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【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题67 坐标系(含解析)
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考点67 坐标系
1.(安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)已知是曲线上任意两点,且,求面积的最大值.
2.(黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟七数学理)在极坐标系中,已知曲线:和曲线:,以极点为坐标原点,极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线和曲线的直角坐标方程;
(2)若点是曲线上一动点,过点作线段的垂线交曲线于点,求线段长度的最小值.
3.(四川省广元市2019届高三第一次高考适应性统考数学试卷理)在平面直角坐标系中,已知直线为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设点的直角坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.
4.(河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理)选修4-4:坐标系与参数方程
点是曲线:上的动点,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点为中心,将点逆时针旋转得到点,设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线,的极坐标方程;
(2)射线,()与曲线,分别交于两点,设定点,求的面积.
5.(山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测三模数学理)在平面直角坐标系中设倾斜角为的直线的参数方程为为参数).在以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于不同的两点.
(1)若,求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若为与的等比中项,其中,求直线的斜率.
6.(河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线:(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)若曲线与交于,两点,,的中点为,点,求的值.
7.(山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理)已知平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)过点的直线与曲线交于,两点,且,求直线的方程.
8.(辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理)在直角坐标系中,,,以O为极点,x轴的正半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为:.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)动点P是曲线C在第一象限的点,当四边形的面积最大时,求点P的直角坐标.
9.(山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试数学理)选修4-4:坐标系与参数方程:在直角坐标系中,曲线(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)已知点,直线的极坐标方程为,它与曲线的交点为,,与曲线的交点为,求的面积.
10.(内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学理)在直角坐标系中,圆的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且长度单位相同.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)若直线:(为参数)被圆截得的弦长为,求直线的倾斜角.
11.(广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理)直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),曲线.
(1)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求、的极坐标方程;
(2)射线:与异于极点的交点为,与的交点为,求的大小.
12.(山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)设是曲线上的一个动眯,当时,求点到直线的距离的最小值;
(2)若曲线上所有的点都在直线的右下方,求实数的取值范围.
13.(江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模)极坐标中,过点作曲线的切线,求直线的极坐标方程.
14.(江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试数学理)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数)。在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的极坐标方程为。
(1)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于,两点,若点的坐标为,求。
15.(江苏省南通市2019届高三适应性考试)[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)求直线被曲线所截得的弦长.
16.(江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷)选修4-4:极坐标与参数方程:在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点,求P到直线l距离的最大值.
17.(湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;
(2)设点,直线与曲线相交于两点、,求的值.
18.(北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模数学理)在极坐标系中,极点到直线的距离为________.
19.(天津市新华中学2019届高三高考模拟数学理)已知在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,设点是曲线上的一个动点,则到直线距离的取值范围是___________________.
20.(天津市芦台一中2019届高三第四次模拟考试数学理)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.在直线上任取一点,由点向曲线引切线,则切线长的最小值为______.
21.(天津市河北区2019届高三二模数学理)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,若直线与圆交于,两点,则线段的长度为__________.
22.(津市南开区南开中学2019届高三第五次月考)已知曲线的参数方程为为参数),点为其焦点,在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点分别在曲线和的实线部分上运动(如图所示),且总是平行于轴,则的周长的取值范围是________.
23.(天津市红桥区2019届高三二模数学理)极坐标系中,曲线与的两个交点之间的距离为_______.
24.(天津市河西区2019届高三一模数学理)已知圆的极坐标方程为,圆心为,点的极坐标为,则的长度为______________.
考点67 坐标系
1.(安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)已知是曲线上任意两点,且,求面积的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
(1)消去参数,得到曲线的普通方程为:
故曲线的极坐标方程为:
(2)在极坐标系中,不妨设 ,,其中,
由(1)知:,.
面积
当时,即 , 有最大值 .此时
故面积的最大值为
2.(黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟七数学理)在极坐标系中,已知曲线:和曲线:,以极点为坐标原点,极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线和曲线的直角坐标方程;
(2)若点是曲线上一动点,过点作线段的垂线交曲线于点,求线段长度的最小值.
