【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题62 离散型随机变量均值与方差、正态分布（含解析）

考点62 离散型随机变量均值与方差、正态分布
1．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）一试验田某种作物一株生长果个数服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量，且服从二项分布，则的方差为（　　）
A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21
2．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望_______．
4．（河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A卷理）已知随机变量服从正态分布，若，则__________．
5．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试成绩.统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则数学成绩不低于120分的学生人数约为__________．
6．（2019届湘赣十四校高三联考第二次考试理）我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.
（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；
（2）设表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求的分布列与数学期望.
7．（天津市耀华中学2019届高三第一次模拟考试数学理）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。
(Ⅰ)现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球，重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球，求：
①最多取两次就结束的概率；
②整个过程中恰好取到2个白球的概率；
(Ⅱ)若改为从中任取出一球确定颜色后不放回盒子里，再取下一个球。重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球，则设取球的次数为随机变量求的分布列和数学期望,
8．（天津市红桥区2019届高三二模数学理）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．
I.求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
II.求随机变量的分布列和期望．
9．（广东省2019届高考适应性考试理）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进。目前，国家教育主管部门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求。为激发学生加强体育活动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止。设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立。已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.
（1）求的值；
（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望.
10．（天津市河西区2019届高三一模数学理）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.虽然只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响.我国标准如下表所示.我市环保局从市区四个监测点2018年全年每天的监测数据中随机抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示.

（Ⅰ）求这天数据的平均值；
（Ⅱ）从这天的数据中任取天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）以天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.
11．（天津市河北区2019届高三一模数学理）某小组共7人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动的次数为1，2，3的人数分别为2，2，3.现从这7人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会：
（Ⅰ）设A为事件“选出的2人参加义工活动的次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望.
12．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从四所高校中选2所.
（1）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；
（2）若甲必选，记为甲、乙、丙三名同学中选校的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
13．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)数学（理）某医院治疗白血病有甲、乙两套方案，现就70名患者治疗后复发的情况进行了统计，得到其等高条形图如图所示（其中采用甲、乙两种治疗方案的患者人数之比为）．

（1）补充完整列联表中的数据，并判断是否有的把握认为甲、乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响；

（2）从复发的患者中抽取3人进行分析，求其中接受“乙方案”治疗的人数的数学期望．
附：











，其中．
14．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解，两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，经他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.

（1）你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？
（2）在被抽取的10名学生中，从平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中随机抽取3名学生，求抽到班学生人数的分布列和数学期望.
15．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）2019年1月4日，据“央视财经”微信公众号消息，点外卖已成为众多消费者一大常规的就餐形式，外卖员也成为了一种职业.为调查某外卖平台外卖员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计得如下频率分布直方图：

将上述调查所得到的频率视为概率.
（1）求的值，并估计利用该外卖平台点外卖用户的平均送餐距离；
（2）若该外卖平台给外卖员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份9元.
（i）记为外卖员送一份外卖的收入（单位：元），求的分布列和数学期望；
（ii）若外卖员一天的收入不低于150元，试利用上述数据估计该外卖员一天的送餐距离至少为多少千米？
16．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为．如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望．
17．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：
单价（千元）






销量（百件）







已知.
（1）若变量具有线性相关关系，求产品销量（百件）关于试销单价（千元）的线性回归方程；
（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从个销售数据中任取个子，求“好数据”个数的分布列和数学期望.
（参考公式：线性回归方程中的估计值分别为.
18．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）10月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：
手机店





型号手机销量
6
6
13
8
11
型号手机销量
12
9
13
6
4

（Ⅰ）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（III）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系.若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.（用表示，结论不要求证明）
19．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）

经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
50

100
女性
70

100
合计




（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？
（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．
参考公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

20．（北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模)数学（理）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：
专家
A
B
C
D
E
评分
9.6
9.5
9.6
8.9
9.7


（1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；
（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；
（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．
21．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模数学理）从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：

