备战2021年上海中考专题06：代数方程

备战2021年中考数学真题模拟题分类汇编（上海专版）
专题06代数方程（38题）
一．选择题（共6小题）
1．（2020•上海）用换元法解方程x+1x2+x2x+1=2时，若设x+1x2=y，则原方程可化为关于y的方程是（　　）
A．y2﹣2y+1＝0 B．y2+2y+1＝0 C．y2+y+2＝0 D．y2+y﹣2＝0
【分析】方程的两个分式具备倒数关系，设x+1x2=y，则原方程化为y+1y=2，再转化为整式方程y2﹣2y+1＝0即可求解．
【解析】把x+1x2=y代入原方程得：y+1y=2，转化为整式方程为y2﹣2y+1＝0．
故选：A．
2．（2020•徐汇区二模）下列方程中，有实数根的是（　　）
A．x2+1＝0 B．x2﹣1＝0 C．x-1=-1 D．1x-1=0
【分析】A、变形得x2＝﹣1＜0，由此得到原方程无实数根；
B、变形得x2＝1，由此得到原方程有实数根；
C、根据非负数的性质可得原方程无实数根；
D、先把方程两边乘x﹣1得1＝0，由此得到原方程无实数根．
【解析】A、方程变形得x2＝﹣1＜0，故没有实数根，此选项错误；
B、方程变形得x2＝1，故有实数根，此选项正确；
C、二次根式非负，故没有实数根，此选项错误；
D、方程两边乘x﹣1得1＝0，没有实数根，此选项错误．
故选：B．
3．（2020•闵行区一模）下列方程中，有实数根的是（　　）
A．x-1=-x B．x-1+x=0
C．xx2-1=1x2-1 D．x2+2020x﹣1＝0
【分析】A选项中，x-1≥0，﹣x＜0，则方程无实数根；B选项中，当x＝1时x-1+x有最小值1，则方程无实数根；C选项中，解得x＝1是方程的增根，则方程无实数根；D选项中，△＞0，则方程有两个不相等的实数根．
【解析】∵x-1≥0，x﹣1≥0，
∴x≥1，
∴﹣x＜0，
∴x-1≠-x，
∴A不正确；
∵x-1≥0，x≥0，
当x＝1时x-1+x有最小值1，
∴x-1+x≥1，
∴B不正确；
xx2-1=1x2-1两边同时乘以x2﹣1，得x＝1，
经检验x＝1是方程的增根，
∴方程无解；
∴C不正确；
x2+2020x﹣1＝0，
∵△＝20202+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴D正确；
故选：D．
4．（2020春•嘉定区期末）下列方程中，有实数根的是（　　）
A．x4+1＝0 B．x-2+1＝0
C．x+2=-x D．xx2-1=1x2-1
【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B、C进行判断；通过解分式方程可对D进行判断．
【解析】A、x4≥0，x4+1＞0，方程x4+1＝0没有实数解；
B、x-2=-1，则x﹣2＝1，解得x＝3，经检验原方程没有实数解；
C、两边平方得x+2＝x2，解得x1＝﹣1，x2＝2，经检验，原方程的解为x＝﹣1；
D、去分母得x＝1，经检验原方程没有实数解，
故选：C．
5．（2020春•浦东新区期末）下列方程中有实数解的是（　　）
A．x2+3x+4＝0 B．x-1+1＝0 C．xx-3=3x-3 D．x=-x
【分析】求出判别式即可判断A；根据算术平方根是一个非负数即可判断B；求出方程的解，代入x﹣3进行检验，即可判断C；解方程可得x＝0，进行检验，即可判断D．
【解析】A、x2+3x+4＝0，
△＝32﹣4×1×4＝﹣7＜0，
即此方程无实数解，故本选项错误；
B、可得x-1=-1，
∵算术平方根是一个非负数，
∴此方程无实数解，故本选项错误；
C、xx-3=3x-3，
方程两边都乘（x﹣3）得：x＝3，
∵x＝3代入x﹣3＝0，
∴x＝3是原方程的增根，即原方程无解，故本选项错误；
D、x=-x，x＝x2，解得x1＝0，x2＝1（是增根，舍去），故本选项正确；
故选：D．
6．（2020春•徐汇区期末）下列方程中，有实数解的是（　　）
A．x6+1＝0 B．2-x=2 C．x-2+3＝0 D．xx-2=2x-2
【分析】利用乘方的意义可对A进行判断；通过解无理方程可对B进行判断；利用二次根式的性质可对C进行判断；通过解分式方程可对D进行判断．
【解析】A、x6≥0，x6+1＞0，方程x6+1＝0没有实数解；
B、两边平方得2﹣x＝4，解得x＝﹣2，经检验x＝﹣2为原方程的解；
C、x-2≥0，则x-2+3＝0没有实数解；
D、去分母得x＝2，经检验原方程无解．
故选：B．
二．填空题（共18小题）
7．（2018•上海）方程组x-y=0x2+y=2的解是　x1=-2y1=-2，x2=1y2=1　．
【分析】方程组中的两个方程相加，即可得出一个一元二次方程，求出方程的解，再代入求出y即可．
【解析】x-y=0①x2+y=2②
②+①得：x2+x＝2，
解得：x＝﹣2或1，
把x＝﹣2代入①得：y＝﹣2，
把x＝1代入①得：y＝1，