【答案】(1)的直角坐标方程为,的直角坐标方程为.(2).
【解析】
(1)的极坐标方程即,则其直角坐标方程为,
整理可得直角坐标方程为,
的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.
(2)设曲线与轴异于原点的交点为,
∵,∴过点,
设直线的参数方程为(为参数),
代入可得,解得或,
可知,
代入可得,解得,
可知,
所以,
当且仅当时取等号,
所以线段长度的最小值为.
3.(四川省广元市2019届高三第一次高考适应性统考数学试卷理)在平面直角坐标系中,已知直线为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设点的直角坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.
【答案】(1) (2)3
【解析】(1)把,展开得,
两边同乘得①.
将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y代入①,
即得曲线的直角坐标方程为②.
(2)将代入②式,得,
点M的直角坐标为(0,3).
设这个方程的两个实数根分别为t1,t2,则t1+t2=-3. t1.t2=3
∴ t1<0, t2<0
则由参数t的几何意义即得.
4.(河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理)选修4-4:坐标系与参数方程
点是曲线:上的动点,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点为中心,将点逆时针旋转得到点,设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线,的极坐标方程;
(2)射线,()与曲线,分别交于两点,设定点,求的面积.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由相关点法可求曲线的极坐标方程为.
(Ⅱ)到射线的距离为,结合可求得
试题解析:(Ⅰ)曲线的极坐标方程为.
设,则,则有.
所以,曲线的极坐标方程为.
(Ⅱ)到射线的距离为,
,
则.
5.(山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测三模数学理)在平面直角坐标系中设倾斜角为的直线的参数方程为为参数).在以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于不同的两点.
(1)若,求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若为与的等比中项,其中,求直线的斜率.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)因为,所以直线的参数方程为(为参数).
消可得直线的普通方程为.
因为曲线的极坐标方程可化为,
所以曲线的直角坐标方程为.
(2)设直线上两点对应的参数分别为,,
将代入曲线的直角坐标方程可得,
化简得,
因为,,
所以,解得.
因为
即,可知,解得,
所以直线的斜率为.
6.(河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线:(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)若曲线与交于,两点,,的中点为,点,求的值.
【答案】(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2)3.
【解析】
(1)曲线的普通方程为.
由,,得曲线的直角坐标方程为.
(2)将两圆的方程与作差得直线的方程为.
点在直线上,设直线的参数方程为(为参数),
代入化简得,所以,.
因为点对应的参数为,
所以
.
7.(山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理)已知平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)过点的直线与曲线交于,两点,且,求直线的方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或.
【解析】(Ⅰ)消去参数,可得曲线的普通方程为,
.由
所以曲线的极坐标方程为.
(Ⅱ)显然直线的斜率存在,否则无交点.
设直线的方程为,即.
而,则圆心到直线的距离.
又,所以,解得.
所以直线的方程为或.
8.(辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理)在直角坐标系中,,,以O为极点,x轴的正半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为:.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)动点P是曲线C在第一象限的点,当四边形的面积最大时,求点P的直角坐标.
【答案】(1)(2)四边形的面积时,P点为.
【解析】
(1),整理得
(2)由动点P是曲线C在第一象限的点,设点
设四边形的面积为S,
则
所以当时,S最大,此时P点.
9.(山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试数学理)选修4-4:坐标系与参数方程:在直角坐标系中,曲线(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)已知点,直线的极坐标方程为,它与曲线的交点为,,与曲线的交点为,求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】
解:(1),
其普通方程为,化为极坐标方程为
(2)联立与的极坐标方程:,解得点极坐标为
联立与的极坐标方程:,解得点极坐标为,所以,又点到直线的距离,
故的面积.
10.(内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学理)在直角坐标系中,圆的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且长度单位相同.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)若直线:(为参数)被圆截得的弦长为,求直线的倾斜角.