（Ⅰ）求这件产品质量指标的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）已知每件该产品的生产成本为元，每件合格品（质量指标值）的定价为元；若为次品（质量指标值），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户元。若该公司卖出件这种产品，记表示这件产品的利润，求.
附：.若，则 .
22．（福建省南平市2019届普通高中毕业班第二次5月)综合质量检查数学理）从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中以近似为样本平均数，近似为样本方差．
（ⅰ）利用该正态分布，求；
（ⅱ）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求．
附：．若，则，．
23．（内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查调研考试理）随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活，在家里不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，所以选择网购的人数在逐年增加.某网店统计了2014年一2018年五年来在该网店的购买人数（单位：人）各年份的数据如下表：
年份（）
1
2
3
4
5

24
27
41
64
79

（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与时间（单位：年）的关系，请通过计算相关系数加以说明，（若，则该线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式
参考数据
（2）该网店为了更好的设计2019年的“双十一”网购活动安排，统计了2018年“双十一”期间8个不同地区的网购顾客用于网购的时间x（单位：小时）作为样本，得到下表
地区








时间
0.9
1.6
1.4
2.5
2.6
2.4
3.1
1.5

①求该样本数据的平均数；
②通过大量数据统计发现，该活动期间网购时间近似服从正态分布，如果预计2019年“双十一”期间的网购人数大约为50000人，估计网购时间的人数.
（附：若随机变量服从正态分布则，
24．（湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学理）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加。为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收人并制成如下频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入,近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求:
(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况, 扶贫办随机走访了1000位农民。若每个农民的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附：参考数据与公式，若～，则①；②；③.















考点62 离散型随机变量均值与方差、正态分布
1．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）一试验田某种作物一株生长果个数服从正态分布，且，从试验田中随机抽取10株，果实个数在的株数记作随机变量，且服从二项分布，则的方差为（　　）
A．3 B．2.1 C．0.3 D．0.21
【答案】B
【解析】
∵，且，
所以
∴，
∴，
的方差为．
故选B．
2．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）某班有50名学生，一次数学考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102），已知P（95≤ξ≤105）=0.32，估计该班学生数学成绩在115分以上的人数为（　　）
A．10 B．9 C．8 D．7
【答案】B
【解析】
∵考试的成绩ξ服从正态分布N（105，102）．
∴考试的成绩ξ关于ξ=105对称，
∵P（95≤ξ≤105）=0.32，
∴P（ξ≥115）=（1-0.64）=0.18，
∴该班数学成绩在115分以上的人数为0.18×50=9
故选：B．
3．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理）某种种子每粒发芽的概率都为0.85，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为，则的数学期望_______．
【答案】300
【解析】设没有发芽的种子数为,则有,由题意可知服从二项分布，即
,,.
4．（河北省石家庄市2019届高三毕业班模拟考试一A卷理）已知随机变量服从正态分布，若，则__________．
【答案】1
【解析】
由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为，
结合题意有：.
故答案为：1．
5．（湖南省益阳市2019届高三4月模拟考试数学理）某市高三年级26000名学生参加了2019年3月模拟考试，已知数学考试成绩.统计结果显示数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则数学成绩不低于120分的学生人数约为__________．
【答案】3250
【解析】
因为成绩，所以正态分布曲线关于对称，又成绩在80分到120分之间的人数约占总人数的，由对称性知：成绩不低于120分的学生约为总人数的，所以此次考试成绩不低于120分的学生约有.
6．（2019届湘赣十四校高三联考第二次考试理）我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）.
（1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；
（2）设表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
设表示2名女性观众中认为好看的人数，表示2名男性观众中认为好看的人数，
则，.
（1）设事件表示“这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多”，则
,
.
（2）的可能取值为0，1，2，3，4，
，
，
= ，
,
，
,
，
，
∴的分布列为

