【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题30 等比数列及其前n项和（含解析）

考点30 等比数列及其前n项和
1、设数列{an}满足2an＝an＋1(n∈N*)，且前n项和为Sn，则的值为(　　)
A. B．
C．4 D．2
2、设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．
C. D．
3、已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
4、在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，则公比q的值为(　　)
A.　　　 B．　　
C．2 D．3
5、已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则的值为(　　)
A. B．
C. D．
6、在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则＝(　　)
A．3　　 B．－
C．3或 D．－3或－
7、古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
8、已知各项均是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)
A.　　　 B．
C．－ D．或
9、已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是(　　)
A．－5 B．－
C．5 D．
10、在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件　　　　 D．既不充分也不必要条件
11、在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
12、已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn.若a3a4a8＝8，则Ⅱ9＝(　　)
A．512　　 B．256　　
C．81 D．16
13、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是(　　)
A．[12,16] B．
C. D．
14、设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的(　　)
A．充要条件　　　　　　 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
15、已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为(　　)
A．126　　 B．130
C．132 D．134
16、设数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝(　　)
A．15 B．60
C．63 D．72
17、已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________.
18、已知{an}为等比数列，且a3＋a6＝36，a4＋a7＝18.若an＝，则n＝________.
19、设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为________．
20、设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.
21、已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.对任意的m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，则数列{bm}的前m项和Sm＝________.
22、已知等差数列{an}的公差d＞0，且a2，a5－1，a10成等比数列，若a1＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为________．
23、设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
24、已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝10an＋1.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足bn＝lg，Tn为数列的前n项和，求证：Tn＜.
26、已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
27已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.
28、已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．





考点30 等比数列及其前n项和
1、设数列{an}满足2an＝an＋1(n∈N*)，且前n项和为Sn，则的值为(　　)
A. B．
C．4 D．2
【答案】A
【解析】由题意知，数列{an}是以2为公比的等比数列，故＝＝.故选A.
2、设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．
C. D．
【答案】B
【解析】设数列{an}的公比为q，则显然q≠1，由题意得解得或(舍去)，∴S5＝＝＝.
3、已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为(　　)
A．－ B．
C．－ D．
【答案】A
【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝a·2n－1－a·2n－2＝a·2n－2，当n＝1时，a1＝S1＝a＋，所以a＋＝，所以a＝－.
4、在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝3，a9＝a2a3a4，则公比q的值为(　　)
A.　　　 B．　　
C．2 D．3
【答案】D
【解析】由a9＝a2a3a4得a1q8＝aq6，所以q2＝a.因为等比数列{an}的各项都为正数，所以q＝a1＝3.
5、已知数列1，a1，a2,9是等差数列，数列1，b1，b2，b3,9是等比数列，则的值为(　　)
A. B．
C. D．
【答案】C
【解析】因为1，a1，a2,9是等差数列，所以a1＋a2＝1＋9＝10.又1，b1，b2，b3,9是等比数列，所以b＝1×9＝9，因为b＝b2＞0，所以b2＝3，所以＝.
6、在等比数列{an}中，a5a11＝3，a3＋a13＝4，则＝(　　)
A．3　　 B．－
C．3或 D．－3或－
【答案】C
【解析】根据等比数列的性质得化简得3q20－10q10＋3＝0，解得q10＝3或，所以＝＝q10＝3或.
7、古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
【答案】B
【解析】设该女子第一天织布x尺，则＝5，得x＝，
∴前n天所织布的尺数为(2n－1)．由(2n－1)≥30，得2n≥187，则n的最小值为8.
8、已知各项均是正数的等比数列{an}中，a2，a3，a1成等差数列，则的值为(　　)
A.　　　 B．
C．－ D．或
【答案】B
【解析】设{an}的公比为q(q＞0)．由a3＝a2＋a1，得q2－q－1＝0，解得q＝.从而＝q＝.
9、已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是(　　)
A．－5 B．－
C．5 D．
【答案】A
【解析】因为log3an＋1＝log3an＋1，所以an＋1＝3an.
所以数列{an}是公比q＝3的等比数列，
所以a2＋a4＋a6＝a2(1＋q2＋q4)＝9.
所以a5＋a7＋a9＝a5(1＋q2＋q4)＝a2q3(1＋q2＋q4)＝9×33＝35.
所以log35＝－log335＝－5.
10、在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件
C．充分必要条件　　　　 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】当an＝0时，也有an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{an}不是等比数列，因此充分性不成立；当{an}是公比为2的等比数列时，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立．故选B.