【答案】(1);(2)或
【解析】
(1)圆:,消去参数得:,
即:,∵,,.
∴,
.
(2)∵直线:的极坐标方程为,
当时.
即:,∴或.
∴或,
∴直线的倾斜角为或.
11.(广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理)直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),曲线.
(1)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求、的极坐标方程;
(2)射线:与异于极点的交点为,与的交点为,求的大小.
【答案】(1) 的极坐标方程为,的极坐标方程为 ;(2).
【解析】
(1)由得,即,
所以的极坐标方程为,即;
由得的极坐标方程为:
(2)联立得,
联立得,
所以.
12.(山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)设是曲线上的一个动眯,当时,求点到直线的距离的最小值;
(2)若曲线上所有的点都在直线的右下方,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由,得到
,
直线普通方程为:
设,则点到直线的距离:
当时,
点到直线的距离的最小值为
(2)设曲线上任意点,由于曲线上所有的点都在直线的右下方,
对任意恒成立
,其中,.
从而
由于,解得:
即:.
13.(江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模)极坐标中,过点作曲线的切线,求直线的极坐标方程.
【答案】
【解析】
曲线的直角坐标方程为:
点的直角坐标为 点在圆上,又因为圆心
故过点的切线为
所求的切线的极坐标方程为:.
14.(江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试数学理)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数)。在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的极坐标方程为。
(1)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于,两点,若点的坐标为,求。
【答案】(1)直线l的普通方程为;圆C的直角坐标方程为;(2).
【解析】
(1)由直线的参数方程(为参数)得直线的普通方程为
由,得,即圆的直角坐标方程为。
(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,得,
即,
由于>0,
故可设,是上述方程的两个实根,
所以
又直线过点P(3,),
故.
15.(江苏省南通市2019届高三适应性考试)[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)求直线被曲线所截得的弦长.
【答案】(1)曲线的直角坐标方程为.直线的普通方程为.(2)
【解析】
(1)因为曲线的极坐标方程可化为.
且,,
所以曲线的直角坐标方程为.
直线:(为参数)的普通方程为.
(2)圆心到直线:的距离为,
又因为半径为1,所以弦长为.
16.(江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷)选修4-4:极坐标与参数方程:在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点,求P到直线l距离的最大值.
【答案】
【解析】
直线
设点,∴
当且仅当,即时取“”
所以到直线距离的最大值为.
17.(湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;
(2)设点,直线与曲线相交于两点、,求的值.
【答案】(1) 直线的普通方程为;曲线的直角坐标方程是. (2)
【解析】
(1)消去参数t得直线的普通方程为;
因为,所以,由
所以曲线的直角坐标方程是.
(2)点是直线上的点,设,两点所对应的参数分别为,
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,得 .
方程判别式,可得,.
于是.
18.(北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模数学理)在极坐标系中,极点到直线的距离为________.
【答案】
【解析】
极坐标方程化为直线方程即:x+y-2=0,
极点坐标即(0,0),所以距离为:.
19.(天津市新华中学2019届高三高考模拟数学理)已知在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,设点是曲线上的一个动点,则到直线距离的取值范围是___________________.
【答案】
【解析】
直线的参数方程为(为参数)化为普通方程即:,
曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程即:,
圆心到直线的距离:,
则直线与圆相离,据此可得:到直线距离的取值范围是.
20.(天津市芦台一中2019届高三第四次模拟考试数学理)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.在直线上任取一点,由点向曲线引切线,则切线长的最小值为______.
【答案】
【解析】因为,所以,
因为,所以,
所以当垂直直线时,点向曲线所引切线长最小为.
21.(天津市河北区2019届高三二模数学理)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,若直线与圆交于,两点,则线段的长度为__________.
