【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题15 定积分与微积分基本定理（含解析）
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1．如图，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )
A． B． C． D．
2．如图，在半径为的圆内，有一条以圆心为中心，以为周期的曲线，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．如图，在矩形中的曲线是，的一部分，点，，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B．
C． D．
4．曲线与直线围成的平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．下图是函数与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图所示，点，是曲线上一点，向矩形内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知，则多项式的展开式中的系数为（ ）
A．-56 B．-15 C．15 D．56
8．已知为常数，，则的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
9．在二项式的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．直线与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为，则展开式中，的系数为（ ）
A．20 B．-20 C．5 D．-5
11．如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．函数为奇函数，则 ( )
A． B． C． D．
13．如图，正方形的四个顶点，及抛物线和,若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．二次函数的图象如图所示，则定积分（ ）
A． B． C．2 D．3
15．过坐标原点作曲线 的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为______
16．若,的展开式中常数项为________．
17．已知实数x，y满足不等式组其中，则的最大值是_____．
18．设在，则展开式中的系数为______．
19．若，则的展开式中，含项的系数为__________．
20．如图所示，阴影部分由函数图像与轴围成，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为__________．
21．若，则的展开式中常数项为______．
22．直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．
23．设，则的展开式中的常数项为_____.（用数字填写）
24．设，，为自然对数的底数，若，则的最小值是______。
25．已知函数则的值为____．
考点15 定积分与微积分基本定理
1．如图，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意，阴影部分的面积为，
又矩形的面积为，
所以在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为
.
故选B．
2．如图，在半径为的圆内，有一条以圆心为中心，以为周期的曲线，若在圆内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【解析】
由题意知：圆的面积为：
周期为可得：
设圆的圆心为：
曲线为：
阴影部分面积
所求概率
本题正确选项：
3．如图，在矩形中的曲线是，的一部分，点，，，在矩形内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
阴影部分面积为
矩形的面积为
则此点落在阴影部分的概率
故选B．
4．曲线与直线围成的平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
作出曲线与直线围成的平面图形如下：
由解得：或，
所以曲线与直线围成的平面图形的面积为
.
故选D．
5．下图是函数与函数在第一象限的图象，则阴影部分的面积是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由题知A(1,1)，阴影部分的面积为S
则S==
故选：A．
6．如图所示，点，是曲线上一点，向矩形内随机投一点，则该点落在图中阴影内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
阴影部分面积为，
所以所求概率为，选A.
7．已知，则多项式的展开式中的系数为（ ）
A．-56 B．-15 C．15 D．56
【答案】C
【解析】
，
所以，故，，
令，即，所以系数为.
故选：C．
8．已知为常数，，则的展开式中的常数项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
a2xdx＝x21，
∴（）6的通项公式为Tr+1＝C6r＝（﹣1）rC6r，
令0，解得r＝2，
则二项展开式中的常数项为（﹣1）2C62＝15，
故选C.
9．在二项式的展开式中，其常数项是15.如下图所示，阴影部分是由曲线和圆及轴围成的封闭图形，则封闭图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
（x2+）6展开式中，由通项公式可得 ,
令12﹣3r＝0，可得r＝4,即常数项为，可得＝15，解得a＝2．
曲线y＝x2和圆x2+y2＝2的在第一象限的交点为（1，1）
所以阴影部分的面积为．
故选：B．
10．直线与曲线在第一象限围成的封闭图形面积为，则展开式中，的系数为（ ）
A．20 B．-20 C．5 D．-5
【答案】A
【解析】
由， 得x=0，或x=2，或x=-2，因为a为在第一象限围成的封闭图形面积，
所以，
展开式中的第项为，
由可得，所以展开式中的系数为.
11．如图，在直角坐标系中，过坐标原点作曲线的切线，切点为，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设切点，
所以切线方程，又因为过原点
所以解得
所以点P
因为与轴在围成的面积是
则阴影部分的面积为
而矩形的面积为
故向矩形中随机撒一粒黄豆，则它落到阴影部分的概率为
故选A．
12．函数为奇函数，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因为为奇函数，所以，即；
所以.
故选D．
13．如图，正方形的四个顶点，及抛物线和,若将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
∵A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1），
∴正方体的ABCD的面积S＝2×2＝4，
根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：
S＝2[1﹣]dx＝2（x3）2[（1）﹣0]＝2，
则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是．
故选：B．
14．二次函数的图象如图所示，则定积分（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【解析】
由图象可知，二次函数的零点为1，2
即方程的根为1，2，
由韦达定理可得.
故选B.
15．过坐标原点作曲线 的切线，则曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为______
【答案】.
【解析】
设切点为，因为，所以，因此在点处的切线斜率为，所以切线的方程为，即；
又因为切线过点，所以，解得，所以，即切点为，切线方程为，作出所围图形的简图如下：
因此曲线、直线与轴所围成的封闭图形的面积为
.
16．若,的展开式中常数项为________．
【答案】112
【解析】
，
的展开式的通项为，
令.
所以展开式的常数项为.
故答案为：112．
17．已知实数x，y满足不等式组其中，则的最大值是_____．
【答案】25
【解析】
=4，x，y满足不等式组的可行域如图：
x2+y2表示可行域内的点（x，y）与坐标原点距离的平方，
由图形可知，点A到原点距离最大，
由 ，解得A（4，3），所以x2+y2的最大值为25．
故答案为：25．
18．设在，则展开式中的系数为______．
【答案】
【解析】
，
的通项公式为，
当时，，当时，，故
展开式中的系数为.
19．若，则的展开式中，含项的系数为__________．
【答案】
【解析】
由题得，
所以，
设的通项为，
当该项的系数为,
当该项的系数为,
所以含项的系数为135-2×1215=-2295.
故答案为：-2295．
20．如图所示，阴影部分由函数图像与轴围成，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为__________．
【答案】.
【解析】
解：根据题意，
阴影部分的面积为，
根据几何概型得，向正方形中投掷一点，该点落在阴影区域的概率为.
21．若，则的展开式中常数项为______．
【答案】
【解析】
因为；
所以的展开式的通项公式为：
，
令，则，所以常数项为.
故答案为．
22．直线与抛物线围成的封闭图形的面积为______．
【答案】
【解析】
由题意，联立方程组，解得或，
所以直线与抛物线围成的封闭图形的面积为：
.
23．设，则的展开式中的常数项为_____.（用数字填写）
【答案】
【解析】
，则，展开式的通项为，当时得到常数项为，故答案为60.
24．设，，为自然对数的底数，若，则的最小值是______。
【答案】
【解析】
=1，
，.
故答案为.
25．已知函数则的值为____．
【答案】
【解析】
由题意，根据函数，
可得 .
