【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题05 函数的单调性与最值（含解析）

考点05 函数的单调性与最值
1．函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是( )
A． B．
C． D．
2．函数,则使不等式成立的的取值范围是
A． B． C． D．
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是(　　)
A.[1,2] B. C. D.(0,2]
4.若x∈(e-1,1),a=ln x,b=,c=eln x,则(　　)
A.b>c>a B.c>b>a C.b>a>c D.a>b>c
5.已知函数f(x)=x+ ,g(x)=2x+a,若任意x1∈,存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(　　)
A.a≤1 B.a≥1 C.a≤0 D.a≥0
6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且x≥1时,f(x)=2x+,若f(loga2a)<6(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是(　　)
A.∪(1,2) B.∪(2,+∞)
C.∪(1,2) D.∪(2,+∞)
7.已知函数f(x)=lg(x+)+2x+sin x,f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确的是(　　)
A.x1>x2 B.x1 C.x1+x2<0 D.x1+x2>0
8.已知f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,则f(x)的最小值为(　　)
A.0 B.2
C.- D.不存在
9.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,则x+y的最大值为 (　　)
A.2-5 B.-5 C.2+5 D.5
10.若f(x)=lo(ax2+2x-1),g(x)=,若不论x2取何值,f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
11．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
12．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于(　　)
A．－1 B．1
C．6 D．12
13．已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0，2)单调递增
B．f(x)在(0，2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
14．已知f(x)＝，不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(0，2) D．(－2，0)

15.设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为　　　　　. 
16.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为　　　　　. 
17．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)＞f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
18．函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
19．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
20.已知定义在R上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________
21．如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数：①y＝ex＋x；②y＝x2；③y＝3x－sin x；④f(x)＝
以上函数是“H函数”的所有序号为________．
22．判断函数f(x)=ax+(a>1),x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.
23． (1)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是 (　　)
A.(-1,1] B.[1,3)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
(2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是　　　　. 
24．已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有>0.记a=,b=,c=,则 (　　)
A.a C.c 25．已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；
②函数f(x)在R上是单调函数；
③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；
④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜.其中正确命题的所有序号是________．










