【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题23 正弦定理和余弦定理的应用（含解析）

考点23 正弦定理和余弦定理的应用

1．中，内角、、的对边、、依次成等差数列，且，则的形状为（  ）

A．等边三角形 B．直角边不相等的直角三角形

C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

2．如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点．从点测得，从点测得，，从点测得.若测得，（单位:百米），则两点的距离为(  )

A． B． C． D．

3．（吉林省长春市2019年高三质量监测四）《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退123步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退127步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（   ）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)

A．步 B．步 C．步 D．步

4．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三）已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则的形状为（    ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形

5．（安徽省巢湖市2019届高三年级三月份联考）已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

6．（四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测）某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,,则区域内面积(单位：)的最小值为（  ）

A． B． C． D．

7．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试）小王同学骑电动自行车以的速度沿着正北方向的公路行驶，在点处望见电视塔在电动车的北偏东方向上，后到点处望见电视塔在电动车的北偏东方向上，则电动车在点时与电视塔的距离是__________．

8．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______．

9．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试）海上一艘轮船以的速度向正东方向航行，在处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏东的方向上，航行后到达处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏西的方向上，则两个小岛间的距离______.

10．（浙江省三校2019年5月份第二次联考）在锐角中，内角所对的边分别是，，，则__________．的取值范围是__________．

11．（河北省衡水市2019届高三四月大联考理）中，，，点在边上，且.

（1）求的长；

（2）若于，求.

12．（宁夏银川市2019年高三下学期质量检测）在平面四边形中，已知，，．

（1）若，求的面积；

（2）若，，求的长．

13．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试）如图平面四边形的对角线的交点位于四边形的内部，，，，，当变化时，对角线的最大值为__________．

14．（湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中学.荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中)2019届高三第二次联合考）如图所示，在平面四边形ABCD中，若，，为正三角形，则面积的最大值为___．

15．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试理）如图：在中，，，.

（1）求角；

（2）设为的中点，求中线的长.

16．（河南省洛阳市2019届5月质量检测）已知三内角，，的对边分别为，，，点为边的中点，，.

（1）求；

（2）求面积的最大值.

17．（江苏省镇江市2019届高三考前三模）江心洲有一块如图所示的江边，，为岸边，岸边形成角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l：在岸边上取两点，用长度为的围网依托岸边线围成三角形（，两边为围网）；方案2：在岸边，上分别取点，用长度为的围网依托岸边围成三角形.请分别计算，面积的最大值，并比较哪个方案好.

18．（广东省深圳市高级中学2019届高三6月适应性考试）工程队将从到修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（在同一水平面内），求之间的距离.

19．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测）在中，，，为的内角平分线，.

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）求角的大小

20．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试）已知中，，，.

（1）求的面积；

（2）求边上的中线的长.

21．（河南省开封市2019届高三第三次模拟理）在中，角，，所对的边分别为，，，且，是边上的点.

（I）求角；

（Ⅱ）若，，，求的长，

22．（四川省内江市2019届高三第三次模拟考试）如图所示，在中，，是边上一点，，，.

（1）求的面积；

（2）求的长.

23．（湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试理）在中，三边所对应的角分别是.已知成等比数列.

（1）若，求角的值；

（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.

24．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模）如图，在四边形中，，连接.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的面积最大值.

考点23 正弦定理和余弦定理的应用

1．中，内角、、的对边、、依次成等差数列，且，则的形状为（  ）

A．等边三角形 B．直角边不相等的直角三角形

C．等腰直角三角形 D．钝角三角形

【答案】A

【解析】

因为、、依次成等差数列，

所以

由余弦定理可得：

将代入上式整理得：

所以，又

可得：为等边三角形

故选：A．

2．如图，为了测量某湿地两点间的距离，观察者找到在同一直线上的三点．从点测得，从点测得，，从点测得.若测得，（单位:百米），则两点的距离为(  )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