0
1
2
3
4







∴.
7．（天津市耀华中学2019届高三第一次模拟考试数学理）在盒子里有大小相同，仅颜色不同的乒乓球共10个，其中红球4个，白球3个，蓝球3个。
(Ⅰ)现从中任取出一球确定颜色后放回盒子里，再取下一个球，重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球，求：
①最多取两次就结束的概率；
②整个过程中恰好取到2个白球的概率；
(Ⅱ)若改为从中任取出一球确定颜色后不放回盒子里，再取下一个球。重复以上操作，最多取3次，过程中如果取出蓝色球则不再取球，则设取球的次数为随机变量求的分布列和数学期望,
【答案】(Ⅰ)①，②；(Ⅱ)答案见解析.
(Ⅰ)①设取球的次数为，
则，，
故最多取两次就结束的概率.
②由题意可知，可以如下取球：红白白，白红白，白白红，白白蓝，
所以恰好取到 2 个白球的概率：.
(Ⅱ)随机变量的取值为 1,2,3 ，
，
，
随机变量的分布列为：

1
2
3





的数学期望.
8．（天津市红桥区2019届高三二模数学理）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字．
I.求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
II.求随机变量的分布列和期望．
【答案】I.；II.见解析
【解析】
I.一次取出的个小球上的数字互不相同的事件记为
则为一次取出的个小球上有两个数字相同

II.由题意可知所有可能的取值为：
；；
；
的分布列为：











则
9．（广东省2019届高考适应性考试理）当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进。目前，国家教育主管部门正在研制的《新时代全面加强和改进学校体育美育工作意见》，以及将出台的加强劳动教育指导意见和劳动教育指导大纲，无疑将对体美劳教育提出刚性要求。为激发学生加强体育活动，保证学生健康成长，某校开展了校级排球比赛，现有甲乙两人进行比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止。设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立。已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为.
（1）求的值；
（2）设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】解：（1）依题意，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛结束．
所以有．解得或（舍）．
（2）依题意知，依题意知，的所有可能值为2，4，6，8．
设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．
从而有，
，
，
．
所以随机变量的分布列为：

2
4
6
8






则
10．（天津市河西区2019届高三一模数学理）是指大气中直径小于或等于微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.虽然只是地球大气成分中含量很少的组分，但它对空气质量和能见度等有重要的影响.我国标准如下表所示.我市环保局从市区四个监测点2018年全年每天的监测数据中随机抽取天的数据作为样本，监测值如茎叶图如图所示.

（Ⅰ）求这天数据的平均值；
（Ⅱ）从这天的数据中任取天的数据，记表示其中空气质量达到一级的天数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）以天的日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按天计算）中大约有多少天的空气质量达到一级.
【答案】（Ⅰ）25（Ⅱ）分布列见解析，（Ⅲ）一年中平均有天的空气质量达到一级.
【解析】
（Ⅰ）解：随机抽取天的数据的平均数为：

（Ⅱ）依据条件，的可能值为，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
所以其分布列为：












数学期望为：
（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级的概率为，一年中空气质量达到一级的天数为，则，
∴（天）
所以一年中平均有天的空气质量达到一级.
11．（天津市河北区2019届高三一模数学理）某小组共7人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动的次数为1，2，3的人数分别为2，2，3.现从这7人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会：
（Ⅰ）设A为事件“选出的2人参加义工活动的次数之和为4”，求事件A发生的概率；
（Ⅱ）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望.
【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）见解析
【解析】
（I）由已知得：P，
∴事件A发生的概率为；
（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2；
计算，
P（X＝1），
P（X＝2）；
∴随机变量X的分布列为
X
0
1
2
P




∴随机变量X的数学期望为
E（X）＝012．
12．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）某中学的甲、乙、丙三名同学参加高校自主招生考试，每位同学彼此独立的从四所高校中选2所.
（1）求甲、乙、丙三名同学都选高校的概率；
（2）若甲必选，记为甲、乙、丙三名同学中选校的人数，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）设“甲、乙、丙三名同学都选高校”为事件，则
.
（2）甲同学选中高校的概率为：，
乙、丙同学选中高校的概率为：，
所有可能的取值为0,1,2,3，
，有；
；
；
;
的分布列为

