【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题52 抛物线（含解析）

考点52 抛物线
1．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,交圆于,两点,其中, 位于第一象限,则的值不可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为（ ）

A． B． C． D．
3．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．3
5．（四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学理）已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的焦点到准线距离为（ ）
A．2 B．2或4 C．8 D．8或16
7．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学理）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则该抛物线的标准方程为( )
A． B．
C． D．
8．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知抛物线 上一点到焦点的距离为1，是直线上的两点，且，的周长是6，则（ ）
A． B． C． D．
9．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴的交点为，点在抛物线上，过点作，垂足为.若四边形的面积为14，且，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
10．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆经过抛物线的焦点，且面积为，若过圆心作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
11．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）已知抛物线（）的焦点为，准线为，为坐标原点，点在上，直线与交于点．若，则
A． B． C． D．
12．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）设抛物线的焦点为，已知点，，， 都在抛物线上，则 四点中与焦点距离最小的点是（　　）
A． B． C． D．
13．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
14．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（　　）
A． B．8 C． D．4
15．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）已知抛物线的焦点为，是上一点，且．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点两点作抛物线的切线，两条切线相交于点，点关于直线的对称点，判断四边形是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．
16．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）已知抛物线上一点到它的准线的距离为．
（1）求的值；
（2）在直线上任意一点作曲线的切线，切点分别为，求证：直线过定点．
17．（北京市人大附中2019届高三高考信息卷三理科）已知抛物线过点，是抛物线上不同两点，且（其中是坐标原点），直线与交于点，线段的中点为.
（Ⅰ）求抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求证：直线与轴平行.
18．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)数学理）已知圆，抛物线．
（1）若抛物线的焦点在圆上，且为抛物线和圆的一个交点，求；
（2）若直线与抛物线和圆分别相切于两点，设，当时，求的最大值．
19．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试）已知点为直线上的动点，，过作直线的垂线，交的中垂线于点，记点的轨迹为.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若直线与圆相切于点，与曲线交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程.
20．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）已知为坐标原点，过点的直线与抛物线：交于，两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于，两点，记，的面积分别为，，证明：为定值.
21．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，是坐标原点．
（1）若直线过点且，求直线的方程；
（2）已知点，若直线不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点．
22．（北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三数学理）已知抛物线过点
（Ⅰ）求抛物线的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并加以证明.
23．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，且．
（1）求的值；
（2）抛物线上一点，直线（其中）与抛物线交于，两个不同的点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，．动点在直线上，且满足，其中为坐标原点．当线段最长时，求直线的方程．
24．（山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理）已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，.
（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；
（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.
25．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模理）已知抛物线经过点，过作两条不同直线，其中直线关于直线对称.
（Ⅰ）求抛物线的方程及准线方程；
（Ⅱ）设直线分别交抛物线于两点（均不与重合），若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线的方程.








考点52 抛物线
1．（山东省烟台市2019届高三5月适应性练习二）已知过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,交圆于,两点,其中, 位于第一象限,则的值不可能为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】
作图如下：可以作出下图，

由图可得，可设，，则，，
，，根据抛物线的常用结论，有，
，则，

又，
得，
则的值不可能为3，
答案选A
2．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
设准线与轴交于点，作垂直于准线，垂足为

由，得：
由抛物线定义可知：，设直线倾斜角为
由抛物线焦半径公式可得：，解得：
，解得：
本题正确选项：
3．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知双曲线，若抛物线（为双曲线半焦距）的准线被双曲线截得的弦长为（为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
∵抛物线的准线：，它正好经过双曲线的下焦点，
∴准线被双曲线截得的弦长为，
∴，∴，
∴，∴，
∴双曲线的渐近线方程为.
故应选D.
4．（陕西省2019届高三年级第三次联考理）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到准线的距离为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【解析】
∵是抛物线的焦点，∴，准线方程，
设，，根据抛物线的定义可得，，
∴.
解得，∴线段的中点横坐标为，
∴线段的中点到准线的距离为 .故应选B.
5．（四川省双流中学2019届高三第一次模拟考试数学理）已知是抛物线上一点，为其焦点，为圆的圆心，则的最小值为( )．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【解析】
设抛物线的准线方程为，为圆的圆心，所以的坐标为，过作的垂线，垂足为,根据抛物线的定义可知,所以问题求的最小值，就转化为求的最小值，由平面几何的知识可知，当在一条直线上时，此时，有最小值，最小值为，故本题选B.
6．（安徽省蚌埠市2019届高三年级第三次教学质量检查考试数学理）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，，若以为直径的圆过点，则抛物线的焦点到准线距离为（ ）
A．2 B．2或4 C．8 D．8或16
【答案】A
【解析】
设点的坐标为，,抛物线的焦点，抛物线的准线为，由抛物线的定义可知： ①，
因为以为直径的圆过点，所以有
，代入①中得，
，抛物线的焦点到准线距离为2，故本题选A.
7．（四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学理）已知抛物线上的点到其焦点的距离为，则该抛物线的标准方程为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
抛物线的准线方程，
∵抛物线上的点到其焦点的距离为，
∴，
∴，即该抛物线的标准方程为，
故选：A
8．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）已知抛物线 上一点到焦点的距离为1，是直线上的两点，且，的周长是6，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由题意， ，则 ，故抛物线 的焦点坐标是 ，由抛物线的定义得，点 到准线 的距离等于 ，即为 ，故点 到直线的距离为 . 设 点 在直线 上的射影为 ，则 . 当点 在的同一侧（不与点重合）时， ，不符合题意；当点 在的异侧（不与点重合）时，不妨设，则 ，故由 ，解得 或 ，不符合题意，舍去，综上 在两点中一定有一点与点重合，所以 ，故选A.
9．（山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理）已知抛物线：的焦点为，准线为，与轴的交点为，点在抛物线上，过点作，垂足为.若四边形的面积为14，且，则抛物线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
作出图形如下所示，过点作，垂足为.设，因为，故，，由抛物线定义可知，，则，故.四边形的面积，解得，故抛物线的方程为.
故选：B

