【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题41 空间点、直线、平面之间的位置关系（含解析）

考点41 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：
①若，，，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（　　）
A． B． C． D．
2．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）设是空间两条直线，则“不平行”是“是异面直线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测）如图，边长为1的菱形中， ，沿 将 翻折，得到三棱锥 ，则当三棱锥体积最大时，异面直线 与所成角的余弦值为（ ）


A． B． C． D．
4．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
5．（安徽省1号卷A10联盟2019届高考最后一卷数学理）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
6．（江西省吉安市2019届高三下学期第一次模拟考试数学理）如图，长为，宽为的矩形纸片中，为边的中点，将沿直线翻转（平面），若为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）

A．平面
B．异面直线与所成角是定值
C．三棱锥体积的最大值是
D．一定存在某个位置，使
7．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（ ）

A．点到的距离为
B．三棱锥的体积是
C．与平面所成的角是
D．与所成的角是
8．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
9．（湖北省武汉市2019年高考数学理）已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模数学理）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（　　）

A． B． C． D．
11．（广东省湛江市2019年普通高考测试二理）已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：
①若，则；
②若，且，则；
③若，则；
④ ，则.
其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
12．（甘肃省兰州市2019届高三实战模拟考试二诊数学（理）在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
13．（安徽省江淮十校2019届高三第三次联考）当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
14．（四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）如图，在长方体，且异面直线所成角的余弦值为，则该长方体外接球体积为

A． B．
C． D．
15．（陕西省延安市2019届高考模拟试题一理）已知，表示两条不同的直线，表示平面.下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
16．（河北省唐山市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知直线，和平面，，有如下三个命题：
①若存在平面，使，，则；
②若，是两条异面直线，，，，，则；
③若，，，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
17．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）如图所示，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为（ ）

A． B． C． D．
18．（宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学理）已知是所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
19．（2017届湖南省高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考数学理）已知边长为2的正方形的四个顶点在球的球面上，球的体积为，则与平面所成的角的余弦值为__________．
20．（甘肃省2019年高三第二次高考诊断考试理）直三棱柱-中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为________.
21．（四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．现有以下四个结论：

①AD∥平面SBC；
②；
③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；
④与平面SCD所成的角为45°．
其中正确结论的序号是__________．
22．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．
23．（河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)数学（理）在三棱锥中，，，，，则异面直线与所成角的正切值为__________．
24．（甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试理）直三棱柱中，底面为正三角形，，是的中点，异面直线与所成角的余弦值是，则三棱柱的表面积等于_____．
25．（河南省八市重点高中联盟2019届高三5月领军考试理）如图所示，在棱台中，平面，，

（1）求证：；
（2）求二面角的大小
26．（河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)数学（理）如图，在四棱锥中，四边形是边长为8的菱形，，是等边三角形，二面角的余弦值为.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面夹角的正弦值.
考点41 空间点、直线、平面之间的位置关系
1．（山东省日照市2019届高三5月校际联合考试数学理）已知是两条不同直线，是两个不同平面，给出四个命题：
①若，，，则；②若，则；③若，则；④若，则.其中正确的命题是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】①若，，，如图，则与不一定垂直，故①为假命题；

②若，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则；故②为真命题；
③若，则，故③为真命题；
④若，如图，则与可能相交，故④为假命题．

故选：B．
2．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）设是空间两条直线，则“不平行”是“是异面直线”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
由是异面直线⇒不平行．反之若直线不平行，也可能相交．
所以“不平行”是“是异面直线”的必要不充分条件．
故选：B．

3．（安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测）如图，边长为1的菱形中， ，沿 将 翻折，得到三棱锥 ，则当三棱锥体积最大时，异面直线 与所成角的余弦值为（ ）


A． B． C． D．
【答案】D
【解析】当三棱锥体积最大时，平面平面，
边长为1的菱形中，

取中点，连接，则平面，平面，
以为原点，分别为轴，建立空间直角坐标系
则，

设异面直线 与所成角为

即异面直线 与所成角的余弦值为
故选D．

4．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）如图所示，边长为a的空间四边形ABCD中，∠BCD＝90°，平面ABD⊥平面BCD，则异面直线AD与BC所成角的大小为（　　）

A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】
由题意得BC＝CD＝a，∠BCD＝90°，
∴BD＝，∴∠BAD＝90°，
取BD中点O，连结AO，CO，
∵AB＝BC＝CD＝DA＝a，
∴AO⊥BD，CO⊥BD，且AO＝BO＝OD＝OC＝，
又∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊥BD，
∴AO⊥平面BCD，
延长CO至点E，使CO＝OE，连结ED，EA，EB，
则四边形BCDE为正方形，即有BC∥DE，
∴∠ADE（或其补角）即为异面直线AD与BC所成角，
由题意得AE＝a，ED＝a，
∴△AED为正三角形，∴∠ADE＝60°，
∴异面直线AD与BC所成角的大小为60°．
故选：C．

