2021广东省九上数学期中试题（含答案）

广东省2020-2021学年第一学期九年级期中考试模拟试卷
满分120分 时间90分钟 考试范围：第21-23章
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号
一
二
三
总分
得分




一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．方程5x2﹣1＝4x化成一般形式后，二次项系数为正，其中一次项系数，常数项分别是（　　）
A．4，﹣1 B．4，1 C．﹣4，﹣1 D．﹣4，1
3．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（　　）
A．（﹣2，﹣3） B．（2，3） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3）
4．在平面直角坐标系中，点M（﹣4，﹣3）关于原点对称点的坐标为（　　）
A．（﹣4，3） B．（4，﹣3） C．（﹣3，﹣4） D．（4，3）
5．若k为实数，则关于x的一元二次方程x2﹣2kx﹣1＝0根的情况，说法正确的是（　　）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．根的情况与k的取值有关
6．如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D（5，3）在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）

A．（﹣2，0） B．（﹣2，10）
C．（2，10）或（﹣2，0） D．（10，2）或（﹣2，10）
7．若一次函数y＝（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，则函数y＝mx2﹣mx（　　）
A．有最大值 B．有最大值﹣
C．有最小值 D．有最小值﹣
8．某银行经过最近的两次降息，使一年期存款的年利率由2.25%将至1.98%，设平均每次降息的百分比是x，根据题意，所列方程正确的是（　　）
A．2.25%（1﹣x2）＝1.98% B．2.25%﹣2.25%×2x＝1.98%
C．2.25%（1﹣x）2＝1.98% D．2.25%（1﹣x﹣x2）＝1.98%
9．如图，在直角坐标系中，已知点A（﹣3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4、…，△16的直角顶点的坐标为（　　）

A．（60，0） B．（72，0） C．（67，） D．（79，）
10．二次函数y＝ax2+bx+c图象与x轴正半轴交于点A（3，0），与负半轴交于点B，对称轴经过点H（1，2），则下列结论：①2a+b＝0；②当ax2+bx+c≤0时，﹣1≤x≤3；③若k为方程ax2+bx+c+1＝0的一个根，则k＜﹣1或k＞3．其中正确的结论有（　　）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．若（m﹣1）xm（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是　 　．
12．正方形绕其中心旋转一定角度后能与自身重合，旋转角至少为　 　度．
13．已知方程x2+100x+10＝0的两根分别为x1，x2，则x1x2﹣x1﹣x2的值等于　 　．
14．在直角坐标系中，将抛物线y＝﹣2x2+4x先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为　 　．
15．中秋晚会上，大家互送礼物，共送出的礼物有110件，则参加晚会的同学共有　 　人．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝5，点D为线段AC上一动点，将线段BD绕点D逆时针旋转90°，点B的对应点为E，连接AE，则AE长的最小值为　 　．

17．如图，抛物线y＝x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为　 　．

三．解答题（共8小题，满分62分）
18．（6分）解一元二次方程：2x2﹣5x+1＝0



19．（6分）已知抛物线的顶点坐标为（2，﹣1），且过点（﹣1，8）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当y＜3时，求x的取值范围．



20．（6分）已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0
（1）求证：无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝4，另两边b、c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．


21．（8分）如图，在Rt△OAB中，∠BAO＝90°，且点B的坐标为（4，2），点A的坐标为（4，0）．
（1）画出△OAB关于点O成中心对称的△OA1B1，并写出点B1的坐标；
（2）求出以点B1为顶点，并经过点A的二次函数关系式．

22．（8分）九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量y与售价x满足一次函数关系，两者的相关信息如表：
售价（元/件）
100
110
120
130
…
月销量（件）
200
180
160
140
…
已知该运动服的进价为60元/件．
（1）若要该种运动服的月利润为9600元，则应将售价定为多少？
（2）售价定为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？


23．（8分）如图，抛物线y＝x2+bx﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是x轴上的一个动点，当△DCM的周长最小时，求点M的坐标．

24．（10分）如图Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点P为射线AB上一动点，PQ⊥AC交直线AC于点Q，作QE∥AB交直线BC于点E．
（1）连PE，将线段PE绕点P顺时针旋转90°到PF，连QF．
①如图1，当AP＝时，求FQ的长；
②如图2，当AP＞2时，判断FQ、EQ和AP的关系并证明．
（2）如图3．当P在线段AB上时，O为PE中点，过点O作OM⊥AC于M，若OM＝PE，则AP＝　 　．