10．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）已知为抛物线上的两个动点，以为直径的圆经过抛物线的焦点，且面积为，若过圆心作该抛物线准线的垂线，垂足为，则的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【解析】
根据题意，，
∴.
设，过点作于，过点作于，
由抛物线定义，得，在梯形中，
∴，
由勾股定理得，，
∵，
所以（当且仅当时，等号成立）.
11．（湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试数学理）已知抛物线（）的焦点为，准线为，为坐标原点，点在上，直线与交于点．若，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】

作垂直于，则在RT△中，，，所以．选C．
12．（北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试数学理）设抛物线的焦点为，已知点，，， 都在抛物线上，则 四点中与焦点距离最小的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
抛物线的焦点为，准线方程为；
则点到焦点F的距离为，
点到焦点F的距离为，
点到焦点F的距离为
点到焦点F的距离为；
所以点M与焦点F的距离最小.
故选：A
13．（山西省2019届高三高考考前适应性训练三理）抛物线的焦点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
抛物线的标准方程为，故其焦点坐标为，故选D.
14．（山东省泰安市教科研中心2019届高三考前密卷数学理）已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过点F且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，则||FA|﹣|FB||的值等于（　　）
A． B．8 C． D．4
【答案】C
【解析】
F（1，0），故直线AB的方程为y＝x﹣1，联立方程组，可得x2﹣6x+1＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），由根与系数的关系可知x1+x2＝6，x1x2＝1．
由抛物线的定义可知：|FA|＝x1+1，|FB|＝x2+1，
∴||FA|﹣|FB||＝|x1﹣x2|＝．
故选：C．
15．（辽宁省沈阳市2019届高三教学质量监测三数学理）已知抛物线的焦点为，是上一点，且．
（1）求的方程；
（2）过点的直线与抛物线相交于两点，分别过点两点作抛物线的切线，两条切线相交于点，点关于直线的对称点，判断四边形是否存在外接圆，如果存在，求出外接圆面积的最小值；如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）（2）见解析
【解析】
（1）解：根据题意知，①
因为，所以②
联立①②解得．
所以抛物线的方程为．
（2）四边形存在外接圆．
设直线方程为，代入中，得，
设点，则，
且
所以，
因为，即，所以．
因此，切线的斜率为，切线的斜率为，
由于，所以，即是直角三角形，
所以的外接圆的圆心为线段的中点，线段是圆的直径，
所以点一定在的外接圆上，即四边形存在外接圆．
又因为，所以当时，线段最短，最短长度为4，
此时圆的面积最小，最小面积为．
16．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）已知抛物线上一点到它的准线的距离为．
（1）求的值；
（2）在直线上任意一点作曲线的切线，切点分别为，求证：直线过定点．
【答案】（1）2；（2）证明见解析.
【解析】
（1）抛物线的准线为,
由已知得到准线的距离为
∴
∴
（2）证明：由已知可设
由化简得
设 ，则
∴，又，即
同理可得：
∴
∴
即
∵ 的斜率之积为-2
∴即
∴即直线MN过定点
当时，不妨设
则
直线也过点
综上，即直线过定点．
17．（北京市人大附中2019届高三高考信息卷三理科）已知抛物线过点，是抛物线上不同两点，且（其中是坐标原点），直线与交于点，线段的中点为.
（Ⅰ）求抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求证：直线与轴平行.
【答案】(1) .(2)见解析.
【解析】
（Ⅰ）由题意得 ，解得．
所以抛物线的准线方程为．
（Ⅱ）设，，
由得，则，所以．
所以线段中点的为纵坐标．
直线方程为┅①
直线方程为┅②
联立①②解得，即点的为纵坐标．
如果直线斜率不存在，结论也显然成立．

18．（山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测（三模)数学理）已知圆，抛物线．
（1）若抛物线的焦点在圆上，且为抛物线和圆的一个交点，求；
（2）若直线与抛物线和圆分别相切于两点，设，当时，求的最大值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）由题意知，所以.
所以抛物线的方程为.
将与联立得点的纵坐标为，
结合抛物线定义得.
（2）由得：，，
所以直线的斜率为，故直线的方程为.
即.
又由得且
所以