5．（安徽省1号卷A10联盟2019届高考最后一卷数学理）已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，且，则
D．若，且，则
【答案】D
【解析】
若，，则或与异面或与相交，故选项错误；
若，，则与可能相交，故选项错误；
若直线不相交，则平面不一定平行，故选项错误；
， 或，又 ，故选项正确.
本题正确选项：
6．（江西省吉安市2019届高三下学期第一次模拟考试数学理）如图，长为，宽为的矩形纸片中，为边的中点，将沿直线翻转（平面），若为线段的中点，则在翻转过程中，下列说法错误的是（ ）

A．平面
B．异面直线与所成角是定值
C．三棱锥体积的最大值是
D．一定存在某个位置，使
【答案】D
【解析】
由题意，对于，延长，交于，连接，由为的中点，
可得为的中点，又为的中点，可得，平面，
平面，则平面，∴正确；
对于，，过作，平面，
则是异面直线与所成的角或所成角的补角，且，
在中，，，
则，
则为定值，即为定值，∴正确；
对于，设为的中点，连接，由直角三角形斜边的中线长为斜边的一半，可得
平面⊥平面时，三棱锥的体积最大，
最大体积为，∴正确；
对于，连接，可得，若，即有平面，
即有，由在平面中的射影为，
可得与垂直，但与不垂直，则不存在某个位置，使，∴错误；
故选：D．

7．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）如图，是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论正确的是（ ）

A．点到的距离为
B．三棱锥的体积是
C．与平面所成的角是
D．与所成的角是
【答案】D
【解析】
解：根据正方体的平面展开图，画出它的立体图形如图所示，

对于A，连接ND，与EF交于O点，连接AO，

则AO的长即点到的距离，AO，故A错误；
对于B，三棱锥的体积是，故B错误；
对于C，F点到平面CDN的距离为，∴与平面所成的角的正弦值为，
故C错误；
对于D，与所成的角即MC与所成的角，显然是60°，故D正确，
故选：D
8．（新疆乌鲁木齐市2019届高三第二次诊断性测试数学理）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，，，则
D．若，，，则
【答案】D
【解析】
若，，则有可能在面内，故A错误；
若，，有可能在面内，故B错误；
若一平面内两相交直线分别与另一平面平行，则两平面平行，故C错误．
若，，，则由直线与平面平行的性质知，故D正确．
故选D.
9．（湖北省武汉市2019年高考数学理）已知两个平面相互垂直，下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
由题意，对于①，当两个平面垂直时，一个平面内的不垂直于交线的直线不垂直于另一个平面内的任意一条直线，故①错误；
对于②，设平面α∩平面β=m，n⊂α，l⊂β，
∵平面α⊥平面β， ∴当l⊥m时，必有l⊥α，而n⊂α， ∴l⊥n，
而在平面β内与l平行的直线有无数条，这些直线均与n垂直，故一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线，即②正确；
对于③，当两个平面垂直时，一个平面内的任一条直线不垂直于另一个平面，故③错误；
对于④，当两个平面垂直时，过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面，这是面面垂直的性质定理，故④正确；
故选：B．
10．（辽宁省辽阳市2019届高三下学期一模数学理）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB和A1D1的中点分别为E，F，AB＝6，AD＝8，AA1＝7，则异面直线EF与AA1所成角的正切值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
取A1B1中点G，连接EG，FG，EG⊥FG，因为EG∥AA1，
所以异面直线EF与AA1所成角为∠FEG或其补角，
在△EFG中，FG＝5，EG＝7，所以tan∠FEG，
故选：A．

11．（广东省湛江市2019年普通高考测试二理）已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，给出下列命题：
①若，则；
②若，且，则；
③若，则；
④ ，则.
其中真命题的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】对①若，则或m,n异面，故错误；
对②，由线面平行的判定定理知：若，且，则，正确
对③，若，则则，正确
对④，设在面内任取点O,作OA OB由，得OA OB故OA OB则又，正确
综上真命题的个数是3个
故选：C．
12．（甘肃省兰州市2019届高三实战模拟考试二诊数学（理）在长方体中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
因为长方体
所以，所以即为异面直线与所成角。
因为平面，
所以，即为直角三角形
由题意得，在中，，，
所以，故选C。
13．（安徽省江淮十校2019届高三第三次联考）当动点在正方体的体对角线上运动时，异面直线与所成角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
以为原点，，，分别为，，轴正向，建立空间直角坐标系，则，，设，则，
，，
故 ，
对于函数 ，有：
，，
故，又，
故.故选.
14．（四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）如图，在长方体，且异面直线所成角的余弦值为，则该长方体外接球体积为

A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
∵异面直线所成角的余弦值为，且，
∴，
在中，设.
∵，
∴，
∴，∴
则长方体外接球直径为，半径为
故选：B．
15．（陕西省延安市2019届高考模拟试题一理）已知，表示两条不同的直线，表示平面.下列说法正确的是（ ）
A．若，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】B
【解析】
A．若m∥α，n∥α，则m，n相交或平行或异面，故A错；
B．若m⊥α，，由线面垂直的性质定理可知，故B正确；
C．若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故C错；
D．若m∥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α或n⊥α，故D错．
故选：B．


