【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题22 正弦定理和余弦定理（含解析）
展开考点22 正弦定理和余弦定理
1．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科二）在中，，，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
4．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）在中，角、、的对边分别为、、，边上的高为，则的最大值是_____．
5．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在中，已知边上的中线，且，，成等差数列，则的长为________.
6．（浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试）在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．
7．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）设的三个内角的对边分别是，若，，，那么角的大小为__________．
8．（贵州省2019届高三高考教学质量测评卷八数学理）在中，角，，的对边分别为，，，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边时，周长的最大值为_______.
9．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试）在中，,，，则__________．
10．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷）在中，，已知边上的中线，则面积的最大值为__________．
11．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试）的内角所对的边成等比数列，则的最小值为_____.
12．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且ccosA＝4，asinC＝5．
（1）求边长c；
（2）著△ABC的面积S＝20．求△ABC的周长．
13．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试）在中，角，，的对边分别为，， ，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，且外接圆的半径为1，求的面积.
14．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图中，为的中点，，，.
（1）求边的长；
（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.
15．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）如图所示，锐角中，，点在线段上，且，的面积为，延长至，使得.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值.
16．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试）在中，角，，的对边分别为，，，且，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
17．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若的周长为3，求的最小值.
18．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在中，是上的点，平分，.
（1）求；
（2）若，求的长．
19．（）在河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理中，的对边分别，.
（Ⅰ）若是上的点，平分，求的值；
（Ⅱ）若，求的面积.
20．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）已知分别为三个内角所对的边，若向量，，且.
（1）求角；
（2）若，且，求边.
21．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)理）在中，角的对边分別为，若，，.
（1）求；
（2）已知点在边上，且平分，求的面积.
22．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知在中，，，分别为角，，的对应边，点为边的中点，的面积为.
（I）求的值；
（II）若，，求.
23．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）在中，，
（1）若.求；
（2）若面积为1，求.
24．（山东省临沂市、枣庄市2019届高三第二次模拟预测数学理）已知的三个内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
25．（黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试）已知中，角的对边分别为，若
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若 ，求面积的最大值。
考点22 正弦定理和余弦定理
1．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）设锐角三角形的内角所对的边分别为，若，则的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
由锐角三角形的内角所对的边分别为，若，
，,
，
,
由正弦定理得，即
则b的取值范围为,故选C.
2．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）在中，，，分别为角，，的对边，若的面为，且，则（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】由，
得，
∵ ，
∴ ，
即
即，
则，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即，
则，
故选：D．
3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科二）在中，，，，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】
由余弦定理可知
，因为，所以，
因此，故本题选C.
4．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）在中，角、、的对边分别为、、，边上的高为，则的最大值是_____．
【答案】
【解析】
因为边上的高为，
所以，即，
可得
，
故的最大值是．
故答案为．
5．（江苏省南通市2019届高三适应性考试）在中，已知边上的中线，且，，成等差数列，则的长为________.
【答案】
【解析】
因为，，成等差数列，
所以，即，
所以，由正弦定理可得，
又由余弦定理可得，所以，故，
又因为边上的中线，所以，因为，
所以，
即，解.
即的长为.
故答案为．
6．（浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试）在中，，，内角所对的边分别为，，，已知且，则的最小值为_____．
【答案】
【解析】
∵，
∴，
∴，∵，
∴，∴，
由正弦定理可得，即，
当时，.当时，则的最小值为．
故答案为：.
7．（江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理）设的三个内角的对边分别是，若，，，那么角的大小为__________．
【答案】
【解析】
，
为钝角，可得，．
由正弦定理，可得．
为锐角，．
．
8．（贵州省2019届高三高考教学质量测评卷八数学理）在中，角，，的对边分别为，，，其中最大的角等于另外两个角的和，当最长边时，周长的最大值为_______.
【答案】
【解析】
依题意，，结合三角形的内角和定理，所以，设的外接圆半径为，则，于是
，
当时，取最大值为，所以周长的最大值为.
9．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试）在中，,，，则__________．
【答案】7
【解析】
由，代入，得，
即：解得 舍去）
故答案为：7．
10．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷）在中，，已知边上的中线，则面积的最大值为__________．
【答案】.
【解析】
在△ABC中，，BC边上的中线AD=3，，设AB＝c，AC＝b，
平方可得 9＝.
化简可得，，∴bc≤36，当且仅当时成立，
故△ABC的面积S＝
故答案为：
11．（四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试）的内角所对的边成等比数列，则的最小值为_____.
