【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题13 变化率与导数、导数的运算（含解析）

考点13 变化率与导数、导数的运算
1、已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f ′(1)的值是(　　)
A.　　 B．1　　
C．　 D．2
2、曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是(　　)
A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
3、.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是(　　)
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0
4、已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f ′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是(　　)
A．－　　　 B．－　　
C． D．
5、过函数f(x)＝x3－x2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为(　　)
A. B．∪
C. D．
6、已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为(　　)
A.y=3x+1 B.y=-3x
C.y=-3x+1 D.y=3x-3
7、已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋ln x，则f ′(1)＝(　　)
A．－e B．－1
C．1 D．e
8、已知f ′(x)是f(x)＝sin x＋acos x的导函数，且f ′＝，则实数a的值为(　　)
A. B．
C． D．1
9、已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为(　　)
A.x+y-1=0 B.x-y-1=0
C.x+y+1=0 D. x-y+1=0
10、已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．
C. D．(0,3)
11、已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的对称中心为M(x0，y0)，记函数f(x)的导函数为f ′(x)，f ′(x)的导函数为f ″(x)，则有f ″(x0)＝0.若函数f(x)＝x3－3x2，则f＋f＋f＋…＋f＋f＝(　　)
A．－8 066　　 B．－4 033　　
C．8 066 D．4 033
12、已知函数f(x)＝ln x＋tan α的导函数为f ′(x)，若使得f ′(x0)＝f(x0)成立的x0满足x0<1，则α的取值范围为(　　)
A.　　 B．
C. D．
13、已知函数f(x)=exln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为　　　　　　. 
14、已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－·ex图象的切线，则实数a＝________.
15、已知函数f(x)=x++b(x≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b=　　　　　. 
16、已知f(x)＝cos x，则f(π)＋f ′＝________.
17、函数f(x)=xex的图像在点(1,f(1))处的切线方程是　　　　　. 
18、已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－ln x上存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是________．
19、若函数f(x)= x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　　. 
20、直线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=　　　　　.
21、已知函数f(x)＝x3－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；
(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．




考点13 变化率与导数、导数的运算
1、已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程x－2y＋1＝0，则f(1)＋2f ′(1)的值是(　　)
A.　　 B．1　　
C．　 D．2
【答案】D
【解析】∵函数y＝f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，∴f(1)＝1, f ′(1)＝.∴f(1)＋2f ′(1)＝2.故选D.
2、曲线y＝sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是(　　)
A．x－3y＋3＝0 B．x－2y＋2＝0
C．2x－y＋1＝0 D．3x－y＋1＝0
【答案】C
【解析】y′＝cos x＋ex，故切线斜率为k＝2，切线方程为y＝2x＋1，即2x－y＋1＝0.
3、.已知奇函数y=f(x)在区间(-∞,0]上的解析式为f(x)=x2+x,则曲线y=f(x)在横坐标为1的点处的切线方程是(　　)
A.x+y+1=0 B.x+y-1=0
C.3x-y-1=0 D.3x-y+1=0
【答案】B　
【解析】由函数y=f(x)为奇函数,可得f(x)在[0,+∞)内的解析式为f(x)=-x2+x,故切点为(1,0).
因为f'(x)=-2x+1,
所以f'(1)=-1,
故切线方程为y=-(x-1),
即x+y-1=0.
4、已知函数f(x)＝sin x－cos x，且f ′(x)＝f(x)，则tan 2x的值是(　　)
A．－　　　 B．－　　
C． D．
【答案】D
【解析】因为f ′(x)＝cos x＋sin x＝sin x－cos x，所以tan x＝－3，所以tan 2x＝＝＝.故选D.
5、过函数f(x)＝x3－x2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为(　　)
A. B．∪
C. D．
【答案】B
【解析】设切线的倾斜角为α.由题意得k＝f′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，即k＝tan α≥－1，解得0≤α<或≤α<π，即切线倾斜角的范围为∪.故选B.
6、已知a为实数,函数f(x)=x3+ax2+(a-3)x的导函数为f'(x),且f'(x)是偶函数,则曲线y=f(x)在原点处的切线方程为(　　)
A.y=3x+1 B.y=-3x
C.y=-3x+1 D.y=3x-3
【答案】B　
【解析】因为f(x)=x3+ax2+(a-3)x,所以f'(x)=3x2+2ax+(a-3).
又f'(x)为偶函数,所以a=0,
所以f(x)=x3-3x,f'(x)=3x2-3.所以f'(0)=-3.
故所求的切线方程为y=-3x.
7、已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)＝2xf ′(1)＋ln x，则f ′(1)＝(　　)
A．－e B．－1
C．1 D．e
【答案】B
【解析】由题可得f′(x)＝2f′(1)＋，则f′(1)＝2f′(1)＋1，解得f′(1)＝－1，所以选B.
8、已知f ′(x)是f(x)＝sin x＋acos x的导函数，且f ′＝，则实数a的值为(　　)
A. B．
C． D．1
【答案】B
【解析】由题意可得f′(x)＝cos x－asin x，则由f′＝可得－a＝，解得a＝.故选B.