16．（河北省唐山市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知直线，和平面，，有如下三个命题：
①若存在平面，使，，则；
②若，是两条异面直线，，，，，则；
③若，，，则.
其中正确命题的个数是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
【答案】C
【解析】
对①，若存在平面，使，，则或与相交，故①错误；
对②，假设与不平行,则与相交,设交线为n,∵，,∩=n,∴同理，,与，异面矛盾，故假设不成立，所以正确
对③，若，，则,又，则，故③正确．
17．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）如图所示，长方体的棱和的中点分别为，，，，，则异面直线与所成角的正切值为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
作，垂足为，连接，
因为，所以为异面直线与所成的角（或补角），且，
因为，，所以.

故选：B
18．（宁夏六盘山高级中学2019届高三下学期第二次模拟考试数学理）已知是所在平面外一点，分别是的中点，若，则异面直线与所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据题意，画出图形如下图所示

连接AC，取中点Q，连接QM、QN
则 ，
则在中，由余弦定理可得

所以
所以选A．
19．（2017届湖南省高三长郡中学、衡阳八中等十三校重点中学第一次联考数学理）已知边长为2的正方形的四个顶点在球的球面上，球的体积为，则与平面所成的角的余弦值为__________．
【答案】
【解析】

过 作平面，垂足为，则为正方形的中心。
正方形的边长为 ,，
,球的半径 .
与平面所成的角的余弦值为 .
20．（甘肃省2019年高三第二次高考诊断考试理）直三棱柱-中，，，，，则异面直线与所成角的余弦值为________.
【答案】
【解析】
连接交于E，则E为为中点，取AB中点F,连接EF,故EF，则或其补角为所求，又EF=,
在三角形中，cos
故答案为．
21．（四川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）如图，已知圆锥的顶点为S，底面圆O的两条直径分别为AB和CD，且AB⊥CD，若平面平面．现有以下四个结论：

①AD∥平面SBC；
②；
③若E是底面圆周上的动点，则△SAE的最大面积等于△SAB的面积；
④与平面SCD所成的角为45°．
其中正确结论的序号是__________．
【答案】①②④
【解析】
由AB和CD是圆O得直径及AB⊥CD，得四边形ABCD为正方形，则AD∥BC，
从而AD∥平面SBC，则①正确；又因为平面SAD，且平面，所以，则②正确；因为，当∠ASB为钝角时，；
当∠ASB为锐角或直角时，，则③不正确；由，得与平面SCD所成的角等于AD与平面SCD所成的角，即为∠ADO，又因为∠ADO=45°，故④正确.
故答案为：①②④．
22．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）在正三棱柱中，，，分别为，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________．
【答案】
【解析】

如图，连接,则
所以异面直线与所成的角就是直线和所成锐角或直角.
由题得,
在△中，由余弦定理得.
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故答案为：．
23．（河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)数学（理）在三棱锥中，，，，，则异面直线与所成角的正切值为__________．
【答案】
【解析】
如图所示，作底面于点，连接，，，与相交于点.

由，，易知是中点，，所以.设，，则，,.由两式可解得，.从而四边形为正方形.异面直线与所成角即，.
故答案为：.
24．（甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试理）直三棱柱中，底面为正三角形，，是的中点，异面直线与所成角的余弦值是，则三棱柱的表面积等于_____．
【答案】
【解析】
设是的中点，画出图像如下图所示，由于，故是异面直线与所成角.设三棱柱的高为，则，,由于异面直线与所成角的余弦值是，在三角形中，由余弦定理得，解得.故三棱柱的表面积为.

25．（河南省八市重点高中联盟2019届高三5月领军考试理）如图所示，在棱台中，平面，，

（1）求证：；
（2）求二面角的大小
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
（1）连结，设，因为，，所以，
又因为，所以四边形为平行四边形，因此，
在直角梯形中，，，
因此，所以，因此

（2）因为平面，所以建立如图空间直角坐标系，
设，则，，，，，，，，
设向量为平面的法向量，则有，即，
令，取平面的一个法向量.
设向量为平面的法向量，则有，即
令，取平面的一个法向量，
,
设二面角的平面角为，则
因此二面角的大小为.
26．（河南省天一大联考2019届高三阶段性测试（五)数学（理）如图，在四棱锥中，四边形是边长为8的菱形，，是等边三角形，二面角的余弦值为.

（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面夹角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明(Ⅱ)
【解析】
（Ⅰ）连接交于点O.
因为四边形是菱形，所以，且和互相平分.
又因为，O为的中点，所以，
又因为，所以平面.
因为平面，所以.
（Ⅱ）过点作交点为，因为平面，所以，
因为，所以平面.
易知为二面角的平面角，所以，.
又因为，所以和都是边长为8的等边三角形.
所以，则，.
建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.
所以，，.
设平面的法向量为，则，
即，则.
所以，
所以直线与平面夹角的正弦值为.