25．（10分）在平面直角坐标系中，点A（t，0）为x轴负半轴上一点，经过O，A两点作抛物线y1＝ax（x﹣t）（a＜0）
（1）如图1，若t＝﹣5，点B（﹣8，﹣4）在函数y1图象上，求抛物线y1的解析式；
（2）在（1）的条件下，x轴上有一点C（，0），过C作l⊥x轴，E为抛物线上一点，连接BE，将线段BE绕点E逆时针旋转90°，若点B的对应点F恰好落在直线l上，求点E的横坐标；
友情提醒：此问如果没有解出，不影响第（3）问的解答．
（3）如图2，直线y2＝﹣与抛物线y1交于点D，当t﹣1≤x≤t，|y1﹣y2|随x的增大而增大；当x≤t﹣1，|y1﹣y2|随x的增大而减小．请求出此时a与t之间满足的数量关系．


参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误．
故选：C．
2．解：5x2﹣1＝4x化成一元二次方程一般形式是5x2﹣4x﹣1＝0，
它的一次项系数是﹣4，常数项是﹣1．
故选：C．
3．解：抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是（﹣2，3）．
故选：C．
4．解：点M（﹣4，﹣3）关于原点的对称点坐标为：（4，3）．
故选：D．
5．解：∵△＝（﹣2k）2﹣4×1×（﹣1）＝4k2+4＞0，
∴关于x的一元二次方程x2﹣2kx﹣1＝0一定有两个不相等的实数根．
故选：B．
6．解：因为点D（5，3）在边AB上，
所以AB＝BC＝5，BD＝5﹣3＝2；
（1）若把△CDB顺时针旋转90°，
则点D′在x轴上，OD′＝2，
所以D′（﹣2，0）；
（2）若把△CDB逆时针旋转90°，
则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，
所以D′（2，10），
综上，旋转后点D的对应点D′的坐标为（﹣2，0）或（2，10）．
故选：C．
7．解：∵一次函数y＝（m+1）x+m的图象过第一、三、四象限，
∴m+1＞0，m＜0，
即﹣1＜m＜0，
∴函数y＝mx2﹣mx＝m（x﹣）2﹣有最大值，
∴最大值为﹣．
故选：B．
8．解：经过一次降息，是2.25%（1﹣x）；
经过两次降息，是2.25%（1﹣x）2．
则有方程2.25%（1﹣x）2＝1.98%．
故选：C．
9．解：由题意可得，
△OAB旋转三次和原来的相对位置一样，点A（﹣3，0）、B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，∠BOA＝90°，
∴AB＝
∴旋转到第三次时的直角顶点的坐标为：（12，0），
16÷3＝5…1
∴旋转第15次的直角顶点的坐标为：（60，0），
又∵旋转第16次直角顶点的坐标与第15次一样，
∴旋转第16次的直角顶点的坐标是（60，0）．
故选：A．
10．解：由题意抛物线的对称轴x＝1，交x轴于B（﹣1，0），A（3，0），
∴﹣＝1，
∴2a+b＝0，故①正确，
当抛物线的开口向上时，②正确，当抛物线的开口向下时，结论错误．
当抛物线的开口向上时，③错误，当抛物线的开口向下时，结论正确．
无法确定抛物线的开口方向，故②③错误，
故选：C．
二．填空题（共7小题，满分28分，每小题4分）
11．解：由题意，得
m（m+2）﹣1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．解：∵正方形的对角线把正方形分成四个全等的直角三角形，
∴顶点处的周角被分成四个相等的角，360°÷4＝90°，
∴这个正方形绕着它的中心旋转90°的整数倍后，就能与它自身重合，
因此，这个角度至少是90度．
故答案为：90．
13．解：∵方程x2+100x+10＝0的两根分别为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣100，x1•x2＝10，
∴x1x2﹣x1﹣x2＝x1x2﹣（x1+x2）＝10﹣（﹣100）＝110．
故答案为：110．
14．解：∵y＝﹣2x2+4x＝﹣2（x﹣1）2+2，
∴将抛物线y＝﹣2x2+4x先向下平移2个单位长度，再向左平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式是：y＝﹣2（x﹣1+1）2+2﹣2，即y＝﹣2x2．
故答案是：y＝﹣2x2．
15．解：设参加晚会的同学共有x人，则每个同学需送出（x﹣1）件礼品，
依题意，得：x（x﹣1）＝110，
解得：x1＝11，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
故答案为：11．
16．解：设CD＝x，则AD＝5﹣x，
过点E作EH⊥AD于点H，如图：
由旋转的性质可知BD＝DE，
∵∠ADE+∠BDC＝90°，∠BDC+∠CBD＝90°，
∴∠ADE＝∠CBD，
又∵∠EHD＝∠C，
∴△BCD≌△DHE，
∴EH＝CD＝x，DH＝BC＝3．
∵AD＝5﹣x，
∴AH＝AD﹣DH＝5﹣x﹣3＝2﹣x，
∵在Rt△AEH中，AE2＝AH2+EH2＝（2﹣x）2+x2＝2x2+4x+4＝2（x﹣1）2+2，
所以当x＝1时，AE2取得最小值2，即AE取得最小值．
故答案为：．