令，，则，
令，则；
当时，单调递减，
当时，单调递增，
又，，
所以，即的最大值为.
19．（陕西省汉中市2019届高三全真模拟考试）已知点为直线上的动点，，过作直线的垂线，交的中垂线于点，记点的轨迹为.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）若直线与圆相切于点，与曲线交于，两点，且为线段的中点，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）直线的方程为或
【解析】
解：（Ⅰ）由已知可得，，
即点到定点的距离等于它到直线的距离，
故点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
∴曲线的方程为.
（Ⅱ）设，，，
由，得，
∴，
∴，，即，
∵直线与圆相切于点，
∴，且，
从而，，
即：，
整理可得，即，
∴，
故直线的方程为或.
20．（河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理）已知为坐标原点，过点的直线与抛物线：交于，两点，且．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点作直线交抛物线于，两点，记，的面积分别为，，证明：为定值.
【答案】（1）；（2）详见解析.
【解析】
（1）设直线：，与联立消得，.
设，，则，.
因为，所以
，
解得.
所以抛物线的方程为.
（2）由（1）知是抛物线的焦点，所以.
原点到直线的距离，所以.
因为直线过点且，所以.
所以.
即为定值.
21．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）已知抛物线：的焦点为，直线与抛物线交于，两点，是坐标原点．
（1）若直线过点且，求直线的方程；
（2）已知点，若直线不与坐标轴垂直，且，证明：直线过定点．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
解：（1）法一：焦点，
当直线斜率不存在时，方程为，与抛物线的交点坐标分别为，，
此时，不符合题意，故直线的斜率存在．
设直线方程为与联立得，
当时，方程只有一根，不符合题意，故.，
抛物线的准线方程为，
由抛物线的定义得，
解得，
所以方程为或.
法二：焦点，显然直线不垂直于轴，设直线方程为,
与联立得，设，，，.
，
由，解得，
所以方程为或.
（2）设，，
设直线方程为与联立得：，
可得，.
由得，即.
整理得，即，
整理得，
即，即.
故直线方程为过定点.
22．（北京市房山区2019年第二次高考模拟检测高三数学理）已知抛物线过点
（Ⅰ）求抛物线的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）过点的直线与抛物线交于两点，点关于轴的对称点为，试判断直线是否过定点，并加以证明.
【答案】（Ⅰ）抛物线方程为，焦点坐标为（Ⅱ）详见解析.
【解析】
（Ⅰ）因为抛物线过点，所以
所以抛物线方程为，焦点坐标为
（Ⅱ）设直线的方程为,
由消整理得，
则，即
设则
且.
直线

即
所以，直线恒过定点.
23．（重庆南开中学2019届高三第四次教学检测考试数学理）过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于，两点，且．
（1）求的值；
（2）抛物线上一点，直线（其中）与抛物线交于，两个不同的点（均与点不重合），设直线，的斜率分别为，，．动点在直线上，且满足，其中为坐标原点．当线段最长时，求直线的方程．
【答案】(1) (2)
【解析】
（1）抛物线的焦点为，设直线方程为
联立抛物线方程可得
故：，
∴，解得．
（2）由（1）知抛物线方程为，从而点，设，


∵，∴，．
由
可得，即
从而该式满足式
∴即直线恒过定点．
设动点，∵，∴
∴动点在，故与重合时线段最长，
此时直线，即：．
24．（山东省青岛市2019届高考模拟检测数学理）已知为坐标原点，点，，，动点满足，点为线段的中点，抛物线：上点的纵坐标为，.
（1）求动点的轨迹曲线的标准方程及抛物线的标准方程；
（2）若抛物线的准线上一点满足，试判断是否为定值，若是，求这个定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1）曲线的标准方程为.抛物线的标准方程为.（2）见解析
【解析】
（1）由题知，，
所以 ，
因此动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
又知，，
所以曲线的标准方程为.
又由题知，
所以 ，
所以，
又因为点在抛物线上，所以，
所以抛物线的标准方程为.
（2）设，，
由题知，所以，即，
所以 ，
又因为，，
所以，
所以为定值，且定值为1.
25．（湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测二模理）已知抛物线经过点，过作两条不同直线，其中直线关于直线对称.
（Ⅰ）求抛物线的方程及准线方程；
（Ⅱ）设直线分别交抛物线于两点（均不与重合），若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线的方程.
【答案】（Ⅰ） ；准线方程为 ；（Ⅱ）
【解析】
（Ⅰ）∵抛物线过点，
∴，解得，
∴抛物线的方程为，准线方程为．
（Ⅱ）方法一：不妨设在的左边，从而可设直线的方程为，即，
由消去整理得．
设，
则，故，
∴，
∴点．
又由条件得与的倾斜角互补，以代替点坐标中的，
可得点．
∴，且中点的横坐标为，
∵以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，
∴，解得
∴，，
∴，
∴直线的方程为，即．
方法二：设，
因为直线关于对称，所以与的倾斜角互补，
所以，
所以，
所以．
设直线的方程为，
由消去去整理得，
所以，
所以，且中点D的横坐标为．
因为以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，
所以，
即，解得，
所以直线的方程为，即．