【答案】
【解析】
由得的普通方程为:
由得的直角坐标方程为:,即
圆的圆心为,半径
则圆心到直线的距离
本题正确结果:
22.(津市南开区南开中学2019届高三第五次月考)已知曲线的参数方程为为参数),点为其焦点,在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点分别在曲线和的实线部分上运动(如图所示),且总是平行于轴,则的周长的取值范围是________.
【答案】
【解析】
由 得,即为抛物线,①
抛物线焦点坐标为,准线方程为,
由,得, ②
即为以为圆心,以4为半径的圆,
由①②得,,
,
由抛物线的定义可得,
又,
所以的周长
,
,
,
即的周长的取值范围是,故答案为.
23.(天津市红桥区2019届高三二模数学理)极坐标系中,曲线与的两个交点之间的距离为_______.
【答案】
【解析】
由得:,即
由得:,即
所求距离为被圆截得的弦长
即两个交点之间的距离为
本题正确结果:
24.(天津市河西区2019届高三一模数学理)已知圆的极坐标方程为,圆心为,点的极坐标为,则的长度为______________.
【答案】
【解析】
因为圆的极坐标方程为,所以,
因为点的极坐标为,所以,
1.(安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)已知是曲线上任意两点,且,求面积的最大值.
2.(黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟七数学理)在极坐标系中,已知曲线:和曲线:,以极点为坐标原点,极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线和曲线的直角坐标方程;
(2)若点是曲线上一动点,过点作线段的垂线交曲线于点,求线段长度的最小值.
3.(四川省广元市2019届高三第一次高考适应性统考数学试卷理)在平面直角坐标系中,已知直线为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设点的直角坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.
4.(河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理)选修4-4:坐标系与参数方程
点是曲线:上的动点,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点为中心,将点逆时针旋转得到点,设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线,的极坐标方程;
(2)射线,()与曲线,分别交于两点,设定点,求的面积.
5.(山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测三模数学理)在平面直角坐标系中设倾斜角为的直线的参数方程为为参数).在以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于不同的两点.
(1)若,求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若为与的等比中项,其中,求直线的斜率.
6.(河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线:(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)若曲线与交于,两点,,的中点为,点,求的值.
7.(山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理)已知平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)过点的直线与曲线交于,两点,且,求直线的方程.
8.(辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理)在直角坐标系中,,,以O为极点,x轴的正半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为:.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)动点P是曲线C在第一象限的点,当四边形的面积最大时,求点P的直角坐标.
9.(山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试数学理)选修4-4:坐标系与参数方程:在直角坐标系中,曲线(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)已知点,直线的极坐标方程为,它与曲线的交点为,,与曲线的交点为,求的面积.
10.(内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学理)在直角坐标系中,圆的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且长度单位相同.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)若直线:(为参数)被圆截得的弦长为,求直线的倾斜角.
11.(广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理)直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),曲线.
(1)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求、的极坐标方程;
(2)射线:与异于极点的交点为,与的交点为,求的大小.
12.(山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)设是曲线上的一个动眯,当时,求点到直线的距离的最小值;
(2)若曲线上所有的点都在直线的右下方,求实数的取值范围.
13.(江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模)极坐标中,过点作曲线的切线,求直线的极坐标方程.
14.(江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试数学理)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数)。在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的极坐标方程为。
(1)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于,两点,若点的坐标为,求。
15.(江苏省南通市2019届高三适应性考试)[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)求直线被曲线所截得的弦长.
16.(江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷)选修4-4:极坐标与参数方程:在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点,求P到直线l距离的最大值.
17.(湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;
(2)设点,直线与曲线相交于两点、,求的值.
18.(北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模数学理)在极坐标系中,极点到直线的距离为________.
19.(天津市新华中学2019届高三高考模拟数学理)已知在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,设点是曲线上的一个动点,则到直线距离的取值范围是___________________.
20.(天津市芦台一中2019届高三第四次模拟考试数学理)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.在直线上任取一点,由点向曲线引切线,则切线长的最小值为______.