所以原方程组的解为x1=-2y1=-2，x2=1y2=1，
故答案为：x1=-2y1=-2，x2=1y2=1．
8．（2016•上海）方程x-1=2的解是　x＝5　．
【分析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可．
【解析】方程两边平方得，x﹣1＝4，
解得，x＝5，
把x＝5代入方程，左边＝2，右边＝2，
左边＝右边，
则x＝5是原方程的解，
故答案为：x＝5．
9．（2017•上海）方程2x-3=1的解是　x＝2　．
【分析】根据无理方程的解法，首先，两边平方，解出x的值，然后，验根解答出即可．
【解析】2x-3=1，
两边平方得，2x﹣3＝1，
解得，x＝2；
经检验，x＝2是方程的根；
故答案为x＝2．
10．（2020•浦东新区三模）方程组x-y=3xy=-2的解是　x1=2y1=-1，x2=1y2=-2　．
【分析】观察方程组，选用代入法，即可达到降次的目的．
【解析】x-y=3①xy=-2②，
由①得x＝y+3③，
把③代入②式，整理得y2+3y+2＝0，
解得y1＝﹣1，y2＝﹣2．
把y1＝﹣1代入x＝y+3，得x1＝2，
把y2＝﹣2代入x＝y+3，得x2＝1．
故原方程组的解为x1=2y1=-1，x2=1y2=-2．
故答案为：x1=2y1=-1，x2=1y2=-2．
11．（2020•普陀区二模）如果把二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0化成两个一次方程，那么所得的两个一次方程分别是　x﹣2y＝0或x+y＝0　．
【分析】由于二元二次方程x2﹣xy﹣2y2＝0进行因式分解可以变为（x﹣2y）（x+y）＝0，即可解决问题．
【解析】∵x2﹣xy﹣2y2＝0，
∴（x﹣2y）（x+y）＝0，
∴x﹣2y＝0或x+y＝0．
故答案为：x﹣2y＝0或x+y＝0
12．（2020•普陀区二模）方程5x=-x的解是　x＝0　．
【分析】先两边平方得到x2﹣5x＝0，再把方程左边进行因式分解得到x（x﹣5）＝0，方程转化为两个一元一次方程：x＝0或x﹣5＝0，即可得到原方程的解为x1＝0，x2＝5，检验原方程的解为x＝0．
【解析】把方程5x=-x两边平方，得
5x＝x2，
∴x2﹣5x＝0，
∴x（x﹣5）＝0，
∴x＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝0，x2＝5．
检验：把x1＝0，x2＝5代入方程5x=-x，
可知x1＝0是原方程的根，x2＝5是原方程的增根，
所以原方程的解为x＝0．
故答案为：x＝0．
13．（2020•黄浦区二模）如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是　4　厘米．
【分析】设正方形的边长为x厘米，根据题意用x表示出矩形的两边，根据题意列出方程，解一元二次方程得到答案．
【解析】设正方形的边长为x厘米，则矩形的一边长为2x厘米，另一边长为（x﹣1）厘米，
由题意得，2x（x﹣1）﹣x2＝8，
整理得，x2﹣2x﹣8＝0，
解得，x1＝﹣2（舍去），x2＝4，
故答案为：4．
14．（2020•松江区二模）方程组x+y=2xy=-3的解是　x=3y=-1或x=-1y=3　．
【分析】根据代入消元法解方程组即可得到结论．
【解析】方程组x+y=2①xy=-3②，
由①得，y＝2﹣x③，
把③代入②得，x（2﹣x）＝﹣3，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
把x1＝3，x2＝﹣1分别代入③得，y1＝﹣1，y2＝3，
∴原方程组的解为：x=3y=-1或x=-1y=3．
故答案为：x=3y=-1或x=-1y=3．
15．（2020•嘉定区二模）方程x-2=3的根是　x＝11　．
【分析】把方程两边平方，再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解析】两边平方得x﹣2＝9，解得x＝11，
经检验x＝11为原方程的解．
故答案为x＝11．
16．（2020•静安区二模）方程x-4⋅x+2=0的根为　x＝4　．
【分析】利用有理数积的乘法得到x﹣4＝0或x+2＝0，然后解一元一次方程后进行检验确定原方程的解．
【解析】根据题意得x﹣4＝0或x+2＝0，
解得x＝4或x＝﹣2，
经检验x＝4为原方程的解．
故答案为x＝4．
17．（2020•宝山区二模）方程x+x-1=1的解是　x＝1　．
【分析】先移项得到x-1=1﹣x，再两边平方得x﹣1＝（1﹣x）2，解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．
【解析】x-1=1﹣x，
两边平方得x﹣1＝（1﹣x）2，
整理得x2﹣3x+2＝0，解得x1＝1，x2＝2，