17．解：∵令x＝0，则y＝，
∴点A（0，），B（﹣b，），
∴抛物线的对称轴为x＝﹣，直线OB的解析式为y＝﹣x，
∵抛物线的顶点C在直线OB上，
∴y＝
∴顶点C的纵坐标为×＝，
即＝，
解得b1＝3，b2＝﹣3，
由图可知，﹣＞0，
∴b＜0，
∴b＝﹣3，
∴对称轴为直线x＝﹣＝，
∴点D的坐标为（，0），
设平移后的抛物线的解析式为y＝x2+mx+n，
则，
解得，
所以，y＝x2﹣x+．
故答案为：y＝x2﹣x+．
三．解答题（共8小题，满分62分）
18．解：（1）∵a＝2、b＝﹣5、c＝1，
∴△＝25﹣4×2×1＝17＞0，
则x＝；

（2）∵（x+1）2＝（2x﹣3）2，
∴x+1＝2x﹣3或x+1＝3﹣2x，
解得：x＝4或x＝．
19．解：设该抛物线的解析式为：y＝a（x﹣2）2﹣1，
∵该抛物线过点（﹣1，8），
∴a（﹣1﹣2）2﹣1＝8，
解得：a＝1，
∴抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣1；
（2）令y＝3，则（x﹣2）2﹣1＝3，
解得x＝4或x＝0，
∵a＝1，
∴抛物线开口向上，
∴当y＜3时，求x的取值范围是0＜x＜4．
20．（1）证明：△＝（2k+1）2﹣4×4（k﹣）
＝4k2+4k+1﹣16k+8，
＝4k2﹣12k+9
＝（2k﹣3）2，
∵（2k﹣3）2≥0，即△≥0，
∴无论k取何值，这个方程总有实数根；
（2）解：当b＝c时，△＝（2k﹣3）2＝0，解得k＝，方程化为x2﹣4x+4＝0，解得b＝c＝2，而2+2＝4，故舍去；
当a＝b＝4或a＝c＝4时，把x＝4代入方程得16﹣4（2k+1）+4（k﹣）＝0，解得k＝，方程化为x2﹣6x+8＝0，解得x1＝4，x2＝2，即a＝b＝4，c＝2或a＝c＝4，b＝2，
所以△ABC的周长＝4+4+2＝10．
21．解：（1）如图，△OA1B1为所作，点B1的坐标为（﹣4，﹣2）；
（2）∵抛物线的顶点B1的坐标为（﹣4，﹣2），
∴抛物线的解析式可设为y＝a（x+4）2﹣2，
把A（4，0）代入得a（4+4）2﹣2＝0，解得a＝，
∴抛物线的解析式可设为y＝（x+4）2﹣2．

22．解：（1）设月销量y与x的关系式为y＝kx+b，
由题意得，，
解得：，
∴y＝﹣2x+400，
由售价定为x元，则销售该运动服每件的利润是（x﹣60）元，
设该种运动服的月利润为W元，
由题意得，W＝（x﹣60）（﹣2x+400）
＝﹣2x2+520x﹣24000，
当W＝9600时，
即9600＝﹣2x2+520x﹣24000，
解得：x1＝140，x2＝120，
∴若要该种运动服的月利润为9600元，则应将售价定为140元或120元；

