【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题32 数列的综合问题（含解析）

考点32 数列的综合问题
1．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试理）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（　　）
（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）
A．天 B．天 C．天 D．天
2．（新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为　　
A． B． C． D．
3．（安徽省“皖南八校”2018届高三第三次（4月)联考）删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（ ）
A． B． C． D．
4．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知等比数列的前项和为,，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列{an}满足Sn=（an），n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项的和，则[]=______．
7．（北京市朝阳区2019届高三第一次（3月)综合练习一模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．

8．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝______．
9．（湖北省武昌2018届元月调研考试）对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是，且，则__________．
10．（湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考数学理）在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为，令．
(1)数列的通项公式为=____________；
(2) =___________．
11．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知数列的前项和为，且，若对一切恒成立，则实数的取值范围是__________．
12．（山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试）已知等比数列的前项和为成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
13．（北京市西城区2019届高三4月统一测试一模）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.

















定义为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.
（Ⅰ）当时，试写出一个符合条件的完美数表；
（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；
（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.
14．（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对市每年的碳排放总量规定不能超过万吨,否则将采取紧急限排措施.已知市年的碳排放总量为万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量万吨.
（1）求市年的碳排放总量(用含的式子表示）；
（2）若市永远不需要采取紧急限排措施,求的取值范围.
15．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题）已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；
（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，{ }的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对"n≥2, n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．
16．（四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试数学理）已知函数，.
（1）当时，恒成立，试求实数的取值范围；
（2）若数列满足：，，证明：.
17．（北京市丰台区2018年高三年级一模数学试题理）已知无穷数列的前n项和为，记， ，…， 中奇数的个数为．
(Ⅰ)若= n，请写出数列的前5项；
(Ⅱ)求证："为奇数， (i = 2,3,4,...）为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件；
(Ⅲ)若，i=1, 2, 3,…，求数列的通项公式.
18．（2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试理）已知数列满足
（1）若数列满足，求证：是等比数列；
（2）若数列满足，求证：
19．（上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记 2016 年为第 1 年， 为第 1 年至此后第 年的累计利润（注：含第 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 为正值时，认为该项目赢利．
（1）试求 的表达式；
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．


考点32 数列的综合问题
1．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试理）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（　　）
（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）
A．天 B．天 C．天 D．天
【答案】C
【解析】
设蒲的长度组成等比数列{an}，其a1=3，公比为，其前n项和为An，则An=.
莞的长度组成等比数列{bn}，其b1=1，公比为2，其前n项和为Bn．则Bn ，
由题意可得： ，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．
∴n=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.
故选：C．
2．（新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由an+1﹣an2，
所以数列{an}是等差数列，且公差是2，{bn}是等比数列，且公比是2．
又因为＝1，所以an＝+（n﹣1）d＝2n﹣1．
所以b2n﹣1＝•22n﹣2＝22n﹣2．
设，所以＝22n﹣2，
所以4，所以数列{∁n}是等比数列，且公比为4，首项为1．
由等比数列的前n项和的公式得：
其前10项的和为（410﹣1）．
故选：D．
3．（安徽省“皖南八校”2018届高三第三次（4月)联考）删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.
4．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知等比数列的前项和为,，则（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
由可得，所以，又因为，所以选B.
5．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，可设 扇形区域的面积分别为 ，则由几何概型得，消费 元以上者抽中一等奖的概率 ，故选C.
6．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，已知正数列{an}满足Sn=（an），n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项的和，则[]=______．
【答案】20
【解析】
由题可知，当时，化简可得，当
所以数列是以首项和公差都是1的等差数列，即
又时，
记
一方面
另一方面
所以
即
故答案为20
7．（北京市朝阳区2019届高三第一次（3月)综合练习一模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．

【答案】
【解析】
第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，
则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，
所以，an＝9＋（n－1）×9＝9n，
所以，a27＝9×27＝243，
前27项和为：＝3402.
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8．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a2018＝______．
【答案】9
【解析】分析：将an+an+1+an+2=15中n换为n+1，可得数列{an}是周期为3的数列．求出a2，a1，即可得到a2018
详解：由题意可得an+an+1+an+2=15，将n换为an+1+an+2+an+3=15，可得an+3=an，可得数列{an是周期为3的数列．故，由an+an+1+an+2=15，n取1可得，故，故答案为9.
9．（湖北省武昌2018届元月调研考试）对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是，且，则__________．
【答案】100.
【解析】
设序列 的首项为，则序列，则它的第n项为，因此序列A的第项，则是关于的二次多项式，其中的系数为，因为，所以必有，故。
10．（湖南省株洲市醴陵第二中学、醴陵第四中学2018届高三上学期两校期中联考数学理）在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为，令．
(1)数列的通项公式为=____________；
(2) =___________．
【答案】 ;
【解析】设在数和之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列
则，即为此等比数列的公比