经检验x＝2为原方程的增根，x＝1为原方程的解，
所以原方程的解为x＝1．
故答案为x＝1．
18．（2020•闵行区二模）方程x-2⋅x-1=0的解是　x＝2　．
【分析】两边平方得出关于x的整式方程，解之求得x的值，再根据二次根式有意义的条件得出符合方程的x的值，可得答案．
【解析】两边平方得（x﹣2）（x﹣1）＝0，
则x﹣2＝0或x﹣1＝0，
解得：x＝2或x＝1，
又x-2≥0x-1≥0，
解得：x≥2，
则x＝2，
故答案为：x＝2．
19．（2020•奉贤区二模）方程x+1=4的解是　x＝15　．
【分析】将无理方程化为一元一次方程，然后求解即可．
【解析】原方程变形为：x+1＝16，
∴x＝15，
x＝15时，被开方数x+1＝16＞0‘
∴方程的解为x＝15．
故答案为x＝15．’
20．（2020•浦东新区二模）方程3-2x=x的根是　1　．
【分析】此题需把方程两边平方去根号后求解，然后把求得的值进行检验即可得出答案．
【解析】两边平方得：3﹣2x＝x2，
整理得：x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
解得：x1＝﹣3，x＝1，
检验：当x＝﹣3时，原方程的左边≠右边，
当x＝1时，原方程的左边＝右边，
则x＝1是原方程的根．
故答案为：1．
21．（2020•虹口区二模）方程2-x=1的解为　x＝1　．
【分析】方程两边平方即可去掉绝对值符号，解方程求得x的值，然后把x的值代入进行检验即可．
【解析】方程两边平方，得：2﹣x＝1，
解得：x＝1．
经检验：x＝1是方程的解．
故答案是：x＝1．
22．（2020•金山区二模）方程2-x=x的根是　x＝1　．
【分析】把方程两边平方去根号后即可转化成整式方程，解方程即可求得x的值，然后进行检验即可．
【解析】两边平方得：2﹣x＝x2，
整理得：x2+x﹣2＝0，
解得：x＝1或﹣2．
经检验：x＝1是方程的解，x＝﹣2不是方程的解．
故答案是：x＝1．
23．（2020•杨浦区二模）方程x+2=x的根是　x＝2　．
【分析】先把方程两边平方，使原方程化为整式方程x+2＝x2，解此一元二次方程得到x1＝2，x2＝﹣1，把它们分别代入原方程得到x2＝﹣1是原方程的增根，由此得到原方程的根为x＝2．
【解析】方程两边平方得，x+2＝x2，
解方程x2﹣x﹣2＝0得x1＝2，x2＝﹣1，
经检验x2＝﹣1是原方程的增根，
所以原方程的根为x＝2．
故答案为：x＝2．
24．（2019•奉贤区二模）方程x⋅x-1=0的根是　x＝1　．
【分析】将无理方程化为一元二次方程，然后求解即可．
【解析】原方程变形为x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x＝0或x＝1，
∴x＝0时，被开方数x﹣1＝﹣1＜0，
∴x＝0不符合题意，舍去，
∴方程的根为x＝1，
故答案为x＝1．
三．解答题（共11小题）
25．（2019•上海）解方程：2xx-2-8x2-2x=1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解析】去分母得：2x2﹣8＝x2﹣2x，即x2+2x﹣8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x+4）＝0，
解得：x＝2或x＝﹣4，
经检验x＝2是增根，分式方程的解为x＝﹣4．
26．（2017•上海）解方程：3x2-3x-1x-3=1．
【分析】两边乘x（x﹣3）把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
【解析】两边乘x（x﹣3）得到3﹣x＝x2﹣3x，
∴x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x﹣3）（x+1）＝0，
∴x＝3或﹣1，
经检验x＝3是原方程的增根，
∴原方程的解为x＝﹣1．
27．（2016•上海）解方程：1x-2-4x2-4=1．
【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．
【解析】去分母得，x+2﹣4＝x2﹣4，
移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣1，
经检验x＝2是增根，舍去；x＝﹣1是原方程的根，
所以原方程的根是x＝﹣1．
28．（2020•浦东新区二模）学校开展“书香校园”活动，购买了一批图书．已知购买科普类图书花费了10000元，购买文学类图书花费了9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本，科普类图书平均每本的价格是多少元？
【分析】根据题意表示出科普类图书和文学类图书的平均价格，再利用购买科普类图书的数量比购买文学类图书数量少100本得出等式求出答案．