考点05 函数的单调性与最值
1．函数在[0，2]上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】函数是偶函数，则其图象关于轴对称，所以函数的图像关于对称，则，，函数在上单调递增，则有
，所以.选.
2．函数,则使不等式成立的的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意，函数是定义域为，
且是定义域上的偶函数，且在是单调递增函数，
所以，即，
即，即，
平方得，即，解的或，
所以不等式的解集为，故选D．
3.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间[0,+∞)内递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是(　　)
A.[1,2] B. C. D.(0,2]
【答案】C　
【解析】∵loa=-log2a,
∴f(log2a)+f(loa)=f(log2a)+f(-log2a)=2f(log2a),
原不等式变为2f(log2a)≤2f(1),即f(log2a)≤f(1).
又因为f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)内递增,
所以|log2a|≤1,即-1≤log2a≤1,解得≤a≤2.故选C.
4.若x∈(e-1,1),a=ln x,b=,c=eln x,则(　　)
A.b>c>a B.c>b>a C.b>a>c D.a>b>c
【答案】A　
【解析】∵x∈(e-1,1),∴a=ln x∈(-1,0),
b=∈(1,2),c=eln x=x∈(e-1,1),
∴b>c>a.
5.已知函数f(x)=x+ ,g(x)=2x+a,若任意x1∈,存在x2∈[2,3]使得f(x1)≥g(x2),则实数a的取值范围是(　　)
A.a≤1 B.a≥1 C.a≤0 D.a≥0
【答案】C　
【解析】当x∈时,f(x)≥2=4,当且仅当x=2时取等号,∴f(x)min=4.当x∈[2,3]时,g(x)递增,故g(x)min=22+a=4+a.
依题意知f(x)min≥g(x)min,解得a≤0.
6.已知定义域为R的函数f(x)满足f(2-x)=f(x),且x≥1时,f(x)=2x+,若f(loga2a)<6(a>0且a≠1),则实数a的取值范围是(　　)
A.∪(1,2) B.∪(2,+∞)
C.∪(1,2) D.∪(2,+∞)
【答案】B　
【解析】由f(2-x)=f(x),可知f(x)的图像关于直线x=1对称,
∵x≥1时,f(x)=2x+,
∴f(x)在[1,+∞)上是增加的.
∵f(2)=6,∴f(loga2a)<6⇔f(loga2a) ∴|loga2a-1|<1,即|loga2|<1,解得a>2或0 7.已知函数f(x)=lg(x+)+2x+sin x,f(x1)+f(x2)>0,则下列不等式中正确的是(　　)
A.x1>x2 B.x1 C.x1+x2<0 D.x1+x2>0
【答案】D　
【解析】函数定义域为R,∵f(x)+f(-x)=lg(x+)+2x+sin x+lg(-x+)-2x-sin x=lg 1=0,∴函数f(x)是奇函数,
由y=lg(x+)在(0,+∞)上是增加的,
令y=2x+sin x,由y'=2+cos x>0知,y=2x+sin x在(0,+∞)上是增函数,
∴函数f(x)在x≥0时递增,因此f(x)在R上递增.
∵f(x1)+f(x2)>0,∴f(x1)>-f(x2),∴f(x1)>f(-x2),
∴x1>-x2,即x1+x2>0,故选D.
8.已知f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,则f(x)的最小值为(　　)
A.0 B.2
C.- D.不存在
【答案】A　
【解析】在同一平面直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2+3x+2的图像,由f(x)表示x+2与x2+3x+2中的较大者,可得f(x)的图像如图中实线部分.求f(x)的最小值即求最低点的纵坐标,由图可得,当x=-2时,函数f(x)有最小值0,故选A.
9.已知函数f(x)是定义在R上的单调函数,且对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),若动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,则x+y的最大值为 (　　)
A.2-5 B.-5 C.2+5 D.5
【答案】A　
【解析】对任意的x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y),
令x=0,y=0,都有f(0+0)=f(0)+f(0)⇒f(0)=0,
动点P(x,y)满足等式f(x2+2x+2)+f(y2+8y+3)=0,
即有f(x2+y2+2x+8y+5)=0=f(0),由函数f(x)是定义在R上的函数,
可得x2+y2+2x+8y+5=0,化为(x+1)2+(y+4)2=12,
可令x=-1+2cos α,y=-4+2sin α,α∈(0,2π),
则x+y=2(cos α+sin α)-5=2cos-5,
当cos=1即α=时,x+y取得最大值2-5,故选A.
10.若f(x)=lo(ax2+2x-1),g(x)=,若不论x2取何值,f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】D　
【解析】∵g(x) ===2sin,
∴g(x2)max=2.
f(x1)>g(x2)对任意x1∈恒成立,即f(x1)min>2恒成立;
等价于0 即 设p(x1)==-1,q(x1)==-,
∵x1∈,
∴∈,
∴p(x1)max=-1=-,
q(x1)min=-,∴a∈.故选D.
11．已知函数f(x)＝log2x＋，若x1∈(1，2)，x2∈(2，＋∞)，则(　　)
A．f(x1)＜0，f(x2)＜0 B．f(x1)＜0，f(x2)＞0
C．f(x1)＞0，f(x2)＜0 D．f(x1)＞0，f(x2)＞0
【答案】B
【解析】因为函数y＝log2x与函数y＝＝－的单调性在(1，＋∞)上均为增函数，所以函数f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上为增函数，且f(2)＝0，所以当x1∈(1，2)时，f(x1)＜f(2)＝0；当x2∈(2，＋∞)时，f(x2)＞f(2)＝0，即f(x1)＜0，f(x2)＞0.
12．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b＝a；当a＜b时，a⊕b＝b2，则函数f(x)＝(1⊕x)x－(2⊕x)，x∈[－2，2]的最大值等于(　　)
A．－1 B．1
C．6 D．12
【答案】C.
【解析】由已知得当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2；
当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2.
∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域内都为增函数．
∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.
13．已知函数f(x)＝ln x＋ln(2－x)，则(　　)
A．f(x)在(0，2)单调递增
B．f(x)在(0，2)单调递减
C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称
D．y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称
【答案】C
【解析】f(x)的定义域为(0，2)．由于f(x)＝ln x＋ln(2－x)＝ln(2x－x2)，从而对f(x)的研究可转化为对二次函数g(x)＝2x－x2(x∈(0，2))的研究．因为g(x)＝2x－x2＝－(x－1)2＋1，所以g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，直线x＝1是y＝g(x)的图象的对称轴．从而排除A，B，D，故选C.
14．已知f(x)＝，不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2) B．(－∞，0)
C．(0，2) D．(－2，0)