21.(天津市河北区2019届高三二模数学理)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,若直线与圆交于,两点,则线段的长度为__________.
22.(津市南开区南开中学2019届高三第五次月考)已知曲线的参数方程为为参数),点为其焦点,在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点分别在曲线和的实线部分上运动(如图所示),且总是平行于轴,则的周长的取值范围是________.
23.(天津市红桥区2019届高三二模数学理)极坐标系中,曲线与的两个交点之间的距离为_______.
24.(天津市河西区2019届高三一模数学理)已知圆的极坐标方程为,圆心为,点的极坐标为,则的长度为______________.
考点67 坐标系
1.(安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷数学理)在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)已知是曲线上任意两点,且,求面积的最大值.
【答案】(1) ;(2) .
【解析】
(1)消去参数,得到曲线的普通方程为:
故曲线的极坐标方程为:
(2)在极坐标系中,不妨设 ,,其中,
由(1)知:,.
面积
当时,即 , 有最大值 .此时
故面积的最大值为
2.(黑龙江省2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟七数学理)在极坐标系中,已知曲线:和曲线:,以极点为坐标原点,极轴为轴非负半轴建立平面直角坐标系.
(1)求曲线和曲线的直角坐标方程;
(2)若点是曲线上一动点,过点作线段的垂线交曲线于点,求线段长度的最小值.
【答案】(1)的直角坐标方程为,的直角坐标方程为.(2).
【解析】
(1)的极坐标方程即,则其直角坐标方程为,
整理可得直角坐标方程为,
的极坐标方程化为直角坐标方程可得其直角坐标方程为.
(2)设曲线与轴异于原点的交点为,
∵,∴过点,
设直线的参数方程为(为参数),
代入可得,解得或,
可知,
代入可得,解得,
可知,
所以,
当且仅当时取等号,
所以线段长度的最小值为.
3.(四川省广元市2019届高三第一次高考适应性统考数学试卷理)在平面直角坐标系中,已知直线为参数).以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的直角坐标方程;
(2)设点的直角坐标为,直线与曲线的交点为,求的值.
【答案】(1) (2)3
【解析】(1)把,展开得,
两边同乘得①.
将ρ2=x2+y2,ρcosθ=x,ρsinθ=y代入①,
即得曲线的直角坐标方程为②.
(2)将代入②式,得,
点M的直角坐标为(0,3).
设这个方程的两个实数根分别为t1,t2,则t1+t2=-3. t1.t2=3
∴ t1<0, t2<0
则由参数t的几何意义即得.
4.(河北省唐山市2016-2017学年度高三年级第三次模拟考试理)选修4-4:坐标系与参数方程
点是曲线:上的动点,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点为中心,将点逆时针旋转得到点,设点的轨迹为曲线.
(1)求曲线,的极坐标方程;
(2)射线,()与曲线,分别交于两点,设定点,求的面积.
【答案】(Ⅰ),;(Ⅱ).
【解析】(Ⅰ)由相关点法可求曲线的极坐标方程为.
(Ⅱ)到射线的距离为,结合可求得
试题解析:(Ⅰ)曲线的极坐标方程为.
设,则,则有.
所以,曲线的极坐标方程为.
(Ⅱ)到射线的距离为,
,
则.
5.(山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测三模数学理)在平面直角坐标系中设倾斜角为的直线的参数方程为为参数).在以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴建立的极坐标系中,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于不同的两点.
(1)若,求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(2)若为与的等比中项,其中,求直线的斜率.
【答案】(1),;(2).
【解析】(1)因为,所以直线的参数方程为(为参数).
消可得直线的普通方程为.
因为曲线的极坐标方程可化为,
所以曲线的直角坐标方程为.
(2)设直线上两点对应的参数分别为,,
将代入曲线的直角坐标方程可得,
化简得,
因为,,
所以,解得.
因为
即,可知,解得,
所以直线的斜率为.
6.(河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评数学理)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,曲线:(为参数).以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线:.
