力的平均数以及全厂工人生产能力的平均数的估计值分别为123，133.8和131.1．
【评析】本题是一道综合应用题，通过语言叙述和图表给出信息．频率分布直方图反映了数据分布的情况，数据的差异大小及数据的方差大小．
练习11－3
一、选择题
1．(08重庆)某校高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查．这种抽样方法是( )
A．简单随机抽样法 B．抽签法
C．随机数表法 D．分层抽样法
2．从容量为N的总体中抽取容量为n的样本，若采用系统抽样法，则抽样间隔为( )
A． B．n C． D．
3．(08山东)下图是根据《山东统计年整2007》中的资料做成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图．图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为( )

A．304.6 B．303.6 C．302.6 D．301.6
4．甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表

甲的成绩

乙的成绩

丙的成绩
环数
7
8
9
10

环数
7
8
9
10

环数
7
8
9
10
频数
5
5
5
5

频数
6
4
4
6

频数
4
6
6
4
s1，s2，s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )
A．s3＞s1＞s2 B．s2＞s1＞s3
C．s1＞s2＞s3 D．s2＞s3＞s1
二、填空题
5．要考察某公司生产的500克袋装牛奶的质量是否达标，现从800袋牛奶中抽取60袋进行检验，将它们编号为001，002，……800，利用随机数表抽取样本，从第7行第1个数开始，依次向右，再到下一行，继续从左到右．请问选出的第七袋牛奶的标号是______．
(为了便于说明，下面摘取了随机数表的第6行至第10行)．
16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64
84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76
63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79
33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54
57 60 86 32 44 09 47 27 96 54 49 17 46 09 62 90 52 84 77 27 08 02 73 43 28
6．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量．产品数量的分组区间为[45，55)，[55，65)，[65，75)，[75，85)，[85，95)，由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在[55，75)的人数是____
____．


7．将一组数据中的每一个数据都减去10得到一组新的数据，如果这组新数据的平均数和方差分别为1.2和0.4，那么原来一组数据的平均数和方差分别为______．
8．随机抽取某产品n件，测得其长度分别为a1，a2，…，an．则如图所示的程序框图输出的s＝______，s表示的样本的数字特征是______．
三、解答题
9．某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如下表所示：
分组
[500，900)
[900，1100)
[1100，1300)
[1300，1500)
[1500，1700)
[1700，1900)
[1900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率







(1)将各组的频率填入表中；
(2)画出频率分布直方图；
(3)根据上述统计结果，计算灯管使用寿命不足1500小时的频率；
(4)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管3支，若将上述频率作为概率，试求至少有2支灯管的使用寿命不足1500小时的概率．



10．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对照数据
x
3
4
5
6
y
2.5
3
4
4.5
(1)请画出上表数据的散点图；
(2)请根据上表提供的数据，用最小乘法求出y关于x的线性回归方程；
(3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性同归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?



习题11
一、选择题
1．从5张100元，3张200元，2张300元的奥运预赛门票中任取3张，则所取3张中至少有2张价格相同的概率为( )
A． B． C． D．
2．ABCD是长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )
A． B． C． D．
3．某家庭电话，打进的电话响第一声被接的概率为，响第二声被接的概率为，响第三声被接的概率为，响第四声被接的概率为，则这个电话响前四声被接的概率为( )
A． B． C． D．
4．设两个独立事件A、B都不发生的概率为，其中A发生且B不发生的概率与B发生且A不发生的概率相等，则事件A发生的概率为( )
A． B． C． D．
5．某地区调查了2—9岁儿童的身高，由此建立的身高y(cm)和年龄x(岁)的回归模型为
，下列叙述正确的是( )
A．该地区一个10岁儿童的身高为142.63cm
B．该地区2—9岁的儿童每年身高增长约8.25cm
C．该地区9岁儿童的平均身高为134.38cm
D．利用这个模型可以准确预算出该地区每个2—9岁儿童的身高
二、填空题
6．已知，若k为满足的一个随机整数，则△ABC是一个直角三角形的概率为______．
7．某学院的A，B，C三个专业共有1200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本．已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取______名学生．
8．采用简单随机抽样从含有6个个体的总体中抽取1个容量为3的样本，个体a在第三次被抽到的概率是______．
9．在一次抗洪抢险中，准备用射击的方法引爆从河上游漂流而下的一只巨大汽油罐．已知只有5发子弹备用，且首次命中只能使汽油流出，再次命中才能引爆成功．每次射击命中的概率都是，每次命中与否互相独立．则恰用3发子弹就将油罐引爆的概率为______．油罐被引爆的概率为______．
10．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ______(结果用最简分数表示)．
三、解答题
11．随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；(2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．

12．一个盒子里装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数2、3、4、5；另一个盒子也装有4张大小形状完全相同的卡片，分别标有数3、4、5、6．现从一个盒子中任取一张卡片，其上面的数记为x；再从另一个盒子里取一张卡片，其上面的数记为y，记随机变量h ＝x＋y，求h 的分布列和数学期望．



13．对某型号1000只灯泡的使用寿命(单位：小时)的统计如下表所示：
寿命分组
[500，1000)
[1000，1500)
[1500，2000)
[2000，＋∞)
灯泡个数
172
428
329
71
(Ⅰ)从这1000个灯泡中任选1只，求该灯泡使用寿命不足1500小时的概率；
(Ⅱ)从这1000个灯泡中任选3只，求至多有2只灯泡使用寿命不足1500小时的概率．



14．随机抽取某厂的某种产品200件，经质检有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润(单位：万元)为ξ．
(1)求ξ的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即ξ的数学期望)；
(3)经技术革新，仍有四个等级的产品，但次品率降为1％，一等品率提高为70％．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少?








