【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题59 几何概型（含解析）
展开考点59 几何概型
1．(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )
A．16.32 B．15.32
C．8.68 D．7.68
2．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评数学理）在区间上随机取两个数,则事件“”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．(2018辽宁五校联考)若实数k∈[－3,3]，则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切的概率等于( )
A. B．
C． D．
4．（湖南省2019届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥S－ABC内任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是( )
A. B．
C． D．
6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）设函数，在区间上随机取一个数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．(2018石家庄一模)在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为( )
A. B．
C． D．
8．（2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试数学理）如图，扇形AOB的圆心角为，点P在弦AB上，且，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为
A． B． C． D．
9．(2018湖南十校联考)如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )
A. B．
C． D．
10．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图，在正方形内任取一点，则点恰好取自阴影部分内的概率为（ ）
A． B．
C． D．
11.(2018武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为( ),
A. B．
C． D．,
12．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ）
A．0.18 B．0.32 C．0.36 D．0.64
13．(2018济南模拟)如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)，则以x，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为( ),
A.1－ B．1－
C.1－ D．
14．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）
A． B． C． D．
15.(2018重庆检测)在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________．
16．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
17．(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．
18．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月数学理）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )
A． B．
C． D．
19．(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________．
20．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）如图，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )
A． B． C． D．
21．(2018河南检测)若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴，y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．
22．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）如图，矩形满足，为的中点，其中曲线为过三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
23．(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．
24．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的，能与构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数，估计的值.那么可以估计的值约为（ ）
A． B． C． D．
考点59 几何概型
1．(2018佛山模拟)如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆数为96，以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( )
A．16.32 B．15.32
C．8.68 D．7.68
【答案】A
【解析】设椭圆的面积为S，则＝，故S＝16.32.
2．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评数学理）在区间上随机取两个数,则事件“”发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】在区间上随机取两个数点构成的区域为边长为1的正方形及其内部，事件“”构成的区域为圆及其内部，所以概率
3．(2018辽宁五校联考)若实数k∈[－3,3]，则k的值使得过点A(1,1)可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx－2y－k＝0相切的概率等于( )
A. B．
C． D．
【答案】D
【解析】由点A在圆外可得k＜0，由题中方程表示圆可得k＞－1或k＜－4，所以－1＜k＜0，故所求概率为.故选D.
4．（湖南省2019届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，可设 扇形区域的面积分别为 ，则由几何概型得，消费 元以上者抽中一等奖的概率 ，故选C.
5．(2018宁夏银川模拟)在正三棱锥S－ABC内任取一点P，使得VP－ABC＜VS－ABC的概率是( )
A. B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，分别取D，E，F为SA，SB，SC的中点，则满足条件的点P应在棱台DEF－ABC内，而S△DEF＝S△ABC，∴VS－DEF＝VS－ABC.
∴P＝＝.故选A.
6．（2017届四川省成都市石室中学高三二诊模拟考试数学理）设函数，在区间上随机取一个数，则的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
由,得,即,根据几何概型的概率公式可得从区间内随机选取一个实数,的概率为,故选D.
7．(2018石家庄一模)在区间[0,1]上随意选择两个实数x，y，则使≤1成立的概率为( )
A. B．
C． D．
【答案】B
【解析】如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得≤1成立的平面区域为以坐标原点O为圆心，1为半径的圆的与x轴正半轴，y轴正半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率P＝＝.故选B.
8．（2017届吉林省长春市普通高中高三下学期第二次模拟考试数学理）如图，扇形AOB的圆心角为，点P在弦AB上，且，延长OP交弧AB于点C，现向扇形AOB内投一点，则该点落在扇形AOC内的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
设，则，由余弦定理可求得，有，所以扇形的面积为，扇形的面积为，从而所求概率为.故选A.
9．(2018湖南十校联考)如图所示，正方形的四个顶点分别为O(0,0)，A(1，0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2经过点B，现将一个质点随机投入正方形中，则质点落在图中阴影区域的概率是( )
A. B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可知，阴影部分的面积S阴影＝0x2dx＝x3＝，又正方形的面积S＝1，故质点落在图中阴影区域的概率P＝＝.故选C.
10．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）如图，在正方形内任取一点，则点恰好取自阴影部分内的概率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
由图可知曲线与正方形在第一象限的交点坐标为（1，1），
由定积分的定义可得：S阴（1）dx＝（x），
设“点M恰好取自阴影部分内”为事件A，
由几何概型中的面积型可得：
P（A），
故选：B．
11.(2018武汉武昌区调研)在区间[0,1]上随机取一个数x，则事件“log0.5(4x－3)≥0”发生的概率为( ),
A. B．
C． D．,
【答案】D
【解析】因为log0.5(4x－3)≥0，所以0＜4x－3≤1，即＜x≤1，所以所求概率P＝＝.故选D.,
12．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）若即时起10分钟内，305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站，则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为（ ）
A．0.18 B．0.32 C．0.36 D．0.64
【答案】C
【解析】设305路车和202路车的进站时间分别为、，设所有基本事件为 ,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件，则,画出不等式表示的区域如图中阴影区域，则，则.