(1)求的普通方程和的直角坐标方程;
(2)若曲线与交于,两点,,的中点为,点,求的值.
【答案】(1)的普通方程为,的直角坐标方程为;(2)3.
【解析】
(1)曲线的普通方程为.
由,,得曲线的直角坐标方程为.
(2)将两圆的方程与作差得直线的方程为.
点在直线上,设直线的参数方程为(为参数),
代入化简得,所以,.
因为点对应的参数为,
所以
.
7.(山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学理)已知平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(Ⅰ)求曲线的极坐标方程;
(Ⅱ)过点的直线与曲线交于,两点,且,求直线的方程.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)或.
【解析】(Ⅰ)消去参数,可得曲线的普通方程为,
.由
所以曲线的极坐标方程为.
(Ⅱ)显然直线的斜率存在,否则无交点.
设直线的方程为,即.
而,则圆心到直线的距离.
又,所以,解得.
所以直线的方程为或.
8.(辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟考试数学理)在直角坐标系中,,,以O为极点,x轴的正半轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为:.
(1)求曲线C的直角坐标方程;
(2)动点P是曲线C在第一象限的点,当四边形的面积最大时,求点P的直角坐标.
【答案】(1)(2)四边形的面积时,P点为.
【解析】
(1),整理得
(2)由动点P是曲线C在第一象限的点,设点
设四边形的面积为S,
则
所以当时,S最大,此时P点.
9.(山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试数学理)选修4-4:坐标系与参数方程:在直角坐标系中,曲线(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)已知点,直线的极坐标方程为,它与曲线的交点为,,与曲线的交点为,求的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】
解:(1),
其普通方程为,化为极坐标方程为
(2)联立与的极坐标方程:,解得点极坐标为
联立与的极坐标方程:,解得点极坐标为,所以,又点到直线的距离,
故的面积.
10.(内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试一数学理)在直角坐标系中,圆的参数方程为:(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴建立极坐标系,且长度单位相同.
(1)求圆的极坐标方程;
(2)若直线:(为参数)被圆截得的弦长为,求直线的倾斜角.
【答案】(1);(2)或
【解析】
(1)圆:,消去参数得:,
即:,∵,,.
∴,
.
(2)∵直线:的极坐标方程为,
当时.
即:,∴或.
∴或,
∴直线的倾斜角为或.
11.(广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理)直角坐标系中,曲线的参数方程为 (为参数),曲线.
(1)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,求、的极坐标方程;
(2)射线:与异于极点的交点为,与的交点为,求的大小.
【答案】(1) 的极坐标方程为,的极坐标方程为 ;(2).
【解析】
(1)由得,即,
所以的极坐标方程为,即;
由得的极坐标方程为:
(2)联立得,
联立得,
所以.
12.(山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理)[选修4—4:坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数,),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,直线的极坐标方程为.
(1)设是曲线上的一个动眯,当时,求点到直线的距离的最小值;
(2)若曲线上所有的点都在直线的右下方,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)由,得到
,
直线普通方程为:
设,则点到直线的距离:
当时,
点到直线的距离的最小值为
(2)设曲线上任意点,由于曲线上所有的点都在直线的右下方,
对任意恒成立
,其中,.
从而
由于,解得:
即:.
13.(江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模)极坐标中,过点作曲线的切线,求直线的极坐标方程.
【答案】
【解析】
曲线的直角坐标方程为:
点的直角坐标为 点在圆上,又因为圆心
故过点的切线为
所求的切线的极坐标方程为:.
14.(江西省上饶市横峰中学2019届高三考前模拟考试数学理)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数)。在极坐标系(与直角坐标系取相同的长度单位,且以原点为极点,以轴正半轴为极轴)中,圆的极坐标方程为。
(1)求直线的普通方程和圆的直角坐标方程;
(2)设圆与直线交于,两点,若点的坐标为,求。
【答案】(1)直线l的普通方程为;圆C的直角坐标方程为;(2).