0
1
2
3






.
13．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)数学（理）某医院治疗白血病有甲、乙两套方案，现就70名患者治疗后复发的情况进行了统计，得到其等高条形图如图所示（其中采用甲、乙两种治疗方案的患者人数之比为）．

（1）补充完整列联表中的数据，并判断是否有的把握认为甲、乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响；

（2）从复发的患者中抽取3人进行分析，求其中接受“乙方案”治疗的人数的数学期望．
附：











，其中．
【答案】（1）没有；（2）.
【解析】
（1）

复发
未复发
总计
甲方案
20
30
50
乙方案
2
18
20
总计
22
48
70


由于，
所以没有的把握认为甲、乙两套治疗方案对患者白血病复发有影响；
（2）接受“乙方案”治疗的人数.
；；；
.
14．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试数学理）槟榔原产于马来西亚，中国主要分布在云南、海南及台湾等热带地区，亚洲热带地区广泛栽培.槟榔是重要的中药材，南方一些少数民族还有将果实作为一种咀嚼嗜好品，但其被世界卫生组织国际癌症研究机构列为致癌物清单Ⅰ类致癌物.云南某民族中学为了解，两个少数民族班的学生咀嚼槟榔的情况，分别从这两个班中随机抽取5名学生进行调查，经他们平均每周咀嚼槟榔的颗数作为样本，绘制成如图所示的茎叶图（图中的茎表示十位数字，叶表示个位数字）.

（1）你能否估计哪个班的学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多？
（2）在被抽取的10名学生中，从平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中随机抽取3名学生，求抽到班学生人数的分布列和数学期望.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）班样本数据的平均值为，
由此估计班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为17颗，
班样本数据的平均值为，
由此估计班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数为19颗.
故估计班学生平均每周咀嚼槟榔的颗数较多
（2）∵平均每周咀嚼槟榔的颗数不低于20颗的学生中，班有2人，班有3人，共有5人，
∴的可能取值为1，2，3，
，，，
∴的分布列为：

1
2
3





∴.
15．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）2019年1月4日，据“央视财经”微信公众号消息，点外卖已成为众多消费者一大常规的就餐形式，外卖员也成为了一种职业.为调查某外卖平台外卖员的送餐收入，现从该平台随机抽取100名点外卖的用户进行统计，按送餐距离分类统计得如下频率分布直方图：

将上述调查所得到的频率视为概率.
（1）求的值，并估计利用该外卖平台点外卖用户的平均送餐距离；
（2）若该外卖平台给外卖员的送餐费用与送餐距离有关，规定2千米内为短距离，每份3元，2千米到4千米为中距离，每份5元，超过4千米为远距离，每份9元.
（i）记为外卖员送一份外卖的收入（单位：元），求的分布列和数学期望；
（ii）若外卖员一天的收入不低于150元，试利用上述数据估计该外卖员一天的送餐距离至少为多少千米？
【答案】（1），2.7千米；（2）（i）详见解析；（ii）81千米.
【解析】
（1）因为，解得.
点外卖用户的平均送餐距离为千米.
（2）（i）由题意知的所有可能取值为3，5，9.
；；.
所有的分布列为

3
5
9

0.30
0.55
0.15

的数学期望为（元）.
（ii）因为，则估计外卖员一天至少要送30份外卖，所以该外卖员一天的送餐距离至少为千米.
16．（广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为．如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望．
【答案】(1) (2)分布列见解析，
【解析】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，
第一次取出的4件产品全是优质品为事件，
第二次取出的4件产品全是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件，
这批产品通过检验为事件，依题意有，且与互斥，
所以

（2）可能的取值为400，500，800，并且，，
，故的分布列如下：

400
500
800





故
17．（山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理）李克强总理在2018年政府工作报告指出，要加快建设创新型国家，把握世界新一轮科技革命和产业变革大势，深入实施创新驱动发展战略，不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召，大力研发新产品，争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价，将该款手机按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据，如表所示：
单价（千元）