11、在等比数列{an}中，an＞0，a1＋a2＋…＋a8＝4，a1a2·…·a8＝16，则＋＋…＋的值为(　　)
A．2 B．4
C．8 D．16
【答案】A
【解析】由分数的性质得到＋＋…＋＝＋＋…＋.因为a8a1＝a7a2＝a3a6＝a4a5，所以原式＝＝，又a1a2·…·a8＝16＝(a4a5)4，an＞0，∴a4a5＝2，∴＋＋…＋＝2.
12、已知等比数列{an}的前n项积记为Ⅱn.若a3a4a8＝8，则Ⅱ9＝(　　)
A．512　　 B．256　　
C．81 D．16
【答案】A
【解析】由题意知，a3a4a7q＝a3a7a4q＝a3a7a5＝a＝8，Ⅱ9＝a1a2a3…a9＝(a1a9)(a2a8)·(a3a7)(a4a6)a5＝a，所以Ⅱ9＝83＝512.
13、已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的取值范围是(　　)
A．[12,16] B．
C. D．
【答案】C
【解析】因为{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，所以q3＝＝，q＝，a1＝4，故a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝(1－q2n)∈，故选C.
14、设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的(　　)
A．充要条件　　　　　　 B．充分而不必要条件
C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】若对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0，则a1＋a2＜0，又a1＞0，所以a2＜0，所以q＝＜0.若q＜0，可取q＝－1，a1＝1，则a1＋a2＝1－1＝0，不满足对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0.所以“q＜0”是“对任意的正整数n，a2n－1＋a2n＜0”的必要而不充分条件，故选C.
15、已知等比数列{an}的各项均为不等于1的正数，数列{bn}满足bn＝lg an，b3＝18，b6＝12，则数列{bn}的前n项和的最大值为(　　)
A．126　　 B．130
C．132 D．134
【答案】C
【解析】设等比数列{an}的公比为q(q＞0)，由题意可知，lg a3＝b3，lg a6＝b6.又b3＝18，b6＝12，则a1q2＝1018，a1q5＝1012，∴q3＝10－6，即q＝10－2，∴a1＝1022.∵{an}为正项等比数列，∴{bn}为等差数列，且公差d＝－2，b1＝22，故bn＝22＋(n－1)×(－2)＝－2n＋24.∴数列{bn}的前n项和Sn＝22n＋×(－2)＝－n2＋23n＝－2＋.又n∈N*，故n＝11或12时，(Sn)max＝132.
16、设数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝(　　)
A．15 B．60
C．63 D．72
【答案】B
【解析】由数列{an}是以3为首项，1为公差的等差数列，得数列{an}的通项公式为an＝3＋(n－1)1＝n＋2.由数列{bn}是以1为首项，2为公比的等比数列，得数列{bn}的通项公式为bn＝b1qn－1＝2n－1，所以ban＝2n＋1，所以ba1＋ba2＋ba3＋ba4＝22＋23＋24＋25＝＝60.
17、已知数列{an}的首项为1，数列{bn}为等比数列且bn＝，若b10·b11＝2，则a21＝________.
【答案】1 024
【解析】∵b1＝＝a2，b2＝，
∴a3＝b2a2＝b1b2，∵b3＝，
∴a4＝b1b2b3，…，an＝b1b2b3·…·bn－1，
∴a21＝b1b2b3·…·b20＝(b10b11)10＝210＝1 024.
18、已知{an}为等比数列，且a3＋a6＝36，a4＋a7＝18.若an＝，则n＝________.
【答案】 9
【解析】设{an}的公比为q，由a3＋a6＝36，a4＋a7＝(a3＋a6)q＝18，解得q＝，由a1(q2＋q5)＝36得a1＝128，进而an＝128·n－1＝n－8.由an＝，解得n＝9.
19、设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2·…·an的最大值为________．
【答案】64
【解析】设等比数列{an}的公比为q，则由a1＋a3＝10，a2＋a4＝q(a1＋a3)＝5，知q＝.又a1＋a1q2＝10，
∴a1＝8.
故a1a2·…·an＝aq1＋2＋…＋(n－1)＝23n·
＝23n－＋＝2－＋n.
记t＝－＋＝－(n2－7n)＝－2＋，
结合n∈N*可知n＝3或4时，t有最大值6.
又y＝2t为增函数，从而a1a2·…·an的最大值为26＝64.
20、设数列{an}是首项为1，公比为－2的等比数列，则a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝________.
【答案】15
【解析】由题意得an＝(－2)n－1，所以a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|－2|＋(－2)2＋|(－2)3|＝15.