故数列的通项公式为
由可得，又





,
故答案为
11．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知数列的前项和为，且，若对一切恒成立，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
，当 时， . 又 且 ， ，得 ，因为，所以当 时， 取得最大值，最大值为 ，故答案为 .
12．（山东省淄博市2019届部分学校高三阶段性诊断考试）已知等比数列的前项和为成等差数列，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）设等比数列的公比为，
由成等差数列知，，
所以，即.
又，所以，所以，
所以等差数列的通项公式.
（2）由（1）知 ，
所以
所以数列的前 项和：



所以数列的前项和
13．（北京市西城区2019届高三4月统一测试一模）如图，设是由个实数组成的行列的数表，其中表示位于第行第列的实数，且.

















定义为第s行与第t行的积. 若对于任意（），都有，则称数表为完美数表.
（Ⅰ）当时，试写出一个符合条件的完美数表；
（Ⅱ）证明：不存在10行10列的完美数表；
（Ⅲ）设为行列的完美数表，且对于任意的和，都有，证明：.
【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（1）见解析，（2）不存在10行10列的完美数表；（Ⅲ）见解析
【解析】
（Ⅰ）答案不唯一. 如
1
1

1

（Ⅱ）假设存在10行10列的完美数表. 根据完美数表的定义，可以得到以下两个结论：
（1）把完美数表的任何一列的数变为其相反数（即均变为，而均变为），得到的新数表是完美数表；
（2）交换完美数表的任意两列，得到的新数表也是完美数表.
完美数表反复经过上述两个结论的变换，前三行可以为如下形式：





















































在这个新数表中，设前三行中的数均为1的有x列，前三行中“第1, 2行中的数为1，且第3行中的数为-1”的有y列，前三行中“第1, 3行中的数为1，且第2行中的数为-1”的有z列，前三行中“第1行中的数为1，且第2, 3行中的数为-1”的有w列（如上表所示），
则
由，得；
由，得；
由，得.
解方程组，，，，得. 这与矛盾，
所以不存在10行10列的完美数表.
（Ⅲ）记第1列前行中的数的和，
第2列前行中的数的和 ，……，
第n列前行中的数的和，
因为对于任意的和，都有，
所以.
又因为对于任意（），都有，
所以.
又因为，
所以，即.
14．（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对市每年的碳排放总量规定不能超过万吨,否则将采取紧急限排措施.已知市年的碳排放总量为万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量万吨.
（1）求市年的碳排放总量(用含的式子表示）；
（2）若市永远不需要采取紧急限排措施,求的取值范围.
【答案】(1) (2) （3）
【解析】
设2018年的碳排放总量为，2019年的碳排放总量为，…
（Ⅰ）由已知， ,
=.
（Ⅱ） ,
…
,
,
.
由已知有
（1）当即时,显然满足题意；
（2）当即时，
由指数函数的性质可得: ，解得.
综合得；
（3）当即时，
由指数函数的性质可得: ，解得,综合得.（13分）
综上可得所求范围是.
15．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题）已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（i＜j＜k），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求m＋n的最小值；
（3）令cn＝，记{cn}的前n项和为Tn，{ }的前n项和为An．若数列{pn}满足p1＝c1，且对"n≥2, n∈N*，都有pn＝＋Ancn，设{pn}的前n项和为Sn，求证：Sn＜4＋4lnn．
【答案】（1）（2） 或 （3）见解析
【解析】分析：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1）根据等差等比的通项公式化为首项和公差公比的关系求出公差公比记得到通项；（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有， 即 ，化简得， 可得 ， 即，然后结合m，n进行讨论求值即可；（3）结合错位相减法求和，在结合函数的思维构造不等式可得结论.
解：（1）设等差数列的公差为d（d≠0），等比数列在公比为q（q≠1），由题意得：

解得d＝1，q＝2，
所以.
（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，
有，
即 ，
由于，且为正整数，所以，
所以，
可得 ， 即，
①当1≤m≤2时，不等式不成立；
②当 或 时 成立；
③当时，，，即，则有；
所以的最小值为6，
当且仅当，且 或 时取得．
（3）由题意得：