销量（百件）







已知.
（1）若变量具有线性相关关系，求产品销量（百件）关于试销单价（千元）的线性回归方程；
（2）用（1）中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时，则将销售数据称为一个“好数据”.现从个销售数据中任取个子，求“好数据”个数的分布列和数学期望.
（参考公式：线性回归方程中的估计值分别为.
【答案】(1) (2)见解析
【解析】
（1）由，可求得，
故，，，，
代入可得，
，
所以所求的线性回归方程为．
（2）利用（1）中所求的线性回归方程可得，当时，；当 时，；当时，；当时，；当时，；当时，．
与销售数据对比可知满足的共有4个“好数据”：、、、
于是的所有可能取值为
，，，
∴ 的分布列为：

1
2
3
P





所以．
18．（湖北省黄冈中学2019届高三第三次模拟考试数学理）10月1日，某品牌的两款最新手机（记为型号，型号）同时投放市场，手机厂商为了解这两款手机的销售情况，在10月1日当天，随机调查了5个手机店中这两款手机的销量（单位：部），得到下表：
手机店





型号手机销量
6
6
13
8
11
型号手机销量
12
9
13
6
4

（Ⅰ）若在10月1日当天，从，这两个手机店售出的新款手机中各随机抽取1部，求抽取的2部手机中至少有一部为型号手机的概率；
（Ⅱ）现从这5个手机店中任选3个举行促销活动，用表示其中型号手机销量超过型号手机销量的手机店的个数，求随机变量的分布列和数学期望；
（III）经测算，型号手机的销售成本（百元）与销量（部）满足关系.若表中型号手机销量的方差，试给出表中5个手机店的型号手机销售成本的方差的值.（用表示，结论不要求证明）
【答案】（I）；（II）见解析；(Ⅲ)
【解析】
（Ⅰ）将从，这两个手机店售出的新款手机中分别随机抽取的1部手机记为甲和乙，
记事件“甲手机为型号手机”为，记事件“乙手机为型号手机”为，
依题意，有，，且事件、相互独立.
设“抽取的2部手机中至少有1部为型号手机”为事件，
则
即抽取的2部手机中至少有1部为型号手机的概率为
（Ⅱ）由表可知：型号手机销量超过型号手机销量的手机店共有2个，
故的所有可能取值为：0，1，2
且，，
所以随机变量的分布列为：

0
1
2





故
（III）.
19．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）随着科技的发展，网络已逐渐融入了人们的生活．网购是非常方便的购物方式，为了了解网购在我市的普及情况，某调查机构进行了有关网购的调查问卷，并从参与调查的市民中随机抽取了男女各100人进行分析，从而得到表（单位：人）

经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
50

100
女性
70

100
合计




（1）完成上表，并根据以上数据判断能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关？
（2）①现从所抽取的女市民中利用分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机选取3人赠送优惠券，求选取的3人中至少有2人经常网购的概率；
②将频率视为概率，从我市所有参与调查的市民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常网购的人数为，求随机变量的数学期望和方差．
参考公式：

0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①；②数学期望为6，方差为2.4.
【解析】
解：（1）完成列联表（单位：人）：

经常网购
偶尔或不用网购
合计
男性
50
50
100
女性
70
30
100
合计
120
80
200

由列联表，得：
，
∴能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为我市市民网购与性别有关．
（2）①由题意所抽取的10名女市民中，经常网购的有人，
偶尔或不用网购的有人，
∴选取的3人中至少有2人经常网购的概率为：
．
② 由列联表可知，抽到经常网购的市民的频率为：，
将频率视为概率，
∴从我市市民中任意抽取一人，恰好抽到经常网购市民的概率为0.6，
由题意，
∴随机变量的数学期望，
方差D（X）=．
20．（北京市朝阳区2019届高三第二次（5月)综合练习（二模)数学（理）某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：
专家
A
B
C
D
E
评分
9.6
9.5
9.6
8.9
9.7


