【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题31 数列求和（含解析）

考点31 数列求和

1．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测三模）已知等差数列的前项和为，则数列的前2019项和为（    ）

A． B． C． D．

2．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知数列满足,,且,则数列的前59项和为（  ）

A．-1840 B．-1760 C．1760 D．1840

3．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（   ）

A．290 B． C． D．

4．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知数列满足，数列的前项和为，则 (　　)

A． B． C． D．

5．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试理）已知数列前项和为，满足（为常数），且，设函数，记 ，则数列的前17项和为（　　）

A． B． C．11 D．17

6．若是二项式展开式中项的系数，则______

7．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评理）在数列中，，，是数列的前项和，若，则______.

8．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一理）数列的前项和为，若，，成等比数列，则正整数值为______.

9．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷）已知数列满足，则数列的前项和为___________.

10．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月理）在数列中，，则的值为______．

11．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试理）在正项数列中，，其前项和满足，若数列，则数列的前项和为______．

12．（天津市河北区2019届高三一模理）已知公比为正数的等比数列，首项，前n项和为，且，，成等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和

13．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）设等差数列的公差为d，d为整数，前n项和为，等比数列的公比为q，已知，，，，

（1）求数列与的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和为.

14．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知数列的前项和为，且（），.数列为等比数列，且.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

15．（2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考试理）已知等差数列的前项和为，且满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

16．（河南省洛阳市2019年5月质量检测）设为正项数列的前项和，且满足.

（1）求的通项公式；

（2）令，，若恒成立，求的取值范围.

17．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试）已知正项数列的前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值；

18．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试）等差数列前项和为，且，．

（1）求的通项公式；

（2）数列满足且，求的前项和．

19．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）已知等差数列满足，等比数列满足，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若数列满足，求的前项和为.

20．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测理）已知数列满足,，数列满足.

（Ⅰ）求证数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和.

21．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）已知等比数列为递增数列，且，，数列满足：，．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

22．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知数列的前项和为，，且是和的等比中项.

（1）证明：数列是等差数列并求其通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

23．（江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试理）已知数列有，是它的前项和，且．

（1）求证：数列为等差数列.

（2）求的前项和.

24．（湖北省黄冈市2019届高三2月联考理）已知正项数列的前项和为，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和。

考点31 数列求和

1．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测三模）已知等差数列的前项和为，则数列的前2019项和为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

设等差数列的公差为，，，

，，

联立解得：，

．

．

则数列的前2019项和．

故选：．

2．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知数列满足,,且,则数列的前59项和为（  ）

A．-1840 B．-1760 C．1760 D．1840

【答案】B

【解析】

由得，所以，即，所以，故，因为，

所以，故选B.

3．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）设数列的前项和为，且 ，则数列的前10项的和是（   ）

A．290 B． C． D．

【答案】C

【解析】

由得，

当时，，整理得，

所以是公差为4的等差数列，又，

所以，从而，

所以，

数列的前10项的和.

故选.

4．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟理）已知数列满足，数列的前项和为，则 (　　)

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

因为，

所以，

两式作差，可得，即，

又当时，，即满足，因此；

所以；

因为数列的前项和为，

所以，

因此.

故选B．

5．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试理）已知数列前项和为，满足（为常数），且，设函数，记 ，则数列的前17项和为（　　）

A． B． C．11 D．17

【答案】D

【解析】

因为，

由，得，

数列为等差数列；

，

.

则数列的前17项和为.

故选：D．

6．若是二项式展开式中项的系数，则______

【答案】2

【解析】的展开式通项公式为：   

本题正确结果：．

7．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评理）在数列中，，，是数列的前项和，若，则______.

【答案】1010

【解析】

当n为偶数，，

当n为奇数，即

故 即为周期为4的数列，

又

故

故，则1010

故答案为1010．

8．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一理）数列的前项和为，若，，成等比数列，则正整数值为______.

【答案】8

【解析】

∵，∴，

又，，成等比数列，∴，

即，，

∴，即，

解得，结合可得，

∴，故答案为8.

9．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷）已知数列满足，则数列的前项和为___________.

【答案】

【解析】

由，得，

所以数列是以为首项，2为公比的等比数列，

于是，

所以，

因为，

所以的前项和

.

10．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月理）在数列中，，则的值为______．

【答案】1

【解析】

因为

所以，

,

,

各式相加，可得

，

，

所以，，故答案为1.