【答案】
【解析】因为成等比数列，所以
，
由基本不等式可以得到，当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
12．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c且ccosA＝4，asinC＝5．
（1）求边长c；
（2）著△ABC的面积S＝20．求△ABC的周长．
【答案】（1）；（2）8+2
【解析】
（1）∵由正弦定理可得：，可得：asinC＝csinA，
∵asinC＝5，可得：csinA＝5，可得：sinA＝，又∵ccosA＝4，可得：cosA＝，
∴可得：sin2A+cos2A＝＝1，∴解得c＝．
（2）∵△ABC的面积S＝absinC＝20，asinC＝5，∴解得：b＝8，
∴由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA＝64+41﹣2×＝41，
解得：a＝，或﹣（舍去），
∴△ABC的周长＝a+b+c＝+8+＝8+2．
13．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试）在中，角，，的对边分别为，， ，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，且外接圆的半径为1，求的面积.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴，
由正弦定理得，，
∴，
又，∴，∴，
又，∴.
（Ⅱ）设外接圆的半径为，则，，
由余弦定理得，即，
∴，
∴的面积.
14．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图中，为的中点，，，.
（1）求边的长；
（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.
【答案】（1）10；（2）.
【解析】
（1）因为在边上，所以，
在和中由余弦定理，得，
因为，，，，
所以，所以，.
所以边的长为10.
（2）由（1）知为直角三角形，所以，.
因为是的角平分线，
所以.
所以，所以.
即的面积为.
15．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）如图所示，锐角中，，点在线段上，且，的面积为，延长至，使得.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，求的值.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】
（Ⅰ）在中，.
所以.
因为，所以.
由余弦定理得，得.
（Ⅱ）因为，所以.
在中，由正弦定理得，
即，所以.
16．（山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试）在中，角，，的对边分别为，，，且，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）（2）
【解析】
（1）因为，所以，即.
又因为，
所以.
（2）因为，所以.
因为，在中，，所以
所以.
17．已知的三个内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求；
（2）若的周长为3，求的最小值.
【答案】（1）；（2）1.
【解析】
（1）由已知及正弦定理得，
即，
∵，
∴.
又∵，∴.
（2）∵，
化简得，
∵，∴，
代入式得，
∵，∴，即，
解得或（舍），当且仅当时取“”.
∴，即的最小值为1，此时，且为正三角形.
18．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在中，是上的点，平分，.
（1）求；
（2）若，求的长．
【答案】（1）2；（2）.
【解析】
解：（1）由正弦定理可得在中，，
在中，，
又因为，.
（2），由正弦定理得，
设，则，则.
因为，
所以，解得.
.
19．（）在河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理中，的对边分别，.
（Ⅰ）若是上的点，平分，求的值；
（Ⅱ）若，求的面积.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）因为，∴，
，
由正弦定理得，
因为平分，
所以.
（Ⅱ）由，即，
所以，∴，
故.
20．（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）已知分别为三个内角所对的边，若向量，，且.
（1）求角；
（2）若，且，求边.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
（1） ，又向量，，
故
由正弦定理得：
又
又
（2）由（1）知
，即：，解得：
在中，由余弦定理得：
又，故，即：
又，解得：或．
21．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟（三)理）在中，角的对边分別为，若，，.
（1）求；
（2）已知点在边上，且平分，求的面积.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）由，，得，
所以，
由正弦定理，可得.
（2），
在中，由余弦定理，得，
解得或（舍去）.
，
因为，
所以.
22．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）已知在中，，，分别为角，，的对应边，点为边的中点，的面积为.
（I）求的值；
（II）若，，求.
【答案】（I）；（II）
【解析】（I）由的面积为且为的中点可知：的面积为，
由三角形的面积公式可知，
由正弦定理可得，所以.
（II）因为，所以在中，由正弦定理可得，
所以，由（1）可知，
所以，，∵，∴，
在直角中，，所以，.
∵，，
在中用余弦定理，可得
．
23．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）在中，，
（1）若.求；
（2）若面积为1，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题设知，，
所以. .
由大边对大角，所以．
（2），容易得出，
在中，由余弦定理得
所以.
24．（山东省临沂市、枣庄市2019届高三第二次模拟预测数学理）已知的三个内角所对的边分别为，且
（1）求；
（2）若，求面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
（1）
由正弦定理可得：
由余弦定理可得：
（2）由余弦定理可得：，即：
（当且仅当时取等号）
∴，即面积的最大值为：．
25．（黑龙江省大庆第一中学2019届高三第三次模拟考试）已知中，角的对边分别为，若
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若 ，求面积的最大值。
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）由正弦定理可得：
又
.
（Ⅱ）
由余弦定理可得，又
故，当且仅当时，等号成立.
所以.所以面积最大为.