9、已知函数f(x)=xln x,若直线l过点(0,-1),并且与曲线y=f(x)相切,则直线l的方程为(　　)
A.x+y-1=0 B.x-y-1=0
C.x+y+1=0 D. x-y+1=0
【答案】B　
【解析】设直线l的方程为y=kx-1,直线l与f(x)的图像相切于点(x0,y0),
则解得
∴直线l的方程为y=x-1,即x-y-1=0.
10、已知曲线f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．
C. D．(0,3)
【答案】B
【解析】由题得f′(x)＝2e2x－2ex＋a，则方程2e2x－2ex＋a＝3有两个不同的正解，令t＝ex(t>0)，且g(t)＝2t2－2t＋a－3，则由图像可知，有g(0)>0且Δ>0，即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得3 11、已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的对称中心为M(x0，y0)，记函数f(x)的导函数为f ′(x)，f ′(x)的导函数为f ″(x)，则有f ″(x0)＝0.若函数f(x)＝x3－3x2，则f＋f＋f＋…＋f＋f＝(　　)
A．－8 066　　 B．－4 033　　
C．8 066 D．4 033
【答案】A
【解析】由f(x)＝x3－3x2得f ′(x)＝3x2－6x，f ″(x)＝6x－6，又f ″(x0)＝0，所以x0＝1且f(1)＝－2，即函数f(x)的对称中心为(1，－2)，即f(x)＋f(2－x)＝－4.令S＝f＋f＋f＋…＋f＋f，则S＝f＋f＋…＋f＋f＋f，所以2S＝4 033×(－4)＝－16 132，S＝－8 066.
12、已知函数f(x)＝ln x＋tan α的导函数为f ′(x)，若使得f ′(x0)＝f(x0)成立的x0满足x0<1，则α的取值范围为(　　)
A.　　 B．
C. D．
【答案】B
【解析】∵f ′(x)＝，∴f ′(x0)＝，由f ′(x0)＝f(x0)，得＝ln x0＋tan α，∴tan α＝－ln x0.又01，即tan α>1，又α∈，∴α∈.故选B.
13、已知函数f(x)=exln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为　　　　　　. 
【答案】e　
【解析】∵f(x)=exln x,∴f'(x)=exln x+.
∴f'(1)=eln 1+=e.
14、已知直线y＝－x＋1是函数f(x)＝－·ex图象的切线，则实数a＝________.
【答案】e2
【解析】设切点为(x0，y0)，则f ′(x0)＝－·ex0＝－1，∴ex0＝a，又－·ex0＝－x0＋1，∴x0＝2，∴a＝e2.
15、已知函数f(x)=x++b(x≠0)在点(1,f(1))处的切线方程为y=2x+5,则a-b=　　　　　. 
【答案】-8　
【解析】∵f'(x)=1-=,
∴f'(1)=1-a=2,∴a=-1,f(1)=1+a+b=b,
∴在点(1,f(1))处的切线方程为y-b=2(x-1),
∴b-2=5,b=7,∴a-b=-8.
16、已知f(x)＝cos x，则f(π)＋f ′＝________.
【答案】－
【解析】f′(x)＝，当x＝时，f ′＝－，又f(π)＝－，所以f(π)＋f′＝－.
17、函数f(x)=xex的图像在点(1,f(1))处的切线方程是　　　　　. 
【答案】y=2ex-e　
【解析】∵f(x)=xex,∴f(1)=e,f'(x)=ex+xex,
∴f'(1)=2e,∴f(x)的图像在点(1,f(1))处的切线方程为y-e=2e(x-1),即y=2ex-e.
18、已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－ln x上存在与直线x＋y－1＝0垂直的切线，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】由题意知曲线的切线斜率为1，所以y′＝2ax＋3－＝1有正根，即2ax2＋2x－1＝0有正根．当a≥0时，显然满足题意；当a＜0时，需满足Δ≥0，解得－≤a＜0.综上，a≥－.
19、若函数f(x)= x2-ax+ln x存在垂直于y轴的切线,则实数a的取值范围是　　　　　. 
【答案】[2,+∞)　
【解析】∵f(x)= x2-ax+ln x,
∴f'(x)=x-a+.
∵f(x)的图像存在垂直于y轴的切线,
∴f'(x)存在零点,
∴x+-a=0有解,
∴a=x+≥2(x>0).
20、直线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=　　　　　.
【答案】-3　
【解析】设f(x)=(ax+1)ex,
∵f'(x)=a·ex+(ax+1)ex=(ax+a+1)ex,
∴f(x)=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线斜率k=f'(0)=a+1=-2,∴a=-3.
21、已知函数f(x)＝x3－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点M(1,0)处的切线方程；
(2)如果过点(1，b)可作曲线y＝f(x)的三条切线，求实数b的取值范围．
【答案】(1) 2x－y－2＝0 (2) (－1,0)
【解析】(1)f′(x)＝3x2－1，∴f′(1)＝2.
故切线方程为y－0＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.
(2)设切点为(x0，x－x0)，则切线方程为
y－(x－x0)＝f′(x0)(x－x0)．
又切线过点(1，b)，所以(3x－1)(1－x0)＋x－x0＝b，
即2x－3x＋b＋1＝0.
由题意，上述关于x0的方程有三个不同的实数解．
记g(x)＝2x3－3x2＋b＋1，则g(x)有三个不同的零点，
而g′(x)＝6x(x－1)，令g′(x)＝0得x＝0或x＝1，则结合图像可知g(0)g(1)<0即可，可得b∈(－1,0)．