11．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试理）在正项数列中，，其前项和满足，若数列，则数列的前项和为______．

【答案】

【解析】

,得，则 ，因为 ，则 ，又 ，即 ，故为等差数列，∴

= ，则数列的前项和为

故答案为．

12．（天津市河北区2019届高三一模理）已知公比为正数的等比数列，首项，前n项和为，且，，成等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前n项和

【答案】（Ⅰ）an＝6×（）n，（Ⅱ）Tn＝2﹣（n+2）•（）n

【解析】

（Ⅰ）an＝6×（）n，（Ⅱ）Tn＝2﹣（n+2）•（）n

依题意公比为正数的等比数列{an}（n∈N*），首项＝3，

设an＝3qn﹣1，

∵，，成等差数列，

∴2（）＝+

即2（）＝(+（），

化简得4＝，

从而4q2＝1，解得q＝±，

∵{an}（n∈N*）公比为正数，

∴q，an＝6×（）n，n∈N*；         

（Ⅱ）bnn•（）n，

则Tn＝1•（）+2•（）2+3•（）3+…+（n﹣1）•（）n﹣1+n•（）n，

Tn＝1•（）2+2•（）3+3•（）4+…+（n﹣1）•（）n+n•（）n+1，

两式相减可得Tn（）2+（）3+（）4+…+（）n﹣n•（）n+1

n•（）n+1，

化简可得Tn＝2﹣（n+2）•（）n．

13．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）设等差数列的公差为d，d为整数，前n项和为，等比数列的公比为q，已知，，，，

（1）求数列与的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和为.

【答案】（1）＝2n﹣1，（2）

【解析】

解：（1）有题意可得：，

解得（舍去）或，

所以＝2n﹣1，．

（2）∵，，

∴①，

②，

①﹣②可得，

故．

14．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知数列的前项和为，且（），.数列为等比数列，且.

（Ⅰ）求和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和.

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）由已知得：，

数列是以2为公差的等差数列. 

，，， 

.

设等比数列的公比为，

，，，

. 

（2）由题意，得，

，

. 

上述两式相减，得

  ,

．

15．（2017届安徽省合肥市高三第一次模拟考试理）已知等差数列的前项和为，且满足.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若，求数列的前项和.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（Ⅰ）求等差数列的公式，可把已知用首项和公差表示出来，并解出，即可写出公式.

（Ⅱ）由的表达式知数列的前项和需用分组求和法，一组是对求和，应用等比数列的求和公式可得，对求和还要分类讨论，按的奇偶性分类后再分别用凑配法或再分组求和.

试题解析：（Ⅰ）因为为等差数列，

所以 .

（Ⅱ）

，

当时，，

当时，，，

.

16．（河南省洛阳市2019年5月质量检测）设为正项数列的前项和，且满足.

（1）求的通项公式；

（2）令，，若恒成立，求的取值范围.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由题知：，……①

令得：，解得：

当时，……②

①-②得：    ∴，即

是以为首项，为公差的等差数列   

经验证满足

（2）由（1）知：

即．

17．（江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试）已知正项数列的前项和为，满足．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知对于，不等式恒成立，求实数的最小值；

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）时，，又，所以，

当时，

，

作差整理得：，

因为，故，所以，

故数列为等差数列，所以．               

（2）由（1）知，所以，

从而

．

所以，故的最小值为．

18．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试）等差数列前项和为，且，．

（1）求的通项公式；

（2）数列满足且，求的前项和．

【答案】(1) (2)

【解析】

（1）等差数列的公差设为，前项和为，且，．

可得，，

解得，，

可得；

（2）由，

可得

，

，

则前项和

．

19．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）已知等差数列满足，等比数列满足，且.

（1）求数列，的通项公式；

（2）记数列的前项和为，若数列满足，求的前项和为.

【答案】(1) ， (2) .

【解析】

（1）设的首项为，公差为，则有，，

解得所以，

设，由已知，可得，

由可得，，可得，所以，

（2）由（1）知，，

所以，，

两式相减可得，，

当时，满足上式，所以，

，

两式相减可得，

所以.

20．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测理）已知数列满足,，数列满足.

（Ⅰ）求证数列是等比数列；

（Ⅱ）求数列的前项和.

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）当时，，故.

当时，，

则 ，

，

数列是首项为，公比为的等比数列.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得， ，

，

.

21．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）已知等比数列为递增数列，且，，数列满足：，．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）设，求数列的前项和．

【答案】（I），（II）

【解析】（Ⅰ）对于数列，由题得（，）

解得或，

又为递增数列，则，

，

数列满足：，，

数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，

.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

∴．

22．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）已知数列的前项和为，，且是和的等比中项.

（1）证明：数列是等差数列并求其通项公式；

（2）设，求数列的前项和.

【答案】(1)见解析；(2)

【解析】

（1） 由得 ，

所以 ， 又

所以， 故.           

故数列是公差为的等差数列 ，且是和的等比中项，

即 ，得 ，

解得， 所以 .   

（2）由题得，

．

23．（江西省名校（临川一中、南昌二中)2019届高三5月联合考试理）已知数列有，是它的前项和，且．

（1）求证：数列为等差数列.

（2）求的前项和.

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）当时，

所以，，

两式对应相减得，

所以

又n=2时，

所以，

所以，

所以数列为等差数列.

（2）当为偶数时，

当为奇数时，

综上：．

24．（湖北省黄冈市2019届高三2月联考理）已知正项数列的前项和为，且。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和。

【答案】(1);(2).

【解析】

（1）由题意得，当时，，又，∴，

当时，由得，

两式相减得，即，

又，∴

∴数列是以1为首项，1为公差的等差数列，∴；

（2）由（1）得，

∴，

则，

两式相减得，

∴．