【答案】A
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，易知函数f(x)在R上为单调递减函数，所以不等式f(x＋a)＞f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立等价于x＋a＜2a－x，即x＜在[a，a＋1]上恒成立，所以只需a＋1＜，即a＜－2.故选A.
15.设f(x)是定义在R上的增函数,若f(1-ax-x2)≤f(2-a)对任意a∈[-1,1]恒成立,则x的取值范围为　　　　　. 
【答案】(-∞,-1]∪[0,+∞)　
【解析】因为f(x)是R上的增函数,所以1-ax-x2≤2-a,a∈[-1,1].(*)
(*)式可化为(x-1)a+x2+1≥0对a∈[-1,1]恒成立.
令g(a)=(x-1)a+x2+1.
则解得x≥0或x≤-1,
即实数x的取值范围是(-∞,-1]∪[0,+∞).
16.函数f(x)=-log2(x+2)在区间[-1,1]上的最大值为　　　　　. 
【答案】3　
【解析】因为y=在R上递减,y=log2(x+2)在区间[-1,1]上递增,所以f(x)在区间[-1,1]上递减.
所以f(x)在区间[-1,1]上的最大值为f(-1)=3.
17．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)＞f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．
【答案】(－3，－1)∪(3，＋∞)
【解析】由已知可得解得－3＜a＜－1或a＞3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞)．
18．函数f(x)＝－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________．
【答案】3
【解析】由于y＝在R上单调递减，y＝－log2(x＋2)在[－1，1]上单调递减，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.
19．设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________．
【答案】[0，1)
【解析】由题意知g(x)＝函数图象如图所示，

由函数图象易得函数g(x)的单调递减区间是[0，1)．
20.已知定义在R上的偶函数在上递减，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是__________
【答案】
【解析】因为函数是偶函数，所以，即，又因为在上递减，所以，即，即 在上恒成立， [来源:Z.xx.k.Com]
令，当时，当，故当，令，则，当时，，在上为减数，所以，所以 .
.
21．如果对定义在R上的函数f(x)，对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)，则称函数f(x)为“H函数”．给出下列函数：①y＝ex＋x；②y＝x2；③y＝3x－sin x；④f(x)＝
以上函数是“H函数”的所有序号为________．
【答案】①③
【解析】因为对任意两个不相等的实数x1，x2，
都有x1f(x1)＋x2f(x2)＞x1f(x2)＋x2f(x1)恒成立，
所以不等式等价为(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0恒成立，
即函数f(x)是定义在R上的增函数．
①函数y＝ex＋x在定义域上为增函数，满足条件．
②函数y＝x2在定义域上不单调，不满足条件．
③y＝3x－sin x，y′＝3－cos x＞0，函数单调递增，满足条件．
④f(x)＝当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上，满足“H函数”的函数为①③.
22．判断函数f(x)=ax+(a>1),x∈(-2,+∞)的单调性,并用单调性的定义证明你的结论.
【解析】该函数在(-2,+∞)上单调递增.证明如下:
任取x1,x2∈(-2,+∞),不妨设x10,x1+2>0,x2+2>0,
又a>1,
所以>,即有->0,
所以f(x2)-f(x1)=+--
=(-)+
=(-)+>0,
故函数f(x)在(-2,+∞)上单调递增.
23． (1)函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是 (　　)
A.(-1,1] B.[1,3)
C.(-∞,1] D.[1,+∞)
(2)设函数f(x)=g(x)=x2f(x-1),则函数g(x)的单调递减区间是　　　　. 
【答案】(1)A　(2)[0,1)　
【解析】 (1)令t=-x2+2x+3>0,求得-1 由二次函数的性质可知,t=-(x-1)2+4,x∈(-1,3)的单调递增区间为(-1,1],
故函数y=ln(-x2+2x+3)的单调递增区间是(-1,1].
(2)由题意知g(x)=该函数的图像如图所示,其单调递减区间是[0,1).
24．已知f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有>0.记a=,b=,c=,则 (　　)
A.a C.c 【答案】B　
【解析】∵f(x)是定义在(0,+∞)上的函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有>0,∴函数y=是(0,+∞)上的增函数.∵1<30.2<30.5=<2,0<0.32<1,log25>2,∴0<0.32<30.2 25．已知函数f(x)＝(a是常数且a＞0)．对于下列命题：
①函数f(x)的最小值是－1；
②函数f(x)在R上是单调函数；
③若f(x)＞0在上恒成立，则a的取值范围是a＞1；
④对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜.其中正确命题的所有序号是________．


【答案】①③④
【解析】根据题意可画出函数图象， 由图象可知，①显然正确；
函数f(x)在R上不是单调函数，故②错误；若f(x)＞0在上恒成立，
则2a×－1＞0，a＞1，故③正确；由图象可知在(－∞，0)上对任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜成立，故④正确．