选.
13．(2018济南模拟)如图所示，在边长为1的正方形OABC内任取一点P(x，y)，则以x，y,1为边长能构成锐角三角形的概率为( ),
A.1－ B．1－
C.1－ D．
【答案】A
【解析】连接AC，首先由x＋y＞1得构成三角形的点P在△ABC内，若构成锐角三角形，则最大边1所对的角α必是锐角，cos α＝＞0，x2＋y2＞1，即点P在以原点为圆心，1为半径的圆外．∴点P在边AB，BC及圆弧AC围成的区域内．∴所求概率为＝1－.故选A.
14．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体，在阳马中，为阳马中最长的棱，，若在阳马的外接球内部随机取一点，则该点位阳马内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据题意，的长等于其外接球的直径，因为，∴，∴，又平面，所以，
∴.
15.(2018重庆检测)在不等式组所表示的平面区域内随机地取一点P，则点P恰好落在第二象限的概率为________．
【答案】
【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图中阴影部分所示)，因为S△ABC＝×3×＝，S△AOD＝×1×1＝，所以点P恰好落在第二象限的概率为＝＝.
16．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）如图在圆中，，是圆互相垂直的两条直径，现分别以，，，为直径作四个圆，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
设圆的半径为2，阴影部分为8个全等的弓形组成，设每个小弓形的面积为,则，圆的面积为，在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是，则,故本题选D.
17．(2018邢台摸底考试)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为________．
【答案】
【解析】由题意知，所求的概率为1－÷(π×12×3)＝.
18．（广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试6月数学理）勒洛三角形是具有类似圆的“定宽性”的面积最小的曲线，它由德国机械工程专家，机构运动学家勒洛首先发现， 其作法是：以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段弧，三段弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．现在勒洛三角形中随机取一点，则此点取自正三角形内的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
如图：设，以为圆心的扇形面积是，
的面积是，
所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，
即，
所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是
，故选B.
19．(2018沈阳模拟)某人家门前挂了两盏灯笼，这两盏灯笼发光的时刻相互独立，且都在通电后的5秒内任意时刻等可能发生，则它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率是________．
【答案】
【解析】设两盏灯笼通电后发光的时刻分别为x，y，则由题意可知0≤x≤5,0≤y≤5，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒，即|x－y|≤3，做出图形如图所示，根据几何概型的概率计算公式可知，它们通电后发光的时刻相差不超过3秒的概率P＝1－＝.
20．（甘肃省兰州市第一中学2019届高三6月最后高考冲刺模拟数学理）如图，在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，阴影部分的面积为，
又矩形的面积为，
所以在矩形内随机撒一颗黄豆，则它落在空白部分的概率为
.
故选B
21．(2018河南检测)若m∈(0,3)，则直线(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0与x轴，y轴围成的三角形的面积小于的概率为________．
【答案】
【解析】对于直线方程(m＋2)x＋(3－m)y－3＝0，令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝.由题意可得··＜，因为m∈(0,3)，所以解得0＜m＜2，由几何概型的概率计算公式可得，所求事件的概率是.
22．（安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理）如图，矩形满足，为的中点，其中曲线为过三点的抛物线.随机向矩形内投一点，则该点落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
以所在的直线为x轴，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，不妨设，
则，,过三点抛物线方程为,
阴影部分面积为,又矩形得面积为,
故点落在阴影部分的概率为.
故选：A
23．(2018云南昆明统测)在底和高等长度的锐角三角形中有一个内接矩形ABCD，矩形的一边BC在三角形的底边上，如图，在三角形内任取一点，则该点取自矩形内的最大概率为________．
【答案】
【解析】设AD＝x，AB＝y，则由三角形相似可得＝，解得y＝a－x，所以矩形的面积S＝xy＝x(a－x)≤2＝，当且仅当x＝a－x，即x＝时，S取得最大值，所以该点取自矩形内的最大概率为＝.
24．（河南省郑州市2019届高三第三次质量检测数学理）关于圆周率，数学发展史上出现过多很有创意的求法，如著名的蒲丰试验，受其启发，我们也可以通过设计下面的试验来估计的值，试验步骤如下：①先请高二年级名同学每人在小卡片上随机写下一个实数对；②若卡片上的，能与构成锐角三角形，则将此卡片上交；③统计上交的卡片数，记为；④根据统计数，估计的值.那么可以估计的值约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意，实数对，即面积为1
且卡片上的，能与构成锐角三角形，即满足，且 ，所以面积为
所以，能与构成锐角三角形的概率为：
由题，n张卡片上交m张，即
故选C