根据题意，在△ADC中，∠ACD＝45°，∠ADC＝67.5°，DC＝2，

则∠DAC＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°，则AC＝DC＝2，

在△BCE中，∠BCE＝75°，∠BEC＝60°，CE，

则∠EBC＝180°﹣75°﹣60°＝45°，

则有，变形可得BC，

在△ABC中，AC＝2，BC，∠ACB＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝60°，

则AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC•cos∠ACB＝9，

则AB＝3；

故选：C．

3．（吉林省长春市2019年高三质量监测四）《海岛算经》是中国学者刘徽编撰的一部测量数学著作，现有取自其中的一个问题：今有望海岛，立两表齐高三丈，前后相去千步，今后表与前表参相直，从前表却行一百二十三步，人目着地，取望岛峰，与表末参合，从后表却行一百二十七步，人目着地，取望岛峰，亦与表末参合，问岛高几何？用现代语言来解释，其意思为：立两个三丈高的标杆和，之间距离为步，两标杆的底端与海岛的底端在同一直线上，从第一个标杆处后退123步，人眼贴地面，从地上处仰望岛峰，三点共线；从后面的一个标杆处后退127步，从地上处仰望岛峰，三点也共线，则海岛的高为（   ）(古制：1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步)

A．步 B．步 C．步 D．步

【答案】A

【解析】

因为，所以，所以；

又，所以，所以；

又，所以，

即，所以步，

又，所以步.

故选A．

4．（陕西省咸阳市2019届高三模拟检测三）已知a、b、c分别是△ABC的内角A、B、C的对边，若，则的形状为（    ）

A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形

【答案】A

【解析】

因为在三角形中，变形为

由内角和定理可得

化简可得：

所以

所以三角形为钝角三角形

故选A．

5．（安徽省巢湖市2019届高三年级三月份联考）已知锐角的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，三角形ABC的面积，则的取值范围为　　

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

因为三角形为锐角三角形，所以过C作于D，D在边AB上，如图：

因为：，所以，

在三角形ADC中，，

在三角形BDC中，，

，，

．设 结合二次函数的性质得到：．

故选：D．

6．（四川省成都市2019届高三毕业班第二次诊断性检测）某小区打算将如图的一直三角形区域进行改建,在三边上各选一点连成等边三角形,在其内建造文化景观.已知,,则区域内面积(单位：)的最小值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

△ABC是直三角形，AB＝20m，AC＝10m，可得CB，

DEF是等边三角形，设∠CED＝θ；DE＝x，那么∠BFE＝+θ；则CE＝xcosθ，

△BFE中由正弦定理，可得

可得x，其中tanα；

∴x；

则△DEF面积S

故选：D．

7．（2019届四川省乐山市高三第一次调查研究考试）小王同学骑电动自行车以的速度沿着正北方向的公路行驶，在点处望见电视塔在电动车的北偏东方向上，后到点处望见电视塔在电动车的北偏东方向上，则电动车在点时与电视塔的距离是__________．

【答案】

【解析】

依题意有,，由正弦定理得，解得.

8．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科）如图所示，边长为1的正三角形中，点，分别在线段，上，将沿线段进行翻折，得到右图所示的图形，翻折后的点在线段上，则线段的最小值为_______．

【答案】

【解析】

设，，则，，∴，

在中，由正弦定理可得，

即，∴，

∴当即时，取得最小值．

故答案为：．

9．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试）海上一艘轮船以的速度向正东方向航行，在处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏东的方向上，航行后到达处测得小岛在北偏西的方向上，小岛在北偏西的方向上，则两个小岛间的距离______.

【答案】

【解析】

在中，由题意可得

∴由正弦定理

∴

∵在中，由于

由正弦定理可得

可得

∴中，由余弦定理可得

∴解得

即C、D之间的距离为

故答案为．

10．（浙江省三校2019年5月份第二次联考）在锐角中，内角所对的边分别是，，，则__________．的取值范围是__________．

【答案】       

【解析】

由正弦定理，可得，则.

由，可得， ，

所以.

由是锐角三角形，可得，，则，

所以，.

所以.

11．（河北省衡水市2019届高三四月大联考理）中，，，点在边上，且.

（1）求的长；

（2）若于，求.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）在中，，，

由余弦定理得，

∴，

∴．

∵，

∴，

∴在中，，，，

由余弦定理得，

即，

∴．

（2）由（1）知，

∴在直角中，，

∴在直角中，．

12．（宁夏银川市2019年高三下学期质量检测）在平面四边形中，已知，，．

（1）若，求的面积；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在中，

 即 ,解得.

所以.

（2）因为,所以 ，,

.

在中，, .

所以.

