【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题16 任意角和弧度制及任意角的三角函数（含解析）
展开考点16 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则以为圆心角且半径为1的扇形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知四边形为正方形，扇形的弧与相切，点为的中点，在正方形中随机取一点，则该点落在扇形内部的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中，）
A．15 B．16 C．17 D．18
5．已知圆与直线相切于，点同时从点出发，沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当运动到点时，点也停止运动，连接，（如图），则阴影部分面积，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．先，再，最后
6．已知点和分别在角和角的终边上，则实数的值是（ ）
A．-1 B．6
C．6或-1 D．6或1
7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则( )
A． B． C． D．
8．设函数，若角的终边经过，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
9．若复数,当时,则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．已知α∈（），tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（ ）
A． B．
C． D．
12．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知角的顶点都为坐标原点，始边都与轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，终边上分别有点，，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
14．在等差数列中，角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则
A．5 B．4 C．3 D．2
15．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为____________。
16．现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.
17．如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，对函数有如下四个判断：
①当时，；②时，为减函数；
③对任意，都有；
④对任意，都有
其中判断正确的序号是__________．
18．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点,则=______．
19．在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为，则__________．
20．在平面直角坐标系中，已知，点是角终边上一点，则的值是___________．
21．在平面直角坐标系中,角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边交单位圆于点,且,则的值是______.
22．如图，点分别是圆心在原点，半径为和的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度作圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度作圆周运动.记时刻，点的纵坐标分别为.
（Ⅰ）求时刻，两点间的距离；
（Ⅱ）求关于时间的函数关系式，并求当时，这个函数的值域.
23．如图，单位圆与轴正半轴交于点，角与的终边分别与单位圆交于
两点，且满足，其中为锐角.
（1）当为正三角形时，求；
（2）当时，求.
考点16 任意角和弧度制及任意角的三角函数
1．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当,可以得到,
反过来若，则或，
所以为充分不必要条件，故选A.
2．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，若，，则以为圆心角且半径为1的扇形的面积为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
∵ 为的中点，∴.
又∵三点共线，∴，得.
∴扇形的面积为.故选A.
3．如图，已知四边形为正方形，扇形的弧与相切，点为的中点，在正方形中随机取一点，则该点落在扇形内部的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设正方形的边长为，则扇形的半径为，
，在直角三角形中，，所以，
所以，，又由，所以，
，所以，
扇形的面积为
该点落在扇形内部的概率为
所以,答案选A．
4．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中，）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【解析】
因为圆心角为，弦长为，所以圆心到弦的距离为半径为40，
因此根据经验公式计算出弧田的面积为，
实际面积等于扇形面积减去三角形面积，为，
因此两者之差为，选B.
5．已知圆与直线相切于，点同时从点出发，沿着直线向右、沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当运动到点时，点也停止运动，连接，（如图），则阴影部分面积，的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．先，再，最后
【答案】A
【解析】
如图所示，因为直线与圆相切，所以，
所以扇形的面积为，,
因为，所以扇形AOQ的面积,
即，
所以，
6．已知点和分别在角和角的终边上，则实数的值是（ ）
A．-1 B．6
C．6或-1 D．6或1
【答案】B
【解析】
由题得，
所以.
当a=-1时，两个点分别在第四象限和第二象限，不符合题意，所以舍去.
故选:B.
7．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，为其终边上一点，则( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵为角终边上一点，
∴，
∴．
故选D．
8．设函数，若角的终边经过，则的值为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【解析】
因为角的终边经过，所以，所以，则，故选C．
9．若复数,当时,则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】
由题，当时,
所以复数在复平面所对应的点为在第三象限
故选C．
10．已知α∈（），tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
解：由tanα＝sin76°cos46°﹣cos76°sin46°＝sin（76°﹣46°）＝sin30°，
且α∈（），∴α∈（0，），
联立，解得sinα．
故选：A．
11．已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
由三角函数定义得tan，即,得3cos解得或（舍去）
故选：A．
12．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
解：∵角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，
∴，
∴．
则.
故选：D．
13．已知角的顶点都为坐标原点，始边都与轴的非负半轴重合，且都为第一象限的角，终边上分别有点，，且，则的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【解析】
由已知得，，，因为，所以，
所以，，所以，
当且仅当，时，取等号.
14．在等差数列中，角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，则
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】
解：角顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边经过点，
可得，
则．
故选：B．
15．已知扇形的圆心角为，其弧长为，则此扇形的面积为____________。
【答案】
【解析】
设扇形的半径为，
扇形的圆心角为，它的弧长为，
，解得，
，故答案为.
16．现用一半径为，面积为的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________.
【答案】
【解析】
设铁皮扇形的半径和弧长分别为R、l，圆锥形容器的高和底面半径分别为h、r，
则由题意得R=10，由，得，
由得.
由可得.
该容器的容积为.
故答案为：.
17．如图，直线与单位圆相切于点，射线从出发，绕着点逆时针旋转，在旋转分入过程中，记，经过的单位圆内区域（阴影部分）的面积为，记，对函数有如下四个判断：
①当时，；②时，为减函数；
③对任意，都有；
④对任意，都有
其中判断正确的序号是__________．
【答案】①③
【解析】
如图，
设圆心为 P交圆于另一点，连接，则
当时， ，故①正确；在上为增函数，故②错误；
当时，
故③正确；
当时，
故④错误.
故答案为①③．
18．已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点,则=______．
【答案】
【解析】
由三角函数的定义，r，
可得：sinα，
可得：cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×（）2．
故答案为：．
19．在平面直角坐标系中，角的始边与轴正半轴重合，终边与单位圆交点的纵坐标为，则__________．
【答案】
【解析】
设角的终边与单位圆交点的横坐标为，因为角的终边与单位圆交点的纵坐标为，所以，
当角的终边与单位圆交点的坐标为时，，
当角的终边与单位圆交点的坐标为时，，
，综上所述 .
20．在平面直角坐标系中，已知，点是角终边上一点，则的值是___________．
【答案】
【解析】
，
∵，且点在第一象限，
∴为锐角，
∴的值是，
故答案为：．
21．在平面直角坐标系中,角的顶点为坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边交单位圆于点,且,则的值是______.
【答案】
【解析】
∵在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边交单位圆O于点P（a，b），
∴由任意角的三角函数的定义得，sinα＝b，cosα＝a．
∵，可得：sinα+cosα，
∴两边平方可得：sin2α+cos2α+2sinαcosα，可得：1+2sinαcosα，解得：2sinαcosα，
∴sin2α＝﹣2sinαcosα．
故答案为：．
22．如图，点分别是圆心在原点，半径为和的圆上的动点.动点从初始位置开始，按逆时针方向以角速度作圆周运动，同时点从初始位置开始，按顺时针方向以角速度作圆周运动.记时刻，点的纵坐标分别为.
（Ⅰ）求时刻，两点间的距离；
（Ⅱ）求关于时间的函数关系式，并求当时，这个函数的值域.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）时，，所以，
又，所以，
即两点间的距离为.
（Ⅱ）依题意，，，
所以，
即函数关系为，
当时，，所以，.
23．如图，单位圆与轴正半轴交于点，角与的终边分别与单位圆交于
两点，且满足，其中为锐角.
（1）当为正三角形时，求；
（2）当时，求.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）∵为正三角形，
∴，
∴．
∴，
，
∴，
∴，
∴．
（2）由题意得，且为第二象限角，
∴，
∴，
∴．