专题11 统计概率参考答案
练习11－1
一、选择题
1．C 2．C 3．D 4．D
二、填空题
5． 6．6 7． 8．，
三、解答题
9．解：(1)点M的横坐标为负，有2种选法，纵坐标为正，有3种选法，共6种选法，所求概率为；
(2)只需点M的纵坐标不为0，所以点M的取法有30种，所求概率为；
(3)符合题意的点M有(5，5)，所求概率为
10．解：(1)记“2次汇报活动都是由小组成员甲发言”为事件A．
由题意，得事件A的概率，即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为
(2)由题意，每次汇报时，男生被选为代表的概率为，女生被选为代表的概率为，记“男生发言次数不少于女生发言次数”为事件B，由题意，事件B包括以下两个互斥事件：
①事件B1：男生发言2次女生发言0次，其概率为
②事件B2：男生发言1次女生发言1次，其概率为
所以，男生发言次数不少于女生发言次数的概率为
11．解：(1)这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰好为3人的事件为A

这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数恰好为3人的概率为
(2)这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数至多为1人的事件为B，


这3名志愿者中在10月1号参加社区服务工作的人数至多为1人的概率为
练习11－2
一、选择题
1．C 2．B 3．C 4．B
二、填空题
5．
X
0
1
2
3
P




6．0.4，6 7．2 8．0.16
三、解答题
9．(Ⅰ)解：记“2次汇报活动都是由小组成员甲发言”为事件A．
由题意，得事件A的概率
即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为
(Ⅱ)解：由题意，ξ的可能取值为2，0，
每次汇报时，男生被选为代表的概率为，女生被选为代表的概率为

所以，ξ的分布列为：
ξ
2
0
P


ξ的数学期望
10．解：(1)设口袋中有红球和白球分为m个和n个，由题意可得方程组：
解得：m＝2，n＝4，故口袋中有红球2个，有白球4个．
(2)由题意ξ可以取到2、3、4三个值．
或
或

故ξ的分布列为
ξ
2
3
4
P



故
11．(1)依题意X的分布列为

0
1
2
3
4
P





(2)设A1表示事件“第一次击中目标时，击中第i部分”，i＝1，2．
B1表示事件“第二次击中目标时，击中第i部分”，i＝1，2．
依题意知P(A1)＝P(B1)＝0.1，P(A2)＝P(B2)＝0.3，

所求的概率为


＝0.1×0.9＋0.9×0.1＋0.1×0.1＋0.3×0.3＝0.28．
练习11－3
一、选择题
1．D 2．D 3．B 4．B
二、填空题
5．744 6．13 7．11.2和0.4 8．，n个数的平均数．
三、解答题
9．(1)
分组
[500，900)
[900，1100)
[1100，1300)
[1300，1500)
[1500，1700)
[1700，1900)
[1900，＋∞)
频数
48
121
208
223
193
165
42
频率
0.048
0.121
0.208
0.223
0.193
0.165
0.042
(2)略；
(3)P(X≤1500)＝0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.7；
(4)至少两支不足1500小时包括两类：三支灯管都不足1500小时和恰有两支灯管不足1500小时，所求概率为0.73＋3×0.3×0.72＝0.784．
10．解：(1)如下图．

(2)3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＋7×5＝101.5，
＝5，，
32＋42＋52＋62＋72＝135，

所以，线性回归方程为0.65x＋0.55．
(3)根据回归方程预测，
现在生产100吨产品消耗的标准煤的数量为0.65×100＋0.55＝65.55吨．
所以预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低92－65.55＝26.45吨标准煤．
习题11
一、选择题
1．C 2．B 3．B 4．D 5．C
二、填空题
6． 7．40 8． 9．， 10．
三、解答题
11．(1)由茎叶图观察或计算可得乙班的平均身高较高；(2)甲班的平均身高为170(cm)，样本方差为57．2；(3)从乙班随机抽取两名身高不低于173cm的同学共有10种不同的取法：(173，176)(173，178)(173，179)(173，181)(176，178)(176，179)(176，181)(178，179)(178，181)(179，181)，设A表示随机事件“抽到身高为176cm的同学”，则A中的事件有4个，所求概率．
12．解：依题意：x可取的值为2、3、4、5，y可以取的值为3、4、5、6，所以h 可能取的值为5、6、7、8、9、10、11，分别求概率得到


h 的分布列为：
η
5
6
7
8
9
10
11
P








13．解：(1)该灯泡使用寿命不足1500小时的概率
(2)至多有2只灯泡使用寿命不足1500小时的概率
答：从这1000只灯泡中任选1只灯泡使用寿命不足1500小时的概率等于；从这1000只灯泡中任选3只，至多有2只灯泡使用寿命不足1500小时的概率等于
14．解：(1)ξ的所有可能取值有6，2，1，－2；

故ξ的分布列为
ξ
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)Eξ＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34．
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(x)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋x＋(－2)×0.01＝4.76－x(0≤x≤0.29)
依题意，E(x)≥4.73，即4.76－x≥4.73，解得x≤0.03．
所以三等品率最多为3％．