【解析】
(1)由直线的参数方程(为参数)得直线的普通方程为
由,得,即圆的直角坐标方程为。
(2)将直线的参数方程代入圆的直角坐标方程,得,
即,
由于>0,
故可设,是上述方程的两个实根,
所以
又直线过点P(3,),
故.
15.(江苏省南通市2019届高三适应性考试)[选修4-4:坐标系与参数方程]
已知曲线的极坐标方程为.以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线的参数方程为(为参数).
(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;
(2)求直线被曲线所截得的弦长.
【答案】(1)曲线的直角坐标方程为.直线的普通方程为.(2)
【解析】
(1)因为曲线的极坐标方程可化为.
且,,
所以曲线的直角坐标方程为.
直线:(为参数)的普通方程为.
(2)圆心到直线:的距离为,
又因为半径为1,所以弦长为.
16.(江苏省苏州市2019届高三高考模拟最后一卷)选修4-4:极坐标与参数方程:在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,以x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,直线l的极坐标方程为设点P是曲线上的动点,求P到直线l距离的最大值.
【答案】
【解析】
直线
设点,∴
当且仅当,即时取“”
所以到直线距离的最大值为.
17.(湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理)选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.
(1)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;
(2)设点,直线与曲线相交于两点、,求的值.
【答案】(1) 直线的普通方程为;曲线的直角坐标方程是. (2)
【解析】
(1)消去参数t得直线的普通方程为;
因为,所以,由
所以曲线的直角坐标方程是.
(2)点是直线上的点,设,两点所对应的参数分别为,
将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程,得 .
方程判别式,可得,.
于是.
18.(北京市昌平区2019届高三5月综合练习二模数学理)在极坐标系中,极点到直线的距离为________.
【答案】
【解析】
极坐标方程化为直线方程即:x+y-2=0,
极点坐标即(0,0),所以距离为:.
19.(天津市新华中学2019届高三高考模拟数学理)已知在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,设点是曲线上的一个动点,则到直线距离的取值范围是___________________.
【答案】
【解析】
直线的参数方程为(为参数)化为普通方程即:,
曲线的极坐标方程为化为直角坐标方程即:,
圆心到直线的距离:,
则直线与圆相离,据此可得:到直线距离的取值范围是.
20.(天津市芦台一中2019届高三第四次模拟考试数学理)在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.在直线上任取一点,由点向曲线引切线,则切线长的最小值为______.
【答案】
【解析】因为,所以,
因为,所以,
所以当垂直直线时,点向曲线所引切线长最小为.
21.(天津市河北区2019届高三二模数学理)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为,若直线与圆交于,两点,则线段的长度为__________.
【答案】
【解析】
由得的普通方程为:
由得的直角坐标方程为:,即
圆的圆心为,半径
则圆心到直线的距离
本题正确结果:
22.(津市南开区南开中学2019届高三第五次月考)已知曲线的参数方程为为参数),点为其焦点,在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点分别在曲线和的实线部分上运动(如图所示),且总是平行于轴,则的周长的取值范围是________.
【答案】
【解析】
由 得,即为抛物线,①
抛物线焦点坐标为,准线方程为,
由,得, ②
即为以为圆心,以4为半径的圆,
由①②得,,
,
由抛物线的定义可得,
又,
所以的周长
,
,
,
即的周长的取值范围是,故答案为.
23.(天津市红桥区2019届高三二模数学理)极坐标系中,曲线与的两个交点之间的距离为_______.
【答案】
【解析】
由得:,即
由得:,即
所求距离为被圆截得的弦长
即两个交点之间的距离为
本题正确结果:
24.(天津市河西区2019届高三一模数学理)已知圆的极坐标方程为,圆心为,点的极坐标为,则的长度为______________.
【答案】
【解析】
因为圆的极坐标方程为,所以,
因为点的极坐标为,所以,
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