（1）
（2）
（1）—（2）得
，
求得 ，
所以 ，
设，则，
所以 在上单调递增，有，
可得 .
当，且N*时，，
有 ，
所以，
可得，
所以.
16．（四川省南充高级中学2018届高三考前模拟考试数学理）已知函数，.
（1）当时，恒成立，试求实数的取值范围；
（2）若数列满足：，，证明：.
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）依题意，
恒成立，即恒成立，
亦即恒成立.
令，
则，
令，则，
在上单调递增，在上也单调递增，
当时，，
在上单调递增，
恒成立，
当时，在上单调递减，在上单调递增，
而，所以在不恒成立，
故实数的取值范围是；
（2），
所以，
若，则，

由（1）知，在上单调递增，且，
即当时，，
.
17．（北京市丰台区2018年高三年级一模数学试题理）已知无穷数列的前n项和为，记， ，…， 中奇数的个数为．
(Ⅰ)若= n，请写出数列的前5项；
(Ⅱ)求证："为奇数， (i = 2,3,4,...）为偶数”是“数列是单调递增数列”的充分不必要条件；
(Ⅲ)若，i=1, 2, 3,…，求数列的通项公式.
【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3) .
【解析
（Ⅰ）解： ， ， ， ， ．
（Ⅱ）证明：（充分性）
因为为奇数， 为偶数，
所以，对于任意， 都为奇数．
所以．
所以数列是单调递增数列．
（不必要性）
当数列中只有是奇数，其余项都是偶数时， 为偶数， 均为奇数，
所以，数列是单调递增数列．
所以“为奇数， 为偶数”不是“数列是单调递增数列”的必要条件；
综上所述，“为奇数， 为偶数”是“数列是单调递增数列” 的充分不必要条件．
（Ⅲ）解：（1）当为奇数时，
如果为偶数，
若为奇数，则为奇数，所以为偶数，与矛盾；
若为偶数，则为偶数，所以为奇数，与矛盾．
所以当为奇数时， 不能为偶数．
（2）当为偶数时，
如果为奇数，
若为奇数，则为偶数，所以为偶数，与矛盾；
若为偶数，则为奇数，所以为奇数，与矛盾．
所以当为偶数时， 不能为奇数．
综上可得与同奇偶．
所以为偶数．
因为为偶数，所以为偶数．
因为为偶数，且，所以．
因为，且，所以．
以此类推，可得．
18．（2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试理）已知数列满足
（1）若数列满足，求证：是等比数列；
（2）若数列满足，求证：
【答案】(1) 见解析；(2)见解析.
【解析】
(1) 由题可知，从而有，，所以是以1为首项，3为公比的等比数列.
(2) 由(1)知，从而，，有，
所以.
19．（上海市崇明区2018届高三第一次高考模拟考试）2016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目．规划从 2017 年起，在今后的若干年内，每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的基础上增长．记 2016 年为第 1 年， 为第 1 年至此后第 年的累计利润（注：含第 年，累计利润=累计净收入﹣累计投入，单位：千万元），且当 为正值时，认为该项目赢利．
（1）试求 的表达式；
（2）根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
【答案】(1) ；（2）.
【解析】
（1）由题意知，第1年至此后第n（n∈N*）年的累计投入为8+2（n﹣1）=2n+6（千万元），
第1年至此后第n（n∈N*）年的累计净收入为+×+×+…+×
=（千万元）．
∴f（n）=﹣（2n+6）=﹣2n﹣7（千万元）．
（2）方法一：∵f（n+1）﹣f（n）=[﹣2（n+1）﹣7]﹣[﹣2n﹣7]=[﹣4]，
∴当n≤3时，f（n+1）﹣f（n）＜0，故当n≤4时，f（n）递减；
当n≥4时，f（n+1）﹣f（n）＞0，故当n≥4时，f（n）递增．
又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2023年开始并持续赢利；
方法二：设f（x）=﹣2x﹣7（x≥1），则f′（x）=，
令f'（x）=0，得=≈=5，∴x≈4．
从而当x∈[1，4）时，f'（x）＜0，f（x）递减；
当x∈（4，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）递增．
又f（1）=﹣＜0，f（7）=≈5×﹣21=﹣＜0，f（8）=﹣23≈25﹣23=2＞0．
∴该项目将从第8年开始并持续赢利．
答：该项目将从2023年开始并持续赢利．