【解析】设科普类图书平均每本的价格是x元，则文学类图书平均每本的价格为（x﹣5）元，根据题意可得：
10000x=9000x-5-100，
解得：x＝20，
经检验得：x＝20是原方程的根，
答：科普类图书平均每本的价格是20元．
29．（2020•崇明区二模）解方程组：x+y=6x2-3xy+2y2=0
【分析】先对x2﹣3xy+2y2＝0分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立①，组成两个二元一次方程组，解之即可．
【解析】将方程x2﹣3xy+2y2＝0 的左边因式分解，得x﹣2y＝0或x﹣y＝0，
原方程组可以化为x+y=6x-2y=0或x+y=6x-y=0，
解这两个方程组得x=4y=2或x=3y=3，
所以原方程组的解是x1=4y1=2，x2=3y2=3．
30．（2020•杨浦区二模）解方程组：x+2y=12x2-3xy+2y2=0．
【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程，即可组成方程组，即可求解．
【解析】由（2）得（x﹣y）（x﹣2y）＝0．
∴x﹣y＝0或x﹣2y＝0．（4分）
原方程组可化为x+2y=12x-y=0x+2y=12x-2y=0（4分）
解这两个方程组，得原方程组的解为x1=4y1=4x2=6y2=3（2分）
另解：由（1）得x＝12﹣2y．（3）（2分）
把（3）代入（2），得（12﹣2y）2﹣3（12﹣2y）y+2y2＝0．（2分）
整理，得y2﹣7y+12＝0．（2分）
解得y1＝4，y2＝3．（2分）
分别代入（3），得x1＝4，x2＝6．（1分）
∴原方程组的解为x1=4y1=4x2=6y2=3（1分）
31．（2019•青浦区二模）解方程组：x2+xy-6y2=02x+y=1
【分析】先将原方程组化为两个二元一次方程组，然后求解即可．
【解析】原方程组变形为
(x+3y)(x-2y)=02x+y=1，
∴x+3y=02x+y=1或x-2y=02x+y=1
∴原方程组的解为 x=25y=15或x=35y=-15
32．（2019•静安区二模）解方程组：x-y=6x2+3xy-10y2=0
【分析】先将二次方程化为两个一次方程，则原方程组化为两个二元一次方程组，解方程组即可．
【解析】x-y=6①x2+3xy-10y2=0②
由②得：（x﹣2y）（x+5y）＝0
原方程组可化为：x-y=6x-2y=0或x-y=6x+5y=0
解得：x1=12y1=6，x2=5y2=-1．
∴原方程组的解为x1=12y1=6，x2=5y2=-1．
33．（2020春•浦东新区期末）解方程组：x2+4xy+4y2=9(1)x-y=6(2)．
【分析】先降次转化成两个一次方程组，解方程组即可求解．
【解析】x2+4xy+4y2=9(1)x-y=6(2)，
由方程（1）可得x+2y＝﹣3或x+2y＝3，
则方程组可变为x+2y=-3x-y=6或x+2y=3x-y=6，
解得x=3y=-3或x=5y=-1．
34．（2019秋•闵行区期末）小华周一早展起来，步行到离家900米的学校去上学，到了学校他发现数学课本忘在家中了，于是他立即按照原路步行回家，拿到数学课本后立即按照原路改骑自行车返回学校，已知小华骑自行车的速度是他步行速度的3倍，步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟．小华骑自行车的速度是多少米每分？
【分析】设小华步行的速度是x米每分，则小华骑自行车的速度是3x米每分，根据时间＝路程÷速度结合小华步行从学校到家所用的时间比他骑自行车从家到学校所用的时间多10分钟，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解析】设小华步行的速度是x米每分，则小华骑自行车的速度是3x米每分，
依题意，得：900x-9003x=10，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意，
∴3x＝180．
答：小华骑自行车的速度是180米每分．
35．（2019秋•嘉定区期末）A、B两地相距80千米，甲与乙开车都从A地前往B地，甲开车从A地出发16小时后，乙出从A地出发，已知乙开车速度是甲开车速度的1.5倍，结果乙比甲提前10分钟到达B地，求甲开的速度．
【分析】可以用方程思想来求，设甲的速度是x千米/小时，则乙的速度是1.5x千米/小时，再由结果乙比甲提前10分钟到达B地列方程可求得未知数．
【解析】设甲的速度为x千米/小时，则乙的速度为1.5x千米/小时，
由题意得：80x-16=801.5x+1060
整理得：80x=801.5x+13
方程两边同乘以3x，得：240＝160+x．
解得：x＝80．
经检验：x＝80是原方程的解，且符合题意．
答：甲的速度为80千米/小时．