（2）由（1）知：W＝﹣2x2+520x﹣24000
＝﹣2（x﹣130）2+9800，
当x＝130时，利润最大值为9800元，
故售价为130元时，当月的利润最大，最大利润是9800元．
23．解：（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线上，
∴，
解得 ，
∴抛物线的解析式为．
∵，
∴顶点D的坐标为；

（2）△ABC是直角三角形．理由如下：
当x＝0时，y＝﹣2，
∴C（0，﹣2），则OC＝2．
当y＝0时，，
∴x1＝﹣1，x2＝4，则B（4，0），
∴OA＝1，OB＝4，
∴AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形；

（3）作出点C关于x轴的对称点C′，则C'（0，2）．
连接C′D交x轴于点M，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，CD一定，当MC+MD的值最小时，△CDM的周长最小．
设直线C′D的解析式为y＝ax+b（a≠0），则
，
解得，
∴．
当y＝0时，，则，
∴．

24．解：（1）①如图1中，过点P作PH∥AC交EQ于点H．

∵PQ⊥AC，PH∥AC，
∴PH⊥PQ，
∴∠EPF＝∠HPQ＝90°，
∴∠EPH＝∠FPQ，
∵CA＝CB，∠ACB＝∠AQP＝90°，
∴∠A＝∠APQ＝45°，
∵AB∥QE，
∴∠APQ＝∠PQE＝45°，
∴∠PQH＝∠PHQ＝45°，
∴PH＝PQ，
∵PE＝PF，
∴△PEH≌△PFQ（SAS），
∴EH＝QF，
∵PA＝，△APQ，△PQH都是等腰直角三角形，
∴AQ＝PQ＝PH＝1，
∵EQ∥AB，
∴∠EAC＝∠A＝45°，
∵∠C＝90°，
∴∠CQE＝∠CEQ＝45°，
∴QC＝EC＝4﹣1＝3，QE＝3，QH＝，
∴EH＝EQ﹣QH＝2，
∴QF＝2．

②结论：FQ+EQ＝PA．
理由：如图2中，过点P作PH∥AC交QE的延长线于点H．

由①可知，FQ＝EH，
∴FQ+QE＝QH＝PQ，
∵PA＝PQ，
∴FQ+EQ＝PA．

（2）如图3中，过点P作PT⊥BC于T．设PA＝x，则AQ＝PQ＝CT＝x，CQ＝PT＝4﹣x，ET＝4﹣x﹣x＝4﹣2x，

∵PQ⊥AC，OM⊥AC，BC⊥AC，
∴PQ∥OM∥EC，
∵PO＝OE，
∴QM＝MC，
∴OM＝（PQ+EC）＝（x+4﹣x）＝2，
∵OM＝PE，
∴PE＝4，
在Rt△PET中，则有42＝（4﹣x）2+（4﹣2x）2，
解得x＝或4（舍弃），
∴PA＝．
故答案为．
25．解：（1）∵t＝﹣5，点B（﹣8，﹣4）在函数y1图象上
∴﹣8a（﹣8+5）＝﹣4
解得：a＝﹣
∴抛物线y1＝﹣x（x+5）
（2）如图1：过点E作EG∥x轴，交直线l于P，过点B作BQ⊥EP于点Q

∵将线段BE绕点E逆时针旋转90°
∴BE＝EF，∠BEF＝90°
∴∠QEB+∠PEF＝90°
且∠QEB+∠QBE＝90°
∴∠QBE＝∠PEF且BE＝EF，∠BQE＝∠FPE＝90°
∴△BQE≌△EFP
∴BQ＝EP，QE＝PF
设E[m，﹣m（m+5）]
∵C（，0），B（﹣8，﹣4）
∴EP＝﹣m，BQ＝﹣m（m+5）+4
∴﹣m＝﹣m（m+5）+4
∴m2﹣m﹣21＝0
∴m1＝，m2＝
∴E的横坐标为或
（3）根据题意得：
∴ax（x﹣t）+＝0
∴x（ax﹣at+）＝0
∴x1＝0，x2＝t﹣
即D点的横坐标为t﹣
∵当t﹣1≤x≤t，|y1﹣y2|随x的增大而增大；
当x≤t﹣1，|y1﹣y2|随x的增大而减小
∴t﹣1＝t﹣
∴at＝2