21、已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.对任意的m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，则数列{bm}的前m项和Sm＝________.
【答案】
【解析】设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn.由T5＝105，a10＝2a5，得解得a1＝7，d＝7，因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．对任意的m∈N*，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1.因此bm＝72m－1，所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列，故Sm＝＝＝.
22、已知等差数列{an}的公差d＞0，且a2，a5－1，a10成等比数列，若a1＝5，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为________．
【答案】
【解析】由于a2，a5－1，a10成等比数列，所以(a5－1)2＝a2·a10，(a1＋4d－1)2＝(a1＋d)·(a1＋9d)，又a1＝5，所以d＝3，所以an＝5＋3(n－1)＝3n＋2，Sn＝na1＋d＝5n＋n(n－1)，所以＝＝[3(n＋1)＋＋2]≥，当且仅当3(n＋1)＝，即n＝2时等号成立．
23、设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以2为公比的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求a1＋a3＋…＋a2n＋1.
【答案】(1) an＝ (2)
【解析】(1)∵S1＝a1＝1，
且数列{Sn}是以2为公比的等比数列，
∴Sn＝2n－1，
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2(2－1)＝2n－2.
当n＝1时a1＝1，不适合上式．
∴an＝
(2)∵a3，a5，…，a2n＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
∴a3＋a5＋…＋a2n＋1＝＝.
∴a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋＝.
24、已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝10an＋1.
(1)证明：数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足bn＝lg，Tn为数列的前n项和，求证：Tn＜.
(1)【解】由an＋1＝10an＋1，得an＋1＋＝10an＋＝10，所以＝10，所以数列是等比数列，首项为a1＋＝100，公比为10.
所以an＋＝100×10n－1＝10n＋1，所以an＝10n＋1－.
(2)【证明】由(1)可得bn＝lg＝lg 10n＋1＝n＋1，
所以＝＝－，
所以Tn＝＋＋…＋＝－＜，
所以Tn＜.
25、设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.
(1)求a4的值；
(2)证明：为等比数列．
(1) 【解】当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，
即4＋5＝8＋1，
解得a4＝.
(2)【证明】由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得
4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．
∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1(n∈N*)．
∴＝＝＝＝.
∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．
26、已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.
(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；
(2)若S5＝，求λ.
【答案】(1) n－1 (2) －1
【解析】(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，
故λ≠1，a1＝，故a1≠0.
由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，
即an＋1(λ－1)＝λan.
由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝.
因此{an}是首项为，公比为的等比数列，
于是an＝n－1.
(2)由(1)得Sn＝1－n.
由S5＝得1－5＝，即5＝.
解得λ＝－1.
27已知数列{an}是等差数列，a2＝6，前n项和为Sn，数列{bn}是等比数列，b2＝2，a1b3＝12，S3＋b1＝19.
(1)求{an}，{bn}的通项公式；
(2)求数列{bncos(anπ)}的前n项和Tn.
【答案】(1) 3n (2) [(－2)n－1]
【解析】(1)∵数列{an}是等差数列，a2＝6，
∴S3＋b1＝3a2＋b1＝18＋b1＝19，
∴b1＝1，
∵b2＝2，数列{bn}是等比数列，
∴bn＝2n－1.
∴b3＝4，
∵a1b3＝12，∴a1＝3，
∵a2＝6，数列{an}是等差数列，
∴an＝3n.
(2)设Cn＝bncos(anπ)，由(1)得Cn＝bncos(anπ)＝(－1)n2n－1，
则Cn＋1＝(－1)n＋12n，
∴＝－2，
又C1＝－1，
∴数列{bncos(anπ)}是以－1为首项、－2为公比的等比数列．
∴Tn＝＝[(－2)n－1]．
28、已知等比数列{an}满足：|a2－a3|＝10，a1a2a3＝125.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)是否存在正整数m，使得＋＋…＋≥1？若存在，求m的最小值；若不存在，说明理由．
【答案】(1) －5·(－1)n－1. (2) 见解析
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q，
则由已知可得
解得或
故an＝·3n－1，或an＝－5·(－1)n－1.
(2)若an＝·3n－1，则＝·n－1，
故是首项为，公比为的等比数列 ，
从而＝＝·＜＜1.
若an＝(－5)·(－1)n－1，
则＝－(－1)n－1，
故是首项为－，公比为－1的等比数列，从而
＝
故＜1.
综上，对任意正整数m，总有＜1.
故不存在正整数m，使得＋＋…＋≥1成立．