13．（黑龙江省哈尔滨市第六中学2019届高三第二次模拟考试）如图平面四边形的对角线的交点位于四边形的内部，，，，，当变化时，对角线的最大值为__________．

【答案】

【解析】

设∠ABC＝α，∠ACB＝β，则由余弦定理得，

AC2＝1+3﹣2×1cosα＝4﹣2cosα；

由正弦定理得，

则sinβ；

所以BD2＝3+（4﹣2cosα）﹣2cos（90°+β）

＝7﹣2cosα+2sinα

＝7+2sin（α﹣45°），

所以α＝135°时，BD取得最大值为1．

故答案为：1．

14．（湖北省八校（鄂南高中.黄石二中.华师一附中.黄冈中学.荆州中学.孝感中学.襄阳四中.襄阳五中)2019届高三第二次联合考）如图所示，在平面四边形ABCD中，若，，为正三角形，则面积的最大值为___．

【答案】

【解析】

设，，

由余弦定理可得，，

由正弦定理可得，即，

所以，

，

故当时，面积最大，最大值为．

15．（内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试理）如图：在中，，，.

（1）求角；

（2）设为的中点，求中线的长.

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）∵，∴.

由正弦定理，即.

得，∵，∴为钝角，为锐角，

故.

（2）∵，

∴.

由正弦定理得，即得.

在中由余弦定理得：，∴.

16．（河南省洛阳市2019届5月质量检测）已知三内角，，的对边分别为，，，点为边的中点，，.

（1）求；

（2）求面积的最大值.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）由正弦定理得：

即：

（2）为边的中点   

，又

，即

当且仅当时取等号

（当且仅当时取等号）

面积的最大值为．

17．（江苏省镇江市2019届高三考前三模）江心洲有一块如图所示的江边，，为岸边，岸边形成角，现拟在此江边用围网建一个江水养殖场，有两个方案：方案l：在岸边上取两点，用长度为的围网依托岸边线围成三角形（，两边为围网）；方案2：在岸边，上分别取点，用长度为的围网依托岸边围成三角形.请分别计算，面积的最大值，并比较哪个方案好.

【答案】，面积的最大值分别为，.其中方案好.

【解析】

方案：设，

由已知“用长度为的围网，，两边为围网”得且

当且仅当且时，等号成立

面积的最大值为

方案：设，

在中，由余弦定理得：

即

（当且仅当时等号成立）

（当且仅当时等号成立）

面积的最大值为

    方案好．

18．（广东省深圳市高级中学2019届高三6月适应性考试）工程队将从到修建一条隧道，测量员测得图中的一些数据（在同一水平面内），求之间的距离.

【答案】

【解析】

连接AC,

在中 ，

.

在 中，．

19．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测）在中，，，为的内角平分线，.

（Ⅰ）求的值

（Ⅱ）求角的大小

【答案】（Ⅰ）2；

（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）在三角形ABD中,由正弦定理得：

在三角形ACD中,由正弦定理得：

因为

（Ⅱ）在三角形ABD中,

由余弦定理得

在三角形ACD中,

由余弦定理得

又解得

又．

20．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试）已知中，，，.

（1）求的面积；

（2）求边上的中线的长.

【答案】（1）28（2）

【解析】

（1）且，

∴．

在中，由正弦定理得，

即，解得．

所以的面积为

（2）在中，， 所以由余弦定理得

，

所以．

21．（河南省开封市2019届高三第三次模拟理）在中，角，，所对的边分别为，，，且，是边上的点.

（I）求角；

（Ⅱ）若，，，求的长，

【答案】（I）；（Ⅱ）.

【解析】

（I）由，得，

，

，∵，∴，∴.

（Ⅱ）在中，，，，

由余弦定理得，所以，

在中，， ，由正弦定理，得，

所以.

22．（四川省内江市2019届高三第三次模拟考试）如图所示，在中，，是边上一点，，，.

（1）求的面积；

（2）求的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）在中，由余弦定理得

.

∴，故.

∴ .

（2），

.

在中，由正弦定理得，

∴ .

23．（湖南省长郡中学2019届高三下学期第一次模拟考试理）在中，三边所对应的角分别是.已知成等比数列.

（1）若，求角的值；

（2）若外接圆的面积为，求面积的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1），

又∵成等比数列，得，由正弦定理有，

∵，∴，得，即，

由知，不是最大边，∴.

（2）∵外接圆的面积为，∴的外接圆的半径，

由余弦定理，得，又，

∴，当且仅当时取等号，又∵为的内角，∴，

由正弦定理，得.

∴的面积，

∵，∴，∴.

24．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模）如图，在四边形中，，连接.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的面积最大值.

【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 。

【解析】

（Ⅰ）在中，由正弦定理得，

∴．

∵，

∴，

∴为锐角，

∴．

（Ⅱ）在中，，

∴.

在中，由余弦定理得，

∴，当且仅当时等号成立，

∴，

∴，

即面积的最大值为．