（1）求a的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；
（2）从5名专家中随机选取3人，X表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y表示评分不小于9分的人数；试求E（X）与E（Y）的值；
（3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数，用作为该选手最终得分．请直接写出与的大小关系．
【答案】（1）；（2）见解析；（3）.
【解析】
（1）由图知，某场外观众评分不小于9的概率是．
（2）X的可能取值为2，3．P（X=2）=；P（X=3）=．
所以X的分布列为
X
2
3
P



所以E（X）=2×．
由题意可知，，所以E（Y）=np=．
（3）．
21．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模数学理）从某公司生产线生产的某种产品中抽取件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：

（Ⅰ）求这件产品质量指标的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差.
（i）利用该正态分布，求；
（ii）已知每件该产品的生产成本为元，每件合格品（质量指标值）的定价为元；若为次品（质量指标值），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户元。若该公司卖出件这种产品，记表示这件产品的利润，求.
附：.若，则 .
【答案】（Ⅰ）平均数200,方差；（Ⅱ）（i）0.95；(ii)280.
【解析】
（Ⅰ）由题意得
．
∴，
即样本平均数为，样本方差为．
（Ⅱ）(i)由（Ⅰ）可知，，，
∴,
∴，
(ii)设表示100件产品的正品数，由题意得
∴，
∴．
22．（福建省南平市2019届普通高中毕业班第二次5月)综合质量检查数学理）从某工厂生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

（1）求这1000件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中以近似为样本平均数，近似为样本方差．
（ⅰ）利用该正态分布，求；
（ⅱ）某用户从该工厂购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为于区间的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求．
附：．若，则，．
【答案】（1）平均数=140；（2）（ⅰ）0.3413（ⅱ）见解析
【解析】
（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为






（2）（ⅰ）由（1）知，，
从而
（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品的质量指标值位于区间的概率为，
依题意知服从二项分布，
所以
23．（内蒙古呼和浩特市2019年高三年级第二次质量普查调研考试理）随着科技的发展，网购已经逐渐融入了人们的生活，在家里不用出门就可以买到自己想要的东西，在网上付款即可，两三天就会送到自己的家门口，所以选择网购的人数在逐年增加.某网店统计了2014年一2018年五年来在该网店的购买人数（单位：人）各年份的数据如下表：
年份（）
1
2
3
4
5

24
27
41
64
79

（1）依据表中给出的数据，是否可用线性回归模型拟合与时间（单位：年）的关系，请通过计算相关系数加以说明，（若，则该线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
附：相关系数公式
参考数据
（2）该网店为了更好的设计2019年的“双十一”网购活动安排，统计了2018年“双十一”期间8个不同地区的网购顾客用于网购的时间x（单位：小时）作为样本，得到下表
地区








时间
0.9
1.6
1.4
2.5
2.6
2.4
3.1
1.5

①求该样本数据的平均数；
②通过大量数据统计发现，该活动期间网购时间近似服从正态分布，如果预计2019年“双十一”期间的网购人数大约为50000人，估计网购时间的人数.
（附：若随机变量服从正态分布则，
【答案】（1）见解析；（2）①2；②42065人
【解析】
（1）由题知，而，
所以可算得，，
则
故与的线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.
（2）由题意，样本平均数
因为网购时间服从正态分布，而
所以
所以50000人中，估计的人数大约为人．
24．（湖北省武汉市2019届高三4月调研测试数学理）十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民年收入也逐年增加。为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收人并制成如下频率分布直方图：

（1）根据频率分布直方图，估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；
（2）由频率分布直方图，可以认为该贫困地区农民年收入服从正态分布，其中近似为年平均收入,近似为样本方差，经计算得.利用该正态分布，求:
(i)在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元？
（ii）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况, 扶贫办随机走访了1000位农民。若每个农民的年收人相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少？
附：参考数据与公式，若～，则①；②；③.
【答案】(1)17.40万元 (2) (i) 14.77千元 （ii）978
【解析】
解：（1）千元.
（2）有题意，～.
（i）
时，满足题意
即最低年收入大约为14.77千元
（ii）由，得
每个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773，
记1000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为，则，其中，
于是恰好有个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是
从而由，得
而，所以，
当时，，
当时，，